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4.2-4.3 图形的全等、探究三角形全等的条件
考点一：图形的全等
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。
考点二：全等三角形
1、全等三角形及有关概念：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，
互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的表示：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形
DEF”。
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
考点三、三角形全等的判定：
（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或
“AAS”）
（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
考点四：直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有“HL”定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直
角边对应相等的两个直角三角形
技巧归纳：．证题的思路：
注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等．
找夹角（SAS）
已知两边找直角（HL）
找第三边（SSS）
若边为角的对边，则找任意角（AAS）
找已知角的另一边（SAS）
已知一边一角
边为角的邻边找已知边的对角（AAS）
找夹已知边的另一角（ASA）
找两角的夹边（ASA）
已知两角 找任意一边（AAS）题型一：全等图形的识别
1．（2021·山东·东营市东营区实验中学七年级阶段练习）下列图形是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河南洛阳·七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的三角形是全等图形 B．两个长方形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形 D．两个正方形是全等图形
3．（2021·山西·七年级期末）下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多
边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③
题型二：全等三角形的概念理解
4．（2019·河南·濮阳县徐镇中学七年级阶段练习）全等三角形是( )
A．形状相同的两个三角形 B．周长相等的两个三角形
C．面积相等的两个三角形 D．完全重合的两个三角形
5．（2019·上海·七年级课时练习）下列判断正确的是（ ）
A．等边三角形都全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D．直角三角形和钝角三角形不可能全等
6．（2019·上海浦东新·七年级期末）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形
B．三个内角分别相等的两个三角形
C．两条边和其中一个角相等的两个三角形
D．面积相等的两个等腰三角形
题型三：全等三角形的性质
7．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠ABD＝∠ADB B．∠BAD＝∠CAE C．∠DAC＝∠C D．∠B＝∠ADE
8．（2021·山东省泰安第十五中学七年级阶段练习）如图，△ABC≌△DEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE＝
2，CD＝4，则BD的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．4.5 D．6
9．（2021·山东泰安·七年级期中）如图，已知 ≌ ， 是 的平分线，已知 ，
，则 的度数是（ ）．
A． B． C． D．
题型四：SSS
10．（2021·山东威海·七年级期中）如图，已知AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）A． ． B．AC平分 ．
C． ． D． ．
11．（2021·新疆·七年级期末）如图，点A，E，F，C在同一直线上， ， ， ．求证：
．
12．（2021·上海市风华初级中学七年级期末）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，
，说明 的理由．
题型五：SAS
13．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，
∠B＝25°，则∠BDC的度数是（ ）
A．95° B．90° C．85° D．80°
14．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，点E在AB上，AC=AD，∠CAB=∠DAB，△ACE与△ADE全等吗？
△ACB与△ADB呢？请说明理由．15．（2021·山东泰安·七年级期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上的一
点， ．求证：
（1） ≌ ；
（2） ．
题型六：ASA或AAS
16．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，AD=AC，AB=AE，∠DAB=∠CAE．
(1) ADE与 ACB全等吗？说明理由；
(2)△判断线段△DF与CF的数量关系，并说明理由．
17．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，
且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB．
(2)若∠BDC＝70°，求∠ADB的度数．
18．（2021·广东·深圳市福永中学七年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段
BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请
说明理由．
题型七：HL
19．（2021·山东东营·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线一点，点E在BC
上，且AE＝CF，∠CAE＝30°，则∠ACF的度数是（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
20．（2021·北京·首都师范大学附属实验学校七年级阶段练习）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB
的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
21．（2021·江苏苏州·七年级期末）如图， 中， ， ， 为 延长线一点，点 在
上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
题型八：全等三角形判定综合
22．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，在△ABC和△DCE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，
BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（ ）
A．AB＝CD B． C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
23．（2021·重庆实验外国语学校七年级期末）如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，
连接 、 ，若 ， ．（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
24．（2020·四川成都·七年级期末）（1）如图1， 和 都是等边三角形，且 ， ， 三点在一条直线
上，连接 ， 相交于点 ，求证： ．
（2）如图2，在 中，若 ，分别以 ， 和 为边在 外部作等边 ，等边
，等边 ，连接 、 、 恰交于点 ．
①求证： ；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想 ， ， 与 存在怎样的数量关系，并说明理由．
一、单选题
25．（2021·山东济南·七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定是全等图形 B．两个全等图形面积一定相等
C．形状相同的两个图形一定全等 D．两个正方形一定是全等图形26．（2021·全国·七年级专题练习）如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
27．（2021·全国·七年级课时练习）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（
）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2021·河北保定·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
29．（2021·全国·七年级专题练习）如图，点 在同一直线上， ，则 等于
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
30．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上， ， ，要使
，还需要添加一个条件可以是（ ）
A． B．
C． D．31．（2018·云南楚雄·七年级期末）如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠3，∠E＝∠C，AE＝AC，求证：
△ABC≌△ADE.
证明：∵∠E＝∠C（已知），∠AFE＝∠DFC（ ）,∴∠2=∠3（ ）,
又∵∠1＝∠3（ ）,∴∠1=∠2（等量代换），∴__________+∠DAC=__________+∠DAC（ ）,
即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中
∵
∴△ABC≌△ADE（ ）.
32．（2021·甘肃白银·七年级期末）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数．一：选择题
33．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）如图，已知△ABC的面积为24，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点
P，并延长AP交BC于点D．则△BPC的面积是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
34．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（ ）．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
35．（2021·全国·七年级期末）如图，在 和 中，已知 ，还需添加两个条件才能使
，不能添加的一组条件是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2021·山东淄博·七年级期中）有以下四个说法：①两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等
的两个三角形全等；②两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；③两边
和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个37．（2021·广东·深圳外国语学校七年级期末）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使
AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得
知小河的宽度AB．在这个问题中，判断△ABO≌△DCO的最佳依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
38．（2021·山西太原·七年级期中）如图，已知 ，点C在射线OB上．按下列步骤作图：①以O为圆心、
OC长为半径画弧；②以C为圆心、CD长为半径画弧，交前面的弧于点E；④连接CD，CE．则下列结论不一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（2021·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校七年级阶段练习）如图，在 中，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
40．（2021·山东青岛·七年级期末）如图，直线 经过 中点 ，交 于点 ，交 于点 ，下列能使
的条件有：（1） ；（2） ；（3） ；（4） （ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
41．（2021·山东枣庄·七年级阶段练习）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝
49°，则∠BAE的度数为 _____．
42．（2022·山东烟台·七年级期末）如图， ， ，F为AB上一点，连接CF， ，
，垂足分别是点E，D．若 ， ，则DE的长为______cm．
43．（2021·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，点D是 ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接
DF交AC于点E，若CE=AE，AB=7，CF=4，则BD的长为________． △
44．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于
点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明 的是______．（填写序号）
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．45．（2021·上海金山·七年级期末）如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，
BE=1cm，那么DE=___cm．
46．（2021·甘肃白银·七年级期末）如图，在 中， 平分 ， 于点E，若 的面积为
，则阴影部分的面积为________ ．
47．（2021·全国·七年级课时练习）如图， ， 于D点，E、F为AD上的点，则图中共有____对
全等三角形．
48．（2021·辽宁锦州·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD=2BD，点
E，F在线段AD上，且满足∠BED=∠CFD=∠BAC，若S ABC=24，则S ABE+S CDF=____．
△ △ △三、解答题
49．（2019·广东·深圳外国语学校七年级期中）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交
于点F，且AD=CD，
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
50．（2019·甘肃白银·七年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，
∠BAC=∠D，BC=CE．
（1）求证：AC=CD；
（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．51．（2018·山东菏泽·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC
边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
52．（2021·全国·七年级课时练习）如图，在 中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC
的平行线BG于点G，交AB于点E，连接EG、EF．
（1）求证： ．
（2）请你判断： 与EF的大小关系，并加以证明．53．（2021·山东·枣庄市山亭区教育和体育局教研室七年级阶段练习）已知，如图，点A，D，B，E在同一条直线
上， ， 与 交于点G．
（1）求证： ；
（2）当 时，求 的度数．
54．（2021·山东菏泽·七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐
角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
55．（2021·山东泰安·七年级期末）如图，四边形 中， ，E为 的中点，连结 并延长交 的
延长线于点F．
（1）求证： ；
（2）连结 ，当 时，求 的长．
56．（2018·山东省东营市河口区义和镇中心学校七年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB=6cm，∠B=∠C，
BC=4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
57．（2021·山东东营·七年级期中）已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上
两点，且∠BEC=∠CFA=∠ ．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠ =90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠ 与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然
成立；
(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠ =∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结
论.1．D
【解析】
【详解】
解：A、不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、不是全等图形，故本选项不符合题意；
C、不是全等图形，故本选项不符合题意；
D、全等图形，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等图形的定义，熟练掌握大小形状完全相同的两个图形是全等图形是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据全等图形的概念即可得出答案．
【详解】
A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误；
B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；
C、两个周长相等的圆，那么半径相等，所以重合，故正确；
D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形．
故答案选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等图形的概念，解本题的要点在于要知道全等图形是完全重合的图形，由此得到答案．
3．D
【解析】
【分析】
根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．
【详解】
①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误；
②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确；
③全等图形的形状、大小都相同，说法正确；
④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误，
故答案为：D．【点睛】
此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同．
4．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的定义分别判断各选项，即可得解．
【详解】
解：A、形状相同的两个三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；
B、周长相等的两个三角形不一定全等；如边长为6、6、8和边长为5、6、9的三角形周长相等，但并不全等，故
本选项错误；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、完全重合的两个三角形是全等三角形，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的定义和性质．
5．D
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法分别判断即可．
【详解】
A. 两个等边三角形只有当边相等的时候才能全等，所以A不正确；
B. 三角分形的面积只与三角形的底和高有关，当两个三角形的底和高的乘积相等时其面积就相等，但此时两个三
角形不一定全等，所以B不正确；
C. 腰对应相等但是顶角不相等时两个三角形不全等，所以C不正确；
D. 如果两个三角形的对应角不相等那么这两个三角形一定不全等，所以D正确；
故选D.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.
6．A
【解析】
【分析】
依据全等三角形的概念即可做出选择.
【详解】
解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；
B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；
D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；
答案为：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.
7．C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的性质：对应边相等，对应角相等，再利用等边对等角一一判断即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB，AE=AC，BC=DE，∠ABC=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE，
∵∠ABD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CDE
故A、B、D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是全等三角形的性质．
8．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEC，CE＝2，CD＝4，
∴BC＝CE＝2，
∴BD＝BC＋CD＝4＋2＝6，
故选：D．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答．
9．A【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝ ∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的
外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【详解】
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝22°，
∵∠CGD=92°，
∴∠CGF＝180°－92°=88°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝88°－22°=66°，
∴∠BCA＝66°×2=132°，
∴∠B＝180°﹣22°﹣132°＝26°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝26°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的性质，掌握全等三角形的对应
角相等是解题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线和全等三角形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】
解：∵AC垂直平分BD，
∴ ， ，A选项正确，不符合题意；
在 和 中
∴∴ ， ，C选项正确，不符合题意
∴AC平分 ，B选项正确，不符合题意；
根据已知条件得不到 ，故D选项错误，符合题意
故选D
【点睛】
此题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基本性质．
11．证明见详解
【解析】
【分析】
由已知 可知AF=CE，从而根据SSS判定定理可证明△ADF≌△CBE即可．
【详解】
证明：∵AE=CE ，
∴AE+EF=CE+EF，即AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SSS），
∴∠D=∠B．
【点睛】
本题考查三角形全等碰与性质，掌握三角形全等判定方法与性质是解题关键．
12．理由见解析
【解析】
【分析】
先求出 ，再根据 判定 ，即可证明 ，从而证得 ．
【详解】
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等．
13．C
【解析】
【分析】
根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入
求出即可．
【详解】
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质
与判定条件．
14．△ACB≌△ADB；△ACE≌△ADE．理由见解析
【解析】
【分析】
先利用“SAS”直接判断△ACB≌△ADB；同理利用“SAS”可判断△ACE≌△ADE．
【详解】
解：△ACE与△ADE全等，△ACB与△ADB全等．
理由如下：
在△ACB和△ADB中，
，
∴△ACB≌△ADB（SAS）；
在△ACE和△ADE中，，
∴△ACE≌△ADE（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或
第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一
组角，或找这个角的另一组对应邻边．
15．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据（SAS）证明 ≌ 即可；
（2）根据角平分线的定义结合全等三角形的性质证明即可．
【详解】
解：（1）∵ 为 的角平分线，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ≌ （SAS）．
（2）∵ 为 的角平分线， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形等边对等角等知识点，熟知全等三角形的判
定定理以及性质定理是解本题的关键．
16．(1)全等，理由见解析
(2)DF=CF，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由∠DAB=∠CAE得出∠DAE=∠CAB，再根据SAS判断 ADE与 ACB全等即可；
（2）由 ADB与 ACE全等得出DB=EC，∠FDB=∠FCE，判△断 DBF△与 ECF全等，最后利用全等三角形的性质
可得． △ △ △ △
(1)
解：全等，理由如下：
∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠CAB，
在 ADE与 ACB中，
△ △
，
∴△ADE≌△ACB（SAS）；
(2)
解：DF=CF，理由如下：
在 ADB与 ACE中，
△ △
，
∴△ADB≌△ACE（SAS），
∴∠DBA=∠CEA，
∵△ADE≌△ACB，
∴∠ABC=∠AED，
∴∠DBF=∠CEF，
在 DBF与 CEF中，
△ △
，
∴△DBF≌△CEF（AAS），
∴DF=CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，解题的关键是选择恰当的判定条件．
17．(1)见解析
(2)40°
【解析】
【分析】（1）根据AD∥BC，可得∠ADB=∠CBD，再利用角边角，即可求证；
（2）根据△ABD≌△ECB，可得BD=BC，从而得到∠BCD=∠BDC=70°，进而得到∠CBD= =40°，即可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠A=∠BEC，且AD=BE，
∴△ABD≌△ECB；
(2)
解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=70°，
∴∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=40°，
∴∠ADB=∠CBD=40°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性
质，平行线的性质，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
18．(1)25°，115°
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，证明见解析
(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°
【解析】
【分析】
（1）根据平角的定义，利用角的和差关系可得∠EDC的度数，利用三角形内角和即可求出∠DEC的度数；
（2）根据外角性质及角的和差关系可得∠BAD=∠EDC，根据∠B＝∠C，要使 ABD≌△DCE，则CD=AB，即可得
答案； △
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可得答案．
(1)
当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°，
在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°，
故答案为：25°，115°
(2)
当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝2．(3)
当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和
掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
19．B
【解析】
【分析】
由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE=∠BCF=15°，即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
∴∠BAE=∠BCF=15°，
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=60°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明；
（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD＝DM，同理可证CB＝CM．即可得结论．
(1)
证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
(2)
证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB，
在Rt△DEA和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL），
∴DA＝DM，同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL），
∴CB＝CM，
∴CD＝DM+MC＝AD+BC．
【点睛】
本题考查角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键．
21．（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意易得 ，然后根据“HL”可证明问题；
（2）由（1）可得 ，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的判定与性质及等腰直角
三角形的性质是解题的关键．
22．A
【解析】
【分析】
根据全等三角的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：A．∠ACB＝∠E，BC＝CE，AB＝CD，不能判断三角形全等，选项符合题意；B．∵ ，
∴∠A=∠EDC，再结合已知条件，符合全等三角形判定定理AAS，故选项不符合题意；
C．∠ACB＝∠E，BC＝CE，AC＝DE，符合全等三角形判定定理SAS，故选项不符合题意；
D．∠ACB＝∠E，BC＝CE，∠B＝∠DCE，符合全等三角形判定定理ASA，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握几种判定定理是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据 ， 可知： ， ，继而推出 ，领补角相等，
则 ，结合已知条件，利用“角角边”证明三角形全等即可；
（2）根据（1）的结论可知： ,则 即可求得
【详解】
（1）
即：
,
,
在 和 中
（AAS）
（2） ， ， ，
,
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，证明 是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2）①详见解析；② ，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD，判断出
（SAS），即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出 （SAS）， （SAS），即可得出结论； ②先判断出
∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一点M，使PM=PC，证明 是等边三角形， 进而判断出
（SAS），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴ （SAS），
∴BE=AD；
（2）①证明：∵ 和 是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴ （SAS），
∴AD=BE，
同理： （SAS），
∴AD=CF，
即AD=BE=CF；
②解：结论：PB+PC+PD=BE，
理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，
由①知， ，
∴∠CAD=∠CBE，
在 中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BQP=120°，
在 中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，
∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，
∠CPD=120°，
在PE上取一点M，使PM=PC，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∠PCM=∠CMP=60°，
∴∠CME=120°=∠CPD，
∵ 是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，
∴∠PCD=∠MCE，
∴ （SAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，
构造出全等三角形是解本题的关键．
25．B
【解析】
【分析】
利用全等的定义分别判断后即可得到正确答案.
【详解】
解：A、两个等边三角形不一定全等，例如两个等边三角形的边长分别为3和4，这两个三角形就不全等，故此选
项错误；
B、两个全等的图形面积是一定相等的，故此选项正确；
C、形状相等的两个图形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误；
D、两个正方形不一定全等，例如边长为3和4的正方形，故此选项错误.
故选B.
【点睛】本题主要考查了全等的定义，解题的关键是了解能够完全重合的两个图形全等.
26．C
【解析】
【分析】
首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应
边为CD．
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边，
∴BC和DA为对应边，
∴AB的对应边为CD．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质．
27．C
【解析】
【分析】
观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据
圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案．
【详解】
由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减
去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等．
故选： ．
【点睛】
本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系．
28．C
【解析】
【分析】
标注字母，利用“边角边”判断出 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 （或观察图形得
到 ，然后求出 ，再判断出 ，然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，在 和 中，，
，
（或观察图形得到 ，
，
，
又 ，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，解题的关键是准确识图判断出全等的三角形．
29．A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AC=DF，即可得出选项．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，DF=4，
∴AC=DF=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相
等，对应角相等．
30．C
【解析】
【分析】
根据“SAS”可添加 ，使 ．
【详解】
解：A、由 可得∠EDF=∠A，根据AB=DE，BC=EF和∠EDF=∠A不能推出 ，故本选项错
误；
B、由 可得∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出 ，故本选项错误；C、根据AB=DE，BC=EF和 ，根据“SAS”可得 ，故本选项正确误．
D、根据AB=DE，BC=EF和 不能推出 ，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目
中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对
应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
31．对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA
【解析】
【分析】
首先证明∠2=∠3，再证明∠BAC=∠DAE，进而可利用ASA判定三角形全等即可．
【详解】
解：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠2=∠3（三角形内角和定理）．
又∵∠1=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），
即∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∵ ，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
32．见解析（2）∠EBC=25°
【解析】
【分析】
（1）根据AAS即可推出 ABE和 DCE全等．
（2）根据三角形全等得出△EB=EC，△推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即
可
【详解】解（1）证明：∵在 ABE和 DCE中， ，
△ △
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°
33．B
【解析】
【分析】
证明△APB≌△DPB，根据全等三角形的性质得到AP＝PD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠DPB＝90°，
在△APB和△DPB中，
，
∴△APB≌△DPB（ASA），
∴AP＝PD，
∴S APB＝S DPB，S APC＝S DPC，
△ △ △ △
∴△BPC的面积 △ABC的面积＝12，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的
面积公式是解题的关键．
34．D
【解析】
【分析】
根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
【详解】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在 AOD和 AOE中， ，
△ △
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠D=∠E，OD=OE；
在 AOC和 AOB中， ，
△ △
AOC≌△AOB（SAS）；
△
在 COD和 BOE中， ，
△ △
∴△COD≌△BOE（ASA）；
在 DAB和 EAC中， ，
△ △
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
35．C
【解析】
【详解】
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【分析】解：A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、
SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两
边的夹角．
36．C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定，利用排除法求解．
【详解】
解：①第三边上的中线对应相等时，可利用“SSS”证明全等，故本选项正确；
②没两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等，可利用“AAS”或“ASA”证明全等，故本选项
正确；
③两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，不能运用“SSA”证明两个三角形全等，故本选项错误；
所以有①②两项正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等判定的方法找寻条件，如果符合就全等，否则就不全等．
37．C
【解析】
【分析】
直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【详解】
解： ， ，
，
在 和 中，
，
，
则证明 的依据的是 ，
故选：C．【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法．
38．D
【解析】
【分析】
根据尺规作图的特点得到OE=OD，CE=CD，故可证明△COE≌△COD，故可判断．
【详解】
根据尺规作图可知OE=OD，CE=CD，
又∵OC=OC
∴△COE≌△COD（SSS）
∴
故A，B，C正确；D不一定成立
故选：D．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理及尺规作图的特点．
39．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定推出△BFD≌△CDE，根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE，根据三角形的内角和定理
求出∠B=∠C= ×（180°-∠A）=65°，求出∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=115°，再求出答案即可．
【详解】
解：∵在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C，∠A=50°，
∴∠B=∠C= ×（180°-∠A）=65°，
∴∠FDB+∠CDE=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=115°，
∴∠FDE=180°-（∠FDB+∠EDC）=180°-115°=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据全等三角形的性质得出∠BFD=∠CDE
是解此题的关键．
40．C
【解析】
【分析】
先得到OA=OC，∠AOE=∠COF，然后根据全等三角形的判定方法进行添加条件．
【详解】
解：∵O点为AC的中点，
∴OA=OC，
∵∠AOE=∠COF，
∴当①∠A=∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当②AB∥CD，则∠A=∠C，可根据“ASA“判断△AOE≌△COF；
当④OE=OF，则可根据“SAS“判断△AOE≌△COF．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决
于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组
对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
41．82°
【解析】
【分析】
证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD=∠B+∠ACB=49°，进而根据三角形内角和定理得结果．
【详解】
解：∵AC平分∠DCB，
∴∠BCA=∠DCA，
又∵CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，
∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，
∴∠B+∠ACB=49°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°，
故答案为：82°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB=49°．
42．3
【解析】
【分析】
根据AAS证明 AEC≌△CDB，得到CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，即可得出ED＝3cm．
【详解】 △
解：∵AE⊥CF，BD⊥CF，
∴∠AEC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＋∠BCD＝∠CAE＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
在 AEC和 CDB中，
△ △
∴△AEC≌△CDB（AAS），
∴CD＝AE＝5cm，CE＝BD＝2cm，
∴ED＝CD−CE＝5−2＝3（cm），
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质．证得三角形全等是解决问题的关键．
43．3
【解析】
【分析】
先由全等三角形的判定定理ASA证明△AED≌△CEF，然后根据全等三角形的对应边相等知AD=CF，从而求得BD
的长度．
【详解】
解：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，
在 AED和 CEF中，
△ △
，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD=CF（全等三角形的对应边相等），又∵AB=7，CF=4，AB=AD+BD，
∴BD=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
44．①②③
【解析】
【分析】
只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
①当 ， 时，结合 ，
在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明 ，则有 ，
故①能得到 ；
②当 ， ，结合 ，
在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②能得到 ；
③当 ， 时，结合 ，
可证明 ，可得 ，
可得 ，
故③能得到 ；
④ ， 时，
根据已知条件无法求得 ，
故④不能得到 ，
所以能得到 的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
45．2
【解析】
【分析】
∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，可得∠CAD=∠BCE，再利用AAS证得△CDA≌△BEC，从而得到CD=BE，CE=AD，再由DE=CE-CD，得DE=AD-BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△CDA与△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∵DE=CE-CD，
∴DE=AD-BE，
∵AD=3cm，BE=1cm，
∴DE=3-1=2（cm），
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用AAS证出△CDA≌△BEC是解题的关键．
46．6
【解析】
【分析】
证点E为AD的中点，可得△ACE与△ACD的面积之比，同理可得△ABE和△ABD的面积之比，即可解答出．
【详解】
解：如图， 平分 ， 于点E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ≌
∴ ，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12 ，
∴阴影部分的面积为S△ACE＋S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝6 ．
故答案为6．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成
面积相等的两部分．
47．6
【解析】
【分析】
由AB=AC且AD⊥BC，可知AD为BC的垂直平分线，可得到EB=EC，FB=FC，再结合全等三角形的判定方法可得
出答案．
【详解】
解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD为BC的垂直平分线，BD=CD，∠BAD=∠CAD
∴EB=EC，FB=FC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
同理可得△EBD≌△ECD，△ABE≌△ACE，△FBD≌△FCD，△ABF≌△ACF，△FBE≌△FCE，
∴共有6对三角形全等，
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
48．16
【解析】
【分析】
先证△ABE≌△CAF得出△ABE和△CAF的面积相等，可得S ABE+S CDF=S ACD，然后再根据CD=2BD求解即可．
△ △ △
【详解】
解：∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中
∠ABE=∠CAF，AB=AC ∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（ASA）
∴S ABE=S CAF
△ △
∴S ABE+S CDF=S CAF+S CDF=S ACD
△ △ △ △ △
∵CD=2BD，S ABC=24
△
∴S ACD=24× =16．
△
故填16．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定、三角形的面积、三角形的外角性质等知识点，灵活运用全等三角形成
为解答本题的关键．
49．（1）证明见解析；（2）3．
【解析】
【分析】
（1）易由 ，可证△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．【点睛】
本题考核知识点：全等三角形． 解题关键点：运用全等三角形的判定和性质．
50．（1）证明见解析；（2）112.5°．
【解析】
【分析】
根据同角的余角相等可得到 结合条件 ，再加上 可证得结论；
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义
得到
【详解】
证明：
在 ABC和 DEC中， ，
△ △
（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．
51．（1）证明见解析；（2）∠BDC=75°．
【解析】
【分析】
（1）由条件可利用SAS证得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可先求得∠BCA，利用三角形外角的性质可求得∠AEB，再利用全等三角形的性质
可求得∠BDC．
【详解】
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质．掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、
AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
52．（1）见解析；（2） ，见解析
【解析】
【分析】
（1）证 可得 ；
（2）根据全等得到 ，再根据三角形三边关系即可得到结果．
【详解】
（1）∵BG∥AC，
∴ ，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
在△BDG和△CDF中，，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
由 得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确分析求解．
53．（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先根据线段的和差可得 ，再根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得 ，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】
证明：（1） ，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）由（1）已证： ，
，即 ，
，
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题
关键．
54．数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD= AB，
∵AC=2AB，
∴AB=DC，
∴△EAB≌△EDC，
∴EB=EC，且∠AEB=∠AED=90°，
∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BED=90°，
∴BE⊥ED．
【解析】
【详解】
由AC=2AB，点D是AC的中点，得到AB=AD=CD，由∠EAD=∠EDA=45°，得∠EAB=∠EDC=135°，再有
EA=ED，根据“SAS”证得△EAB≌△EDC即可得到结果．
55．（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）利用AAS即可证明；
（2）由 ≌ 可得 ， ，从而证明 ≌ ，得到 ，可得AB．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 为CD中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （AAS）．（2）由（1）中 ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ （SAS），
∴ ，
而 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS和SAS证明三角形全等．
56．（1）全等（2）vQ=1.5cm/s
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全
等．
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再
求得点Q的运动速度；
试题解析：解：（1）全等，理由如下：
∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1厘米，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，∴PC=4﹣1=3cm，∴PC=BD．
∵∠B=∠C，∴△BPD≌△CPQ；
（2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间为：
t=2秒，∴vQ=1.5cm/s；
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、路程=速度×时间的公式，熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分
析出追及相遇的问题中的路程关系是解决问题的关键．
57．（1）①EF、BE、AF的数量关系： (相关等式均可，证明详见解析； ②∠ 与∠BCA关系：∠
+∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系： (相关等式均可) ，证
明详见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证 BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即
△可；.
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证 BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS△证 BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．
试题解析：（1）①如图1中，. △
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在 BCE和 CAF中，.
△ △
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在 BCE和 CAF中，.
△ △，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在 BEC和 CFA中，.
△ △
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
