文档内容
专题16.圆中的辅助线模型
在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助
线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专
题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形）
【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B．
O
A B
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径
构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个
端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题
例1．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知
， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
例2．（2023•宜兴市期中）如图所示，AB为 O的直径，CD是 O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已
知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．⊙ ⊙例3．（2023•天宁区初三期中）如图，两个正方形都在 O的直径MN的同侧，顶点B、C、G都在MN
上，正方形ABCD的顶点A和正方形CEFG的顶点F都在 O⊙上，点E在CD上．若AB＝5，FG＝3，则OC的
长为 ． ⊙
例4．（2023·湖南长沙初三二模）如图，在 中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果
， ，那么OD的长为___．
模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题）
【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过
弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半
径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。
例1．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图， 是 的内接三角形， ，
， 是 边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为
（ ）A． B． C． D．
例2．（2023·湖南九年级期中）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕AB
的长为________．
例3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海
平线交于 ， 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳
完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米分 C．12厘米/分 D．1.4厘米/分
例4．（2023·成都市九年级期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O
上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得
AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角）【模型解读】如图，已知 A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接 AC、BC，则∠ACB=
∠AOB。
例1．（2020·贵州毕节·统考中考真题）如图，已知点C，D是以 为直径的半圆O的三等分点，弧
的长为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·黑龙江·校考模拟预测）如图，点 是 上一点，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江西九江·校考一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 是 的
外接圆，点 ， ， 均在网格线的交点上，则 的值是 ．例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图， 为 的两条弦，D，G分别为 的中点，
的半径为2．若 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形）
【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。
如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的
圆周角的构造。
例1．（2022秋·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角
器的中心 恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为 .且点 在小量角器上对应的刻度为 ,那
么点 在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于 的角)( )A． B． C． D．
例2．（2023·江苏·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的内接三角形．若
， ，则 的直径 ．
例3．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图， 和 分别是半圆 的直径和弦，且
，点 是 上的点， 交 于点 ，垂足为点 ，且 ： ： ，若
，则 ．
模型5、遇90°的圆周角连直径
【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。
A
C
B
O
遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直
径。
例1．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ ，则AD的长是 ．
例2．（2022秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图所示，直径为 的 经过点 和点 ，B是
y轴右侧 优弧上一点，则 为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·河南周口·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁
冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为 的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周
角为 的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直）
【模型解读】如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。
O
A C B已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的
有关性质解题。
例1．（2023·重庆九年级期中）如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，C是圆上一点，连接AC、
BC，若ACB62，则P的度数为（ ）
A．56 B．62 C．66 D．68
例2．（2023年重庆市中考数学真题）如图， 是 的切线， 为切点，连接 ．若 ，
， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023年湖北省武汉市数学真题）如图，在四边形 中， ，以 为圆心，
为半径的弧恰好与 相切，切点为 ．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角）
【模型解读】证明直线AB是⊙O的切线.O
A C B
遇到证明某一直线是圆的切线时：
（1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再
证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是
⊙O的切线．
（2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直
线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线
AB是⊙O的切线．
例1．（2023年湖北省黄石市中考数学真题）如图， 为 的直径， 和 相交于点F， 平分
，点C在 上，且 ， 交 于点P．求证： 是 的切线；
例2．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图， ， ， 的直径为6．求证：
直线 是 的切线．
例3．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图， 内接于 ， 为 的直径，延长 到点
G，使得 ，连接 ，过点C作 ，交 于点F，交点 于点D，过点D作 ．交 的延长线于点E． (1)求证： 与 相切．(2)若 ， ，求 的长．
例4．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图，在 中， 是 上（异于点 ， ）的一点，
恰好经过点 ， ， 于点 ，且 平分 ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；(2)若 ， ，求 的半径长．
模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点）
当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。
利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。
例1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，
径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角
形切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就
是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）
例2．（2023·云南红河·九年级统考期末）已知 的内切圆半径 ， 、 、 为切点，
， ， ，则 ．
例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点D，E，
F，若 的半径为r， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．2r， B．0， C．2r， D．0，课后专项训练
1．（2023秋·重庆·九年级校联考阶段练习）如下图， 的半径为 ，以A为圆心， 为半径的弧
交 于B，C两点，则弦 的长度为（ ）
A． B． C．8 D．
2．（2023秋·广东东莞·九年级校考期中）如图， 是半圆O的直径，C 是半圆O上异于A，B 的一点，
D 为 的中点，延长 交 的延长线于点 E，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）如图，面积为12的正方形 内
接于 ，则 的半径为（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图， 的半径 弦 于点E，C是 上一点，
， 的最大值为18，则 的长为（ ）A．8 B．6 C．4 D．2
5．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图， 是 的直径，点 在
上，若 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
6．（2022秋·江苏连云港·九年级校考期末）如图， 是 的弦， ， ，则 的直径
等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图， 是 的弦，半径 于点C， 为直
径， ，则线段 的长为（ ）A． B．8 C． D．
8．（2022秋·湖北武汉·九年级校考期中）如图，弦 垂直于 的直径 ，垂足为H，且 ，
，则 的长是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
9．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，在 中， ，以点 为圆心， 为半径的圆与边
相切于点 ，与 ， 分别交于点 和点 ，点 是优弧 上一点， ，则 的度数
是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东江门·校考三模）如图， 是半圆 的直径，以 为圆心， 长为半径的半圆交 于
， 两点，弦 切小半圆于点 ．已知 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图， 是 的内接三角形， ， ， 是
边上一点，连接 并延长交 于点 ．若 ， ，则 的半径为（ ）A． B． C． D．
12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”
太阳与海平线交于 ， 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， 厘米．若从目前太阳所处位
置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
13．（2022秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，半径为 的 上，依次有 三个点，若四边
形 为菱形，则弦 所对的圆周角为 度．
14．（2023秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图， 是 的弦，且 ，点 是弧 中点，点
是优弧 上的一点， ，则圆心 到弦 的距离等于 ．15．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，线段 的中点P的
坐标为 ， 与x轴相切于点C，则点B的坐标为 ．
16．（2023秋·广东东莞·九年级校考期中）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，过点 作
交 的延长线于点 ，延长 ， 交于点 ， ，若 ， ，则 的
半径= ．
17．（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，A、B、C为 上的点， ，连接 ， 交
于点D，若 ， ，则 的长为 ．
18．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图， 与 的 的三边 分
别相切于点D、E、F，若 ，则 的半径为 ．
19．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 与弦 的延长线交于点 ，若， ，求 的度数．
20．（2023秋·湖北武汉·九年级期中）如图， 的弦 交直径 于E， ， ，若
，求 的长．
21．（2023秋·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图 是 的直径， 是 的弦，延长 到点C，
使 ．过D点作 于E，求证： 为 的切线.22．（2023秋·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点
在 上，且以 为直径的 经过点 ．
(1)求证： 是 的切线；(2)当 ，且 时，求 的半径．
23．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 为 的直径，P在 的延长线上，C为圆上一点，且
(1)求证： 与 相切；(2)若 ，求 的半径．
24．（2023·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径， 于点 ，连接 交
于点 ，弦 ．(1)求证： 垂直平分 ；(2)求证： 是 的切线．
