专题1-7一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-7 一文讲透圆的十大基本模型·母题溯源 模型梳理 题型一 弦切角定理与切割线定理 湖北·黄石中考 湖北·十堰中考 2023·新疆·中考真题 题型二 中点弧模型 苏州·中考真题 深圳·中考真题 2023·山东枣庄·统考中考真题 2023·江苏无锡·统考中考真题 2023·四川遂宁·统考中考真题 题型三 内心模型 黑龙江绥化·中考真题 广东省卷·中考真题 湖北·孝感中考真题 题型四 线段和差问题（构造手拉手OR阿基米德折弦定理） 类型一：构造手拉手 2023·吉林长春·统考中考真题 类型二：折弦定理 山西中考 深圳·中考 题型五 平行弦与相交弦模型 2023·江苏苏州·统考中考真题 深圳·中考 2022·湖南张家界·中考真题 题型六 垂径图 四川绵阳·中考 题型七 等腰图（直径在腰上） 2023·四川成都·统考中考真题 四川宜宾·统考中考真题 2023·湖北黄冈·统考中考真题 2023·辽宁营口·统考中考真题 广西玉林·统考中考真题 2023·四川眉山·统考中考真题 湖北孝感·中考真题 2022·湖北十堰·统考中考真题 题型八 双切图 四川遂宁·统考中考真题 湖北武汉·中考真题 四川泸州·中考真题 四川乐山·中考真题 广东省卷·统考中考真题 四川·乐山中考 湖北武汉·中考真题 题型九 射影图 安徽·统考一模 四川成都·统考一模 2023·湖南永州·统考中考真题 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川广安·统考中考真题 题型十 切割图 模型梳理 圆的基本模型（一）：弦切角定理与切割线定理 D 3 C C B B 2 2 O P O P 1 1 A A ① 是 切 线 ； ② （ 弦 切 角 定 理 ） ； ③ 弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所 夹的弧所对的圆周角∠2 圆的基本模型（二）：中点弧模型 点P是优弧AB上一动点，则 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【以下五个条件知一推四】 ① 点C是 的中点 P ② AC＝BC ③ OC⊥AB O ④ PC平分∠APB E A B ⑤ ( 即 C ) 【例题】 如图，四边形 内接于 ，对角线 、 交于点 ，且 ，若 ， ，则 ． A B D P O C 【简证】 易知 ，则 ， A A B D B D P P O O C C 圆的基本模型（三）：内心模型与等腰 【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰 如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A A 4 I I I 1 5  O C  O 2 3 C C O B B B D D 【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3 圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理） 一、中点弧与旋转 【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是 的中点 邻边相等+对角互补 旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. P P P O  O  O E E E A B A B A B C P' C P' C 由于对角互补，即 ，显然 共线，且 ，通过导角不难得出相似. 常见结构（1）：圆内接等边三角形 结论：PB+PA=PC 【简析】 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 常见结构（2）：圆内接等腰直角三角形（正方形） 结论： 【简析】 补充：【托密勒定理】：秒杀！（选填可用） 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 二、阿基米德折弦定理 【模型解读】 【问题】：已知M为 的中点，B为 上任意一点，且MD⊥BC于D．求证：AB＋BD＝DC M C B D A O 证法一：(补短法) 如图：延长DB至F，使BF＝BA ∵M为 中点 ∴ ＝ ， ∴∠1＝∠2－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3－－－② 又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③ 由圆内接四边形对角互补∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④ 由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M C 2 3 D F B 1 A O 在△MBF与△MBA中； ∴△MBF≌△MBA (SAS) ∴MF＝MA， 又∵MC＝MA ∴MF＝MC 又∵MD⊥CF ∴DF＝DC ∴FB＋BD＝DC 又∵BF＝BA ∴AB＋BD＝DC (证毕) 证法二：(截长法——两种截取方式) 如图1：在CD上截取CG＝AB，则有DC＝CG＋DG，再证出BD＝DG即可 ∵＝ ∴∠1＝∠2－－－① 又∵M是中点， ∴MA＝MC－－－② 由①②可知，在△MBA与△MGC中 ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴BD＝GD 又∵MD⊥BG ∴BD＝DG ∴AB＋BD＝DC (证 毕) M M 1 C C 2 B D G B D G 2 1 A O A O 图1 图2 如图2：在CD上截取DB＝DG，再证明AB＝CG即可 简证：易知△MBG与△MAC均为等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG与△MAC构成手拉手模型， 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△BMA≌△GMC (SAS) ∴AB＝CG 常规证明：∵MD⊥BG ∴MB＝MG ∴∠2＝∠MGD－－－① 又∵ ＝， ∴∠1＝∠2－－－② ∵M是中点， ∴＝ ∴∠1＝∠MCA－－－③ 由①②③可得∠MGD＝∠MC， 而∠MGD＋∠MGC＝180°， ∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC ＝ ∠MBA 又∵ ＝ ， ∴ ＝ 在△MBA与△MGC中 ∴△BMA≌△GMC (AAS) ∴AB＝GC ∴AB＋BD＝DC（证毕） 证法三：(翻折)——证共线 如图3：连接MB，MC，MA，AC，将△BAM沿BM翻折，使点A落至点E，连接ME，BE ∵△MBA与△MBE关于BM对称，所以△MBE≌△MBA ∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－－① 又∵MA＝MC，∴ME＝MC， 又∵M，B，A，C四点共圆，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－－② 又∵MA＝MC（已证）∴∠MAC＝∠MCA 又∵＝，∴∠MBC＝∠MAC ∴∠MBC＝∠MCA－－－③ 由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三点共线。又∵ME＝MC，MD⊥CE ∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA ∴AB＝EB ∴AB＋BD＝DC（证毕） 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M H M C C D D E B B A O A O 图3 图4 证法四：两次全等 如图4，连接MB ， MA ， MC， AC ，延长AB，过点M作MH⊥AB于点H， ∵M为的中点 ∴AM＝MC， 又∵＝ ∴∠HAM＝∠DCM 又∵∠MHA＝∠MDC＝90 ∴在△MHA与△MDC中 ∴△MHA≌△MDC (AAS) ∴CD＝AH－－－① MD＝MH 在Rt△MHB与RtT△MDB中 ∴△MDB≌△MHB (HL) ∴BD＝BH 又∵AH＝AB＋BH， ∴ AH＝AB＋BD－－－② 由①②可得DC＝AB＋BD(证毕) 证法五：补短法（2）——两次全等 如图4，延长AB至H，使BH＝BD，则AB＋BD＝AH， 先证△BHM≌△BDM (HL)，再证△MHA≌△MDC (HL) 圆的基本模型（五）：平行弦与相交弦，割线定理 一、平行弦：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴ 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 二、相交弦：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于点G，则AG·CG=BG·DG 三、割线定理 割线PD、PC相交于点P，则 D D D A A A φ P P P φ B B B C C C 圆的基本模型（六）：垂径图 一、弧中点与垂径图 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 知1推5 ① AD平分 ∠CAB C D ② D是 的 中点 E ③ DO⊥CB A B O ④ ⑤ ⑥ 二、垂径+相等的三段弧 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是 的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交 CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)证CO∥BD D C (2) AD＝CE Q P (3)证：P是线段AQ的中点 A B H O (4)证：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB E (5)tan∠DBC＝ (6) 若AD＝8，BD＝6，求AH的值 (7) 若⊙O的半径为5，AQ＝ ，求弦CE的长. 【简证】 D D C C Q 2 Q G P P （1）A B A B H O H O E E 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C Q P （2）A B H O E (3) 先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP， ∴AP＝PQ＝CP D C Q α β β P α A B H O E （4）CP＝AP，CE＝AD CP•CE＝AP•AD，△APH △ABD AP•AD＝AH•AB ⇒ ∼ ⇒ D C Q 2 P A B H O E （5） D C Q 利用面积比等于相似比的平方， ACQ BCA P A B CQ S ACQ CQ2 CQ H O = = = =tanCAQ=tanDBC CB S AC2 AC ACB E 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C Q 利用子母相似对根式化简 CQ•CB=AC2 P A B CQ CQ•CB AC2 AC H O = = = =tanCBA=tanDBC CB CB•CB BC2 BC E （6）法一 D C Q 连接AC，连接CO交AD于G，OG∥ BD 易知GO是 ABD的中位线（平行线分线段成比例） G 4 P 3 1 1 可知OG= BD=3，AG= AD=4，则半径AO=5 A B 2 2 H O 易证 AOG COH（AAS） OH=OG=3，AH=r-3=2 E （6）法二 D C Q P 易知r=5，连接EO， A B H O 勾股可知HO=3，AH=5-3=2 4 r=5 E （7）找到对应相似三角形是关键 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C 3x D Q AQ 3 CQ 3 4x ACQ BCA =  = AB 4 AC 4 P 15 15 3 2 设CQ=3x，AC=4xAQ=5x= x= A B 2 2 H O 10 24 48 AC=6BC=8CH= CE= 5 5 E 补充拓展：垂径图导子母相似 如图弦CD⊥直径AB于点G，E是直线AB上一点（不与其他点重合），DE交圆O于F，CF交直线AB 于点P （1）证 ； （2）当点E在AB延长线上时，（1）的结论还成立吗？ C C β F F α P α P A A G O E B G O E B β D D C P B A E G O F D 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 圆的基本模型（七）：等腰图 一、直径在腰上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有 结论 （1）BD=CD=ED （2）DO∥ AC A A O O E E （3）知1推3： F F B D C B D C 【补充】 E 知1推2 知1推2 A F AB=AC DFEC O BD=CD=ED F是EC中点 B D C OD∥ EC FD是 O的切线 二、圆心在三线上：如图，已知AB是直径，AB=AC，则有 A E O M N B D C 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 圆的基本模型（八）：双切图 A 3 O 1 P E F 2 D B C 补充：多切图 内切圆半径为r} ⇒r＝ a＋b−c 内切圆半径为r} ⟹(a＋b＋c)·r＝b·h(h可求) ∠C＝90° 2 ∠C≠90° B F D c h a C E b A ①BC＝BE＋CO { ②OB⊥OC,EF⊥FG BE，BC，GC与⊙O相 切} ③EF∥OC，OB∥GF ⟹ R为⊙O的半径 ④矩形OAFD OB·OC OB·OC ⑤R＝ ＝ ·2R＝√BC2−(CG−BE) 2 BC BG＋CG 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E B A F O D C G 圆的基本模型（九）：射影图 A O D B E C 基本图形：AB是直径，ABC=90° A 其它结论 知1推4 OE是中位线 点E是BC中点 6个角相等 DE是 O切线 O D 射影定理（3个等积式） BE=BE OEBD 2r2=OE•AD B E C OE∥ AC 2DE2=CD•OE 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 圆的基本模型（十）：切割图（切线和割线垂直） D E AB是直径 ①OC∥AD； F C CD是切线    ②AC平分BAD，CE CB，DCACBA； G   A B ADCD ③OF CDEGBGCH，BH DE CG，OGEF  AF OH； O H   OF  AE ④ADDE AB；   CH  AB   ⑤AE AB2AH 2AD，AE AB2ACcosBAC.  D C E F A B O D C E M F A B O 题型一 弦切角定理与切割线定理 湖北·黄石中考 1．如图， 是 的直径，点D在 的延长线上，C、E是 上的两点， ， ，延长 交 的延长线于点F． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求弦 的长． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F C E A O B D 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 湖北·十堰中考 2．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，点 为 延长线上一点，且 ． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的半径． A O C B D E 3．如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线；(2)若直径 ，求 的长． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·新疆·中考真题 4．如图， 是 的直径，点 ， 是 上的点，且 ，连接 ，过点 作 的垂线， 交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ． 求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长． 5．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E． （1）求证：DE＝DB： （2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径； （3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型二 中点弧模型 苏州·中考真题 6．如图， 是 的直径， 、 为 上位于 异侧的两点，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 、 、 ． （1）证明： ；（2）设 交 于点 ，若 ， 是 的中点，求 的值． 深圳·中考真题 7．如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后， 点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC （1）求CD的长； （2）求证：PC是⊙O的切线； （3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、 C不重合）．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【拓展】（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，求FE·FG的值 2023·山东枣庄·统考中考真题 8．如图， 为 的直径，点C是 的中点，过点C做射线 的垂线，垂足为E． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证： 是 切线； (2)若 ，求 的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有 的式子表示）． 2023·江苏无锡·统考中考真题 9．如图， 是 的直径， 与 相交于点 ．过点 的圆O的切线 ，交 的延长线于点 ， ． (1) 求 的度数；(2)若 ，求 的半径． 2023·四川遂宁·统考中考真题 10．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， ，过点 的直线l交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，且 ． 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证： 是 的切线； (2)求证： ； (3)当 ， 时，求 的长． 题型三 内心模型 11．已知：如图，在 中，E是内心，延长AE交 的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F． 求证： ； 当点A在优弧BC上运动时，若 ， ， ，求y与x之间的函数关系． 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 黑龙江绥化·中考真题 12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB． 广东省卷·中考真题 13．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点 C作∠BCD＝∠ACB交 ⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长． 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 湖北·孝感中考真题 14．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点 E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG∥CA； （2）求证：AD＝ID； （3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长． C D O E I B A G F 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型四 线段和差问题（构造手拉手or阿基米德折弦定理） 类型一：构造手拉手 15．在 的内接四边形 中， ， ， ，点 为弧 的中点，则 的长 是 ． A O B D C 16．如图，已知 是 的弦，点 是弧 的中点， 是弦 上一动点，且不与 、 重合， 的 延长线交于 点 ，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长； （3）当点 在弦 上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变， 请求出其值． F A C D O B E 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·吉林长春·统考中考真题 17．【感知】如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐角 的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点 A、C重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点E，使 ，连 结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长 至点E，使 ，连结 ， 四边形 是 的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③， 是 的外接圆， ，点P在 上，且点P与点B在 的两侧，连结 、 、 ．若 ，则 的值为__________． 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 类型二：折弦定理 18．如图，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是⊙O的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，过点 M 作 MD⊥ BC 垂 足 为 D ， 求 证 ： CD=AB+BD. （ 阿 基 米 德 折 弦 定 理 ） M O B D C A 19．如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB=2，点D为弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于E， 求△BDC的周长。 A D O E B C 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20．己知:如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于E,易证得:AE=BE,从圆上任意 一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦。 (1) 如图2，PA、 PB组成⊙O的一条折弦，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于E, 求证: AE=PE+PB (2)如图3，PA、PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于E,则AE、PE、PB 之间存在怎样的数量关系?写出结论，并证明。 C C P P D A E B B B E E A A O O O D D C 图1 图2 图3 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 21．如图，在⊙O中AB=AC，点D是上一动点（点D不与C、B重合）连接DA、DB、DC， ∠BAC=120° （1）若AC=4，求⊙O的半径 （2）探究DA、DB、DC之间的关系，并证明。 D C O M A B 22．如图，△ABC内接于⊙O，AC＜BC,点D为的中点，求证AD²=AC·BC+CD² B O D C A 23．已知⊙O是等边△ABC的外接圆，P是⊙O上一点，求证PA+PB≤AC+BC 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C P O B A 山西中考 24．古希腊数学家阿基米德提出并证明了“折弦定理”．如图1,AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦),BC>AB,M是优弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点， 即CD=AB+BD． （1）请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 证明：如图2，在CB上截取CG=AB， 连接MA,MB,MC和MG． ∵M是的中点， ∴= ∴MA=MC． （2）如图(3),已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2，D为⊙O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足为E，请你运 用“折弦定理”求△BDC的周长． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 深圳·中考 25．如图,△ABC内接于⊙O,BC=2,AB=AC，点D为上的动点，且cos∠ABC=． （1）求AB的长度； （2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD﹒AE的值是否变化？若不变， 请求出AD﹒AE的值；若变化，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD,求证：BH=CD+DH． （4）求DA,DB,DC之间的数量关系 A A D D H O H O B C B C E 备用图 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 26．已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接 圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径． M O C D A B N 27．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于点D，连接AD、CD。作 AE⊥BD与点E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面积 A D E O B C 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 28．如图，△ABC 内接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC= ，D 是劣弧 AC 上一点，且 AD=2CD，求BD的长为. A O D B C 29．如图， PA⊥x轴于点A，点B在y轴正半轴上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，点C是线段PB延长线上的 一个动点，△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一个交点是D． （1）证明：AD=AC （2）试问：在点C运动的过程中，BD﹣BC的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请给出合理 的解释． y P B x A O O C D 题型五 平行弦与相交弦模型 30．如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O的直径是（ ） 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2 B． C．2 D．5 31．如图，半圆O的直径 ，延长 到A，直线AD交半圆于点E，D，且 ，求 的长． 2023·江苏苏州·统考中考真题 32．如图， 是 的内接三角形， 是 的直径， ，点 在 上，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，作 ，垂足为 ． (1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 33．如图， 和 是 的半径，并且 ， 是 上任意一点， 的延长线交 于点 ，点 在 的延长线上，且 ． 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求证： 是 的切线； （2）当 时，试确定 的取值范围； （3）求证： 深圳·中考 34．如图，线段 是 的直径，弦 于点H，点 是弧 上任意一点（不与B，C重合）， ， ．延长线段 交 的延长线于点E，直线 交 于点N，连结 交 于点 F，则 ， ． 2022·湖南张家界·中考真题 35．如图，四边形 内接于圆 ， 是直径，点 是 的中点，延长 交 的延长线于点 ． 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长． 题型六 垂径图 36．如图， 为 的直径， ， 为圆上的两点， ，弦 ， 相交于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的半径． D C E B A O 39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 37．如图， 是 的直径， 为弦 的中点，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ， 延长 至点 ，使得 ，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为5， ，求 的长． C E D F G A B O 四川绵阳·中考 38．如图， 是 的直径，点 为 的中点， 为 的弦，且 ，垂足为 ，连接 交 于点 ，连接 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． C D G A B E O F 40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 39．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为＝． （1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长． 题型七 等腰图（直径在腰上） 2023·四川成都·统考中考真题 40．如图，以 的边 为直径作 ，交 边于点D，过点C作 交 于点E，连接 ． (1)求证： ；(2)若 ，求 和 的长． 41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四川宜宾·统考中考真题 41．如图，线段 经过 的圆心O，交 于A、C两点， ， 为 的弦，连接 ， ，连接 并延长交 于点E，连接 交 于点M． （1）求证：直线 是 的切线；（2）求 的半径 的长；（3）求线段 的长． 2023·湖北黄冈·统考中考真题 42．如图， 中，以 为直径的 交 于点 ， 是 的切线，且 ，垂足为 ，延 长 交 于点 ． (1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·辽宁营口·统考中考真题 43．如图，在 中， ，以 为直径作 与 交于点D，过点D作 ，交 延长 线于点F，垂足为点E． (1)求证： 为 的切线；(2)若 ， ，求 的长． 44．（2022·江苏无锡·校联考一模）如图所示，在 中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点 D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F． (1)求证：EF是⊙O的切线．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝ ，求⊙O的半径与线段AE的长． 43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 广西玉林·统考中考真题 45．如图，在 中， ， ，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC于点D，E，过点E 作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD． （1）求证：EF是 的中位线；（2）求EF的长． △ 2023·四川眉山·统考中考真题 46．如图， 中，以 为直径的 交 于点E． 平分 ，过点E作 于点D，延 长 交 的延长线于点P． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ，求 的长． 44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 湖北孝感·中考真题 47．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 点 ，交 的延长线于点 . （1）求证： 是 的切线；（2）已知 ， ，求 和 的长. 48．（2023·湖南娄底·一模）如图，在 中， 平分 ，交 于点 ． 是 的直径，连 接 、过点 作 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ． (1)求证： 是 的切线； (2)求证： ； (3)若 的半径为5， ，求 的长． 45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2022·湖北十堰·统考中考真题 49．如图， 中， ， 为 上一点，以 为直径的 与 相切于点 ，交 于点 ， ，垂足为 ． (1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长． 50．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，OE∥BC交AC于点E，连接DE. (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若OE＝1，tan∠ODE＝ ，求AB的长. A D O E B C 【解析】(1)连接AO，证AO平分∠BAC，AO⊥BC.延长OE交CD于点H， A D O H E B M C ∵OE∥BC，∴∠OHD＝∠BCD＝90°，∴OH 垂直平分CD，∴EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC＝∠CAO＝ ∠BAC＝ ∠BDC，∴DE平分∠BDC； (2)延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∵tan∠ODE＝tan∠EDC＝tan∠OAE＝ ＝ ，∴OA＝2OE＝ 2＝OB，∵tan∠BAM＝ ＝tan∠OAE＝ ，设BM＝x，则AM＝2x，OM＝2x－2，∴在Rt△BOM中， x2＋(2x－2)2＝22，∴x＝ (x＝0已舍)，∴AB＝ ＝ x＝ . 46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 51．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，分别过A，C两点作⊙O的切线相交于点P，连接BP交AC于点 D. (1)求证：PA∥BC； (2)若sin∠BAC＝ ，求 的值. A P O D B C 【解析】(1)连接 AO 并延长交 BC 于点 H，连接 OB，OC，则△AOB≌△AOC，∴∠BAO＝∠CAO， ∴AH⊥BC，∵PA为切线，∴∠OAP＝90°，∴PA∥BC； A P O D B H C (2)证∠BOH＝∠BAC，设OB＝5x，BH＝4x，OH＝3x，BC＝8x，tan∠BAH＝ ＝ ＝tan∠CAH＝ tan∠APO＝ .∴PA＝10x，∴ ＝ ＝ ＝ . 52．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D. (1)求证：AO平分∠BAC； (2)若BC＝6，sin∠BAC＝ ，求AC和CD的长. A A D D O O B C B C 解：(1)方法一：连接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的中垂线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝ AC，∴AO平分∠BAC； 47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A E D D O O B C B H C 方法二：证△AOB≌△AOC(SSS)即可； (2)延长CD交⊙O于点E，连接BE，延长AO交BC于点H，∵sin∠BOH＝sin∠BAC＝ ，∴ ＝ ， ∴易求出AO＝OE＝5，BE＝8，易证BE∥OA，得 ＝ ＝ ，可求出OD＝ ，∴CD＝ ，BH＝ 3，AH＝9，容易求出AB＝AC＝3 . 53．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D. (1)求证：2AC2＝AD·BC； (2)连接BD交AC于点P，若 ＝ ，求sin∠BAC的值. A D P O B C 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，AE⊥AD，∴AD∥BC，CE＝ BC， A D P O B E C ∴△ACE∽△DAC，∴ ＝ ，∴AC2＝CE·AD，∴2AC2＝AD·BC； (2)由(1)知：AD∥BC，∴ ＝ ＝ ，∴可设AD＝3，BC＝2，∵2AC2＝AD·BC，∴AC＝AB＝ ，∴AE＝ ＝2，连接OC，设OA＝OC＝r，则OE＝ －r， ∴在Rt△COE 中，r2＝( －r)2＋12，∴r＝ ，∴sin∠BAC＝sin∠COE＝ ＝ . 54．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，连接BO并延长交AC于点D. (1)求⊙O的半径长； 48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (2)求CD的长. A D O B C 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，∴BE＝ BC＝6，∴AE＝ ＝8. A D F O B E C 设OA＝OB＝r，则OE＝8－r，∴在Rt△BOE中，r2＝62＋(8－r)2，∴r＝ ； (2)由(1)知OE＝ ，延长BD交⊙O于点F，连接CF，则CF＝2OF＝ . ∵AO∥CF，∴△AOD∽△CFD，∴ ＝ ＝ ，∴CD＝ AC＝ . 题型八 双切图 四川遂宁·统考中考真题 55．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC 于点F，过点△C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直 径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证： ＝ ． （3）若sin∠ABC═ ，AC＝15，求四边形CHQE的面积． 49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 湖北武汉·中考真题 56．如图，PA为⊙O的切线，A为切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与 ⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E. (1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若tan∠ABE= ，求sinE的值. 57．如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作 O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA= ，求BE的长 51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四川泸州·中考真题 58．如图，⊙O与Rt ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD 相交于点E，连接△FE并延长交AC边于点G． （1）求证：DF∥AO； （2）若AC=6，AB=10，求CG的长． 四川乐山·中考真题 59．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6， ．求BE的长． 52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 广东省卷·统考中考真题 60．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E． （1）证明：OD∥BC； （2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切； （3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长． 四川·乐山中考 61．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O 于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO； （2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ＝2，求 的值． B D F O P E C A Q 湖北武汉·中考真题 62．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且 PA=PB， 53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若∠APC=3∠BPC，求 的值． 题型九 射影图 63．如图，已知，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行 线OE，交BC于点△E，连接DE并延长交AB的延长线于点F． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径； (3)若DC＝DE＝1，求AD的长． 54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 安徽·统考一模 64．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点D，E是 的中点，连接 ． （1）求证： 与 相切； （2）求证： ； （3）若 ，求 的长． 四川成都·统考一模 65．如图，在 中， ，以AB为直径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE. （1）求证：DE是 的切线； （2）设 的半径为r，证明 ； （3）若 ，求AD之长. 66．（2023下·安徽·九年级专题练习）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 是 的中点，连接 ． (1)求证： 是 的切线；(2)连接 ，若 ， ，求 的长． 2023·湖南永州·统考中考真题 67．如图，以 为直径的 是 的外接圆，延长 到点D．使得 ，点E在 的延 长线上，点 在线段 上， 交 于N， 交 于G． (1)求证： 是 的切线； (2)若 ，求 的长； (3)若 ，求证： ． 56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·四川广安·统考中考真题 68．如图，以 的直角边 为直径作 ，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 ． (1)求证： 是 的切线． (2)若 ，求 的长． (3)求证： ． 57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型十 切割图 69．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线乖直，垂足为点D，AD交⊙O于点E. (1)求证：AC平分∠DAB； (2)直线BE交AC于点F，若cos∠CAD＝ ，求 的值. D C E F A B O 70．如图1，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，点D在⊙O上，过点C的切线CE⊥BD于点E，直径DF 交AC于点M. (1)求证： ＝ ； (2)如图2，若 ＝ ，求tan∠BAC的值. C C F E F E M M B A B A O O D D 58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 71．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AB上，以OA为半径的 ⊙O经过点D，与AB交于点E. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若cos∠ABC＝ ，AE＝4，求CD的长. C D A O E B 72．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接 BD. (1)求证： ＝ ； (2)若cos∠CAD＝ ，求tan∠BDC的值. D C E A B O 73．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上的一点，AD垂直于经过点C的切线，垂足为D，AB 的延长线交直线CD于点E，AC与OD相交于点G. (1)求证： ＝ ； (2)若 ＝ ，求tan∠ODE的值. D C G A O B E 59