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专题05 圆中的重要模型-圆中的翻折模型
知识储备：
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周
角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整
个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在
的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）
如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）已知点 ， ， 在 上， ，把劣弧 沿着直
线 折叠交弦 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B．9 C． D．
例2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以 为直径的半圆沿弦BC折叠后， 与 相
交于点D．若 ，则 ．
例3．（2023·山东济宁·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠交直径 于圆心O，则
度．
例4．（2023春·广西·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为 ，
， ，点 为圆上一点， ，将 沿弦 翻折，交 于点 ，图中阴影
部分的面积 ．例5．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图， 是 的直径，且 ，点 是 上一点，连接 ，
过点 作 于点 ，将 沿直线 翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点 ，则图中阴影部分的面
积为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧 上，将 沿BC折叠后刚好经过
AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（ ）
①AC＝CD；②AD＝BD；③ + ＝ ；④CD平分∠ACB
A．1 B．2 C．3 D．4
例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）如图，在 中，将劣弧 沿弦 折叠得弧 ，P是弧
上一动点，过点P作弧 的切线与 交于C，D两点，若⊙O的半径为13， ，则 的
长度最大值为 ．
例9．（2023·浙江温州·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，
∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证： ．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；
②如图2，将 沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为课后专项训练
1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为8，C为折叠后 的中点，则
长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧 沿AC折叠后刚好经过
弦BC的中点D．若AC＝6，∠C＝60°，则⊙O的半径长为（ ）A． B．2 C． D．
3．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，在正方形纸片 中，点M，N在 上，将纸片沿
折叠，折叠后使点A和点D重合于点I， 的外接圆分别交 于点P，Q．若 ，
则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在 中， 为直径，点 为图上一点，将劣弧 沿弦
翻折交 于点 ，连接 ，如果 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，将 沿弦 折叠，点 ， 分别是两条弧的中点，与 的度数之比为 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江·九年级假期作业）如图， 内接于圆，D是 上一点，将 沿 翻折，B点正好
落在圆上的点E处，若 ，则 （ ）
A．40° B．50° C．55° D．65°
7．（2023·湖北黄石·校联考模拟预测）如图， ， 是 的弦，劣弧 沿弦 翻折恰好经过点
O，交 于点D，连接 ，若 ， ，则 的半径长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，D、E为圆上
动点，且D、E关于AB对称，将 沿AD翻折交AE于点F，使点C恰好落在直径AB上点 处，若⊙O的周长为10，则 的长为（ ）
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
9．（2023·浙江温州·九年级统考期末）如图，将⊙O上的 沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将 沿
BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D． +1
10．（2023·浙江宁波·九年级统考期末）如图， 是 的直径，且 ， 是 上一点，将弧
沿直线 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点 ，取 ， ， ，那么由线段 、
和弧 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）
A．3.2 B．3.6 C．3.8 D．4.2
11．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在半径为5的⊙O中；弦AC＝8，B为 上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE中点，连接AE，OF．现给出以下结论：
①AE＝AB；②∠AED=∠ADE；③∠ADC＝2∠AED；④OF的最小值为2，其中正确的是 （写出所
有正确结论的序号）．
12．（2023·河南周口·统考二模）如图①， 为半圆 的直径，点 在 上从点 向点 运动，将
沿弦 ，翻折，翻折后 的中点为 ，设点 ， 间的距离为 ，点 ， 间的距离为 ，图②是点
运动时 随 变化的关系图象，则 的长为 ．
13．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形 中，点C，D在 上，将 沿弦 折叠后恰
好与 ， 相切于点E，F．已知 ， ，则 的度数为 ；折痕 的长为
．
14．（2023·广西·统考一模）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E．若∠OCD＝45°，OC＝
+1，则扇形AOB的半径长是 ．
15．（2023·河北·九年级校联考专题练习）已知⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，连接AC，沿AC折叠劣
弧 ，记折叠后的劣弧为 ．（1）如图1，当 经过圆心O时，求 的长．（2）如图2，当
与AB相切于A时．①画出 所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形 的面积．
16．（2023·江苏徐州·九年级阶段练习）小明在研究由矩形纸片折叠等边三角形之后，经过探究，他用圆
形纸片也折叠出了等边三角形，以下是他的折叠过程：第一步：将圆形纸片沿直径AM对折，然后打开；
第二步：将纸片沿折痕BC翻折使点M落在圆心I处，然后打开，连接AB、AC．（1）在图③中BC与IM的位置关系是 ；（2）小明折叠出的△ABC是等边三角形吗？请你说明理
由．
17．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1） 是 的直径，且 ，点 是半
圆 的中点，点 是 上一动点，将 沿直线 折叠交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；(2)当点 与点 重合时，如图（2），求 的长．
18．（2023·江苏·九年级专题练习）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作
及问题：如图1， 的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心 ，则
AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题：（2）如图2， ⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦
AB折叠后经过 C的中点D，AB=10cm，求 的半径；（3）如图3， 的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．
