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专题05 含参二元一次方程和含参二元一次方程组（解析版）
第一部分 知识导航
知识点一 含参方程（组）的题型
1．同解问题
2．整数解问题
3．错解问题
知识点二 含参方程（组）的基本解法
1．含参方程和含参方程组
当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫
做含参数的方程，简称含参方程．由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组．
2．含参一元一次方程
含参的一元一次方程总能化成 的形式，方程 的解根据a，b的取值范围分类讨论．
①当 时，方程有唯一解 ；
②当 ，且 时，方程有无数个解，解是任意数；
③当 ，且 时，方程无解．
3．含参二元一次方程组
a xb yc
1 1 1
对于方程组 ，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行讨论．
a xb yc
2 2 2
①当 时，方程有唯一解；
②当 时，方程有无数个解；
③当 时，方程无解．
第二部分 题组练习
类型一 含参方程组的同解问题
{2x+5 y=−6) {3x−5 y=16)
1．（2023 秋•甘州区校级期末）已知方程组 和方程组 的解相同，求
ax−by=−4 bx+ay=−8
（2a+b）2024的值．
{2x+5 y=−6)
【思路引领】由题意可得 ，解得x，y的值后分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得到
3x−5 y=16
关于a，b的方程组，解得a，b的值后代入（2a+b）2024中计算即可．
{2x+5 y=−6)
【解答】解：由题意可得 ，
3x−5 y=16{ x=2 )
解得： ，
y=−2
{ x=2 ) {2a+2b=−4)
将 分别代入ax﹣by＝﹣4，bx+ay＝﹣8中得 ，
y=−2 2b−2a=−8
{ a=1 )
解得： ，
b=−3
则（2a+b）2024＝（2×1﹣3）2024＝（﹣1）2024＝1．
{2x+5 y=−6)
【总结提升】本题考查解二元一次方程组，结合已知条件列得 并求得它的解是解题的关
3x−5 y=16
键．
2．（2023春•南召县期中）（1）若方程m（1﹣x）＝x+3与方程2﹣x＝x+4的解相同，求m的值．
{ 3x−m=−y )
（2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组 的解．
2x+2y=m−1
（3）善于研究的小颖同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是
x ﹣ y ＝ 1 ．
【思路引领】（1）解一元一次方程2﹣x＝x+4，可求出x的值，再将其代入方程m（1﹣x）＝x+3中，
求出m值即可；
（2）将m＝1代入原方程，解之即可得出结论；
（3）将原方程组变形，再利用①﹣②，即可得出结论．
【解答】解：（1）一元一次方程2﹣x＝x+4的解为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入方程m（1﹣x）＝x+3得：m[1﹣（﹣1）]＝﹣1+3，
解得：m＝1，
∴m的值为1；
{ 3x−1=−y )
（2）将m＝1代入原方程得： ，
2x+2y=1−1
{3x+ y=1①)
即 ，
x+ y=0②
1
（①﹣②）÷2得：x= ，
2
1 1
将x= 代入②得： +y＝0，
2 2
1
解得：y=− ，
21
{ x= )
∴在（1）的条件下，关于x、y的方程组{ 3x−m=−y )的解为 2 ；
2x+2y=m−1 1
y=−
2
{ 3x+ y=m① )
（3）原方程组可变形为 ，
2x+2y=m−1②
①﹣②得：x﹣y＝1，
∴无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是x﹣y＝1．
故答案为：x﹣y＝1．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：
（1）通过解一元一次方程，求出x的值；（2）代入m的值，求出方程组的解；（3）根据方程组中两
方程间的关系，找出x﹣y＝1．
类型二 已知方程根的情况，求参数的值
{ 2x+5 y=2 )
3．（2023秋•梅县区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝m﹣1，求m
5x+2y=−12
的值．
【思路引领】利用②﹣①，可得出3x﹣3y＝﹣14，结合x﹣y＝m﹣1，可得出关于m的一元一次方程，
解之即可求出m的值．
{ 2x+5 y=2① )
【解答】解： ，
5x+2y=−12②
②﹣①得：3x﹣3y＝﹣14，
又∵x﹣y＝m﹣1，
∴3（m﹣1）＝﹣14，
11
解得：m=− ，
3
11
∴m的值为− ．
3
【总结提升】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足二元一
次方程，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
{ x−y=4 )
4．（2023春•东台市月考）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＝2，求k的值．
kx+ y=−10
【思路引领】根据x+y＝2联立x﹣y＝4，求得x＝3，y＝﹣1，代入kx+y＝﹣10，即可求解．{x−y=4)
【解答】解：依题意得： ，
x+ y=2
{ x=3 )
解得： ，
y=−1
代入kx+y＝﹣10，得3k﹣1＝﹣10，
解得：k＝﹣3．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，求得x，y的值是解题关键．
5．（2022秋•景德镇期末）阅读材料，回答下列问题：
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具
有“邻好关系”．
{x+2y=7)
（1）方程组 的解x与y 是 （填写“是”或“不是”）具有“邻好关系”？
x−y=1
{ 2x−y=6 )
（2）若方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
4x+ y=6m
【思路引领】（1）由方程组中x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1，说明该方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，即该
方程组的解x与y具有“邻好关系”；
（2）利用原方程组变形得：x﹣y＝5﹣m，再根据“邻好关系”的定义，即得出5﹣m＝±1，解出m的
值即可．
【解答】解：（1）∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1．
∴方程组的解x，y具有“邻好关系”，
故答案为：是；
{ 2x−y=6① )
（2）方程组 ，
4x+ y=6m②
②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m，
把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4，
∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m．
∵方程组的解x，y具有“邻好关系”，
∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1，
∴m＝6或m＝4．
【总结提升】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键．
{ x+3 y=2a−1 )
6．（2023春•泉州期末）已知：关于x，y的方程组 ．
x−5 y=15−6a
（1）若x＝y，求a的值．（2）不论a取何值时，试说明x+y的值不变．
1 1
（3）若 x＜m＜ y，且整数m只能有两个，求这两个整数．
2 3
【思路引领】（1）把a看作已知数表示出x与y，根据x＝y求出a的值即可；
（2）把表示出的x与y代入x+y化简即可作出判断；
（3）把表示出的x与y代入已知不等式求出m的范围，确定出整数m即可．
{ x+3 y=2a−1①)
【解答】解： ，
x−5 y=15−6a②
①﹣②得：8y＝8a﹣16，
解得：y＝a﹣2，
把y＝a﹣2代入①得：x+3（a﹣2）＝2a﹣1，
解得：x＝﹣a+5，
（1）∵x＝y，
∴﹣a+5＝a﹣2，
7
解得：a= ；
2
（2）∵x+y＝﹣a+5+a﹣2＝3，
则x+y的值不变；
（3）∵y＝a﹣2，x＝﹣a+5，
1 1
若 x＜m＜ y，且整数m只能有两个，
2 3
5−a a−2
∴ ＜ ，
2 3
19
∴a＞ ，
5
1 2
当a＝4时， ＜m＜ ，不合题意，
2 3
当a＝5时，0＜m＜13，不合题意，
4
当a＝6时，﹣0.5＜m＜ ，m的整数解为：0和1，
3
2
当a＝7时，﹣1＜m＜1 ，m的整数解为：0和1，
3
∴整数m的值为：0和1．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，把字母看成常数是解题的关键．类型三 含参方程（组）的整数解问题
{ x+3 y=7 )
7．（2023春•桐柏县期末）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−3 y+mx+3=0
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值．
【思路引领】（1）由x+3y＝7，可得出x＝7﹣3y，结合x，y均为正整数，即可求出方程x+3y＝7的所
有正整数解；
{ x+3 y=7 )
（2）由方程组的解满足2x﹣3y＝2，可得出原方程组的解与方程组 的解相同，解之可得
2x−3 y=2
出原方程组的解，再将其代入x﹣3y+mx+3＝0中，可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的
值．
【解答】解：（1）∵x+3y＝7，
∴x＝7﹣3y．
又∵x，y均为正整数，
{x=4) {x=1)
∴ 或 ，
y=1 y=2
{x=4) {x=1)
∴方程x+3y＝7的正整数解为 或 ；
y=1 y=2
（2）∵方程组的解满足2x﹣3y＝2，
{ x+3 y=7①)
∴原方程组的解与方程组 的解相同．
2x−3 y=2②
（①+②）÷3得：x＝3，
将x＝3代入①得：3+3y＝7，
4
解得：y= ，
3
{x=3
)
∴原方程组为 4 ．
y=
3
{x=3
) 4
将 4 代入x﹣3y+mx+3＝0得：3﹣3× +3m+3＝0，
y= 3
3
2
解得：m=− ，
3
2
∴m的值为− ．
3【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、二元一次方程的整数解以及解一元
一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握求二元一次方程的整数解的方法；（2）通过解方程组，求出
x，y的值．
{ 2x+ y−6=0① )
8．（2023春•卧龙区期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x−2y+my+8=0②
（1）请直接写出方程2x+y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x﹣y＝0，求m的值；
（3）无论数m取何值，方程2x﹣2y+my+8＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解．
【思路引领】（1）先判断出y为偶数，再求出y的取值范围，然后确定y值；
（2）求出x与y的解，然后代入x﹣y＝0，最后求出m；
（3）将含有m的项提出，使其为0求解．
【解答】解：（1）由2x+y﹣6＝0可得：2x＝6﹣y，
∵2x为偶数，
∴4﹣y为偶数，
∴y为偶数，
∵6﹣y＞0，
∴0＜y＜6，
{x=2) {x=1)
∴ 或 ；
y=2 y=4
（2）∵x﹣y＝0，
∴x＝y，
把x＝y代入2x+y﹣6＝0得：
3x﹣6＝0，
解得：x＝2，
∴y＝2，
把x＝y＝2代入2x﹣2y+my+8＝0得：
4﹣4+2m+8＝0，
解得：m＝﹣4．
（3）2x﹣2y+my+8＝2x+（m﹣2）y+8，
当y＝0时，x＝﹣4，
{x=−4)
∴固定解为： ．
y=0【总结提升】本题主要考查了二元一次方程组的知识，有一定的难度，认真计算即可．
9．（2023春•新罗区期末）（一）阅读材料
若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有一组整数解{x=x
0
)，则方程ax+by＝c的全体整数解可表示为
y= y
0
{x=x
0
+bt
)（t为整数）．
y= y −at
0
例题：求关于x，y的二元一次方程5x+11y＝136的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该例题如下：
解：∵5x+11y＝136，∴x＝（136﹣11y）÷5＝27﹣3y+（1+4y）÷5，
∵x，y要取整数，∴当y＝1时，x＝25，
∴该方程一组整数解为{x
0
=25 )，∴其全体整数解为{x=25+11t)（t为整数）．
y =1 y=1−5t
0
{25+11t＞0) 25 1
∵ ，∴− ＜t＜ ．
1−5t＞0 11 5
∵t为整数，∴t＝﹣2、﹣1或0．
{x=3
)
{x=14) {x=25)
∴该方程的正整数解为 、 和 ．
y=11 y=6 y=1
（二）解决问题
{x=a+5t)
（1）关于x，y的二元一次方程3x+5y＝14的全体整数解表示为 （t为整数），则a＝ 3
y=1−3t
；
（2）请参考阅读材料，直接写出关于x，y的二元一次方程19x﹣7y＝155的一组整数解和它对应的全体
整数解；
（3）请你参考小明的解题方法，求关于x，y的二元一次方程3x+2y＝23的全体正整数解．
【思路引领】（1）利用题干中的方法，求得方程3x+5y＝14的一组整数解即可得出结论；
（2）利用题干中的方法，将原方程适当变形后，求得它的一组整数解，再利用{x=x
0
+bt
)（t为整
y= y −at
0
数）解答即可得出结论；
{x=7+2t)
（3）类比小明的做法，先求得原方程的一组整数解，再求得原方程的全部整数解 （t为整
y=1−3t{x=7+2t)
数），进而得出关于t的不等式组，求得整数t值，最后代入解 （t为整数）中计算即可得
y=1−3t
出结论．
【解答】解：（1）a＝3．理由如下：
∵当x＝3时，y＝1，
{x=3)
∴方程3x+5y＝14的一组整数解为： ，
y=1
{x=3+5t)
它的全部整数解 （t为整数），
y=1−3t
{x=a+5t)
∵方程3x+5y＝14的全部整数解表示为： （t为整数），
y=1−3t
∴a＝3．
故答案为：3；
{x=10) {x=10−7t)
（2） ， （t为整数）．理由如下：
y=5 y=5−19t
∵19x﹣7y＝155，
∴19x＝7y+155，
7 y+155 7 y+3
∴x= = +8，
19 19
∵x，y为整数，
∴y＝1、2、3、4、5，分别代入验算，得：当y＝5时，x＝10．
{x=10)
∴原方程的一组整数解为 ，
y=5
{x=10−7t)
∴原方程的全部整数解： （t为整数）；
y=5−19t
（3）∵3x+2y＝23，
∴3x＝23﹣2y，
23−2y 2y+1
∴x= =8− ，
3 3
∵x，y为整数，
∴当y＝1时，x＝7，
{x=7)
∴原方程的一组整数解为 ，
y=1{x=7+2t)
∴原方程的全部整数解 （t为整数），
y=1−3t
∵x＞0，y＞0，
{7+2t＞0)
∴ ，
1−3t＞0
1
∴−3.5＜t＜ ，
3
∵t为整数，
∴t＝﹣3、﹣2、﹣1或0，
{ x=1 ) {x=3) {x=5) {x=7)
∴当t＝﹣3、﹣2、﹣1、0时，对应得： ， ， ， ，
y=10 y=7 y=4 y=1
{ x=1 ) {x=3) {x=5) {x=7)
∴方程3x+2y＝23的全部正整数解为： ， ， 和 ．
y=10 y=7 y=4 y=1
【总结提升】本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的
应用，本题是阅读型题目，理解题干中的方法与结论并熟练应用是解题的关键．
{2ax+ y=5①)
10．（2023春•宛城区月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−by=2②
（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；
{x=−2)
（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解
y=1
{x=1)
为 ，求a、b的值及原方程组的解．
y=3
【思路引领】（1）将a＝1代入方程，分别令x＝1，x＝2，求出对应的y的值即可；
{x=−2) {x=1)
（2）将 代入②式可求得a的值；将 代入①式可求得b的值；从而得出原方程组，进
y=1 y=3
一步解方程组即可．
【解答】解：（1）将a＝1代入方程可得：2x+y＝5，
当x＝1时，y＝3；
当x＝2时，y＝1；
当x＞2时，y＜1，没有符合条件的解；
{x=1) {x=2)
∴该方程的正整数解为： ， ，
y=3 y=1
{x=−2)
（2）将 代入②得：﹣2﹣b＝2，
y=1解得：b＝﹣4，
{x=1)
将 代入①得：2a+3＝5，
y=3
解得：a＝1，
{2x+ y=5①)
∴原方程组为 ，
x+4 y=2②
③×4﹣④得：7x＝18，
18
解得：x= ④×2﹣③得：7y＝﹣1，
7
1
解得：y=− ，
7
18
{x= )
∴原方程组的解为： 7 ．
1
y=−
7
【总结提升】本题考查了二元一次方程的整数解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程的关
系是解决本题的关键．
类型四 含参方程组的错解问题
{1
ax−by=1①)
11．（2023秋•城关区校级期末）小鑫、小童两人同时解方程组 2 时，小鑫看错了方程②
ax−y=17②
{x=4) { x=5 )
中的a，解得 ，小童看错了①中的b，解得 ．
y=1 y=−7
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【思路引领】（1）把小鑫的结果代入第一个方程，小童的结果代入第二个方程，求出正确 a与b的值
即可；
（2）把a与b的值代入方程组，求出正确解即可．
【解答】解：（1）根据题意，可得 { 1 ⋅4a−b=1 ) ，
2
5a−(−7)=17
{2a−b=1)
整理得： ，
5a+7=17{a=2)
解得： ；
b=3
{x−3 y=1①)
（2）将a，b代入原方程组，得 ，
2x−y=17②
由②可得y＝2x﹣17③，
将③代入①，可得x﹣3（2x﹣17）＝1，
解得：x＝10，
把x＝10代入③，解得：y＝3．
{x=10)
故原方程组的正确解是 ．
y=3
【总结提升】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消
元法．
{ ax+by=9 ) {x=2)
12．（2023春•海安市期中）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c
3x−cy=−2 y=4
{ x=4 )
抄错了，误解为 ，求2a+b﹣c的值．
y=−1
【思路引领】把甲的结果代入方程组求出c的值，得到关于a与b的方程，再将乙的结果代入第一个方
程得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值即可．
{x=2) {2a+4b=9)
【解答】解：把 代入方程组得： ，
y=4 6−4c=−2
解得：c＝2，
{ x=4 )
把 代入方程组中第一个方程得：4a﹣b＝9，
y=−1
{2a+4b=9)
联立得： ，
4a−b=9
{a=2.5)
解得： ，
b=1
则a＝2.5，b＝1，c＝2，
2a+b﹣c＝2×2.5+1﹣2＝4．
【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
类型五 已知方程（组）解的情况，求参数的值
{4x+ y=5)
13．确定a、b的值使二元一次方程组 ．
ax+2y=b（1）有无数个解；
（2）无解；
（3）有唯一解．
4 1 5
【思路引领】（1）当系数满足 = = 时，方程组有无数个解，从而确定a，b的值；
a 2 b
4 1 5
（2）当系数满足 = ≠ 时，方程组无解，从而确定a，b的值；
a 2 b
4 1
（3）当系数 ≠ 时，方程组有唯一解，从而确定a，b的值．
a 2
4 1 5
【解答】解：（1）∵系数满足 = = 时，方程组有无数个解，
a 2 b
∴a＝8，b＝10．
4 1 5
（2）∵系数满足 = ≠ 时，方程组无解，
a 2 b
∴a＝8，b≠10．
4 1
（3）∵系数 ≠ 时，方程组有唯一解，
a 2
∴a≠8，b为任何实数．
【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解的存在的三种情形，从系数的关系上能够看到方程组解的
个数．
第三部分 专题提优训练
{2x−y=7a−5)
1．（2023春•黄山期末）已知方程组 的解x，y互为相反数，则a的值为（ ）
2y−x=5
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【思路引领】利用方程①+方程②，可得出x+y＝7a，再结合x+y＝0，即可求出a的值．
{2x−y=7a−5①)
【解答】解： ，
2y−x=5②
①+②得：x+y＝7a，
又∵原方程组的解x，y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴7a＝0，
解得：a＝0，
∴a的值为0．故选：A．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，根据方程组的解x，y互为相反数，找出关于a的一元
一次方程是解题的关键．
{x+2y=5
)
2．（2017春•太仓市期中）若关于 x、y的方程组 的解都是正整数，那么整数 a的值有
2x+ay=4
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】把a看作已知数表示出x与y，根据x与y为正整数，求出整数a的值即可．
{x+2y=5①)
【解答】解： ，
2x+ay=4②
6
①×2﹣②得：（4﹣a）y＝6，即y= ，
4−a
5a−8
①×a﹣②×2得：（a﹣4）x＝5a﹣8，即x= ，
a−4
由x与y为正整数，得到a＝﹣2，1，共2个．
故选：B．
【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
{ x+ y=m )
3．如果关于x、y的方程组 的解x、y都是正整数，那么整数m＝ 3 ．
5x+3 y=2m+5
【思路引领】利用消元法解方程组，再根据x、y都是正整数，即可解得m的整数值．
{ x+ y=m① )
【解答】解：解关于x，y的方程组 ，
5x+3 y=2m+5②
3m−5
由①×5﹣②得：2y＝3m﹣5，y= ③，
2
5−m
由②﹣①×3得：2x＝5﹣m，x= ④，
2
∵方程的解x、y都是正整数，
∴③＞0，④＞0且m是奇数，
5
解得： ＜m＜5（m是奇数），
3
∴整数m＝3．
故答案为：3．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解法，要注意的是 x，y都为正整数，则解出x，y关于m的式子，最终求出m的范围，即可知道整数m的值．
{ ax+by=2 ) {x=1)
4．（2023春•西山区校级期中）甲乙两人同时解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错了
cx−3 y=−2 y=1
{ x=1 )
c，解得 ．则a＝ 2 ，b＝ 0 ，c＝ 1 ．
y=−1
【思路引领】把x＝1，y＝1代入方程组，把x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程，即可得到一个
关于a、b、c的方程组，解方程组即可求解．
{
a+b=2①
)
【解答】解：根据题意得： c−3=−2② ，
a−b=2③
{a=2
)
解得： b=0 ，
c=1
故答案为：2；0；1．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的定义，以及三元一次方程组的解法，正确解方程组是关键．
{ x+4 y=2m−3 )
5．（2023秋•双流区校级期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解x，y互为相反数，
−2x+ y=5m−12
则m的值为 3 ．
【思路引领】根据方程组的解x，y互为相反数，得到y＝﹣x，代入方程组转化为x，m的二元一次方程
组，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：y＝﹣x，
{ x−4x=2m−3 ) {−3x=2m−3 )
∴原方程组化为： ，即： ，
−2x−x=5m−12 −3x=5m−12
∴2m﹣3＝5m﹣12，
∴m＝3；
故答案为：3．
【总结提升】本题考查根据方程组解的情况求参数，由方程组的解互为相反数得出 y＝﹣x是解答本题
的关键．
{x=−2)
6．（2021秋•临渭区校级月考）已知方程2x+（1+m）y＝﹣1与方程nx﹣y＝5有一组相同的解 ，
y=1
求m+n的值．
【思路引领】把x与y的值代入方程求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
{x=−2)
【解答】解：把 代入方程2x+（1+m）y＝﹣1，得﹣4+1+m＝﹣1，
y=1解得m＝2，
{x=−2)
把 代入方程nx﹣y＝5，得﹣2n﹣1＝5，
y=1
解得n＝﹣3，
∴m+n＝2﹣3＝﹣1．
【总结提升】此题考查了二元一次方程的解，把解代入方程得出新方程是解题的关键．
{x=−2)
7．已知方程2x+（1+m）y＝﹣1与方程nx﹣y＝1有一个相同的解 ，你能求出（m+n）2020的值吗？
y=1
【思路引领】把x与y的值代入方程求出m与n的值，即可确定出所求式子的值．
{x=−2)
【解答】解：把 代入2x+（1+m）y＝﹣1，得﹣4+1+m＝﹣1，解得m＝2；
y=1
{x=−2)
把 代入程nx﹣y＝1，得﹣2n﹣1＝1，解得n＝﹣1．
y=1
∴（m+n）2020＝（2﹣1）2020＝1．
【总结提升】此题考查了有理数的乘方以及二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值，叫做二元一次方程的解．
{2x+3 y=4k)
8．（2023春•海口期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值．
x−2y=−3
8k−9
{x= )
【思路引领】根据一元一次方程的解法求出方程组的解 7 ，再根据方程组的解是互为相反数，
4k+6
y=
7
即x+y＝0求出答案即可．
8k−9
{x= )
【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{2x+3 y=4k)的解 7 ，
x−2y=−3 4k+6
y=
7
由于方程组的解互为相反数，即x+y＝0，
8k−9 4k+6
所以 + =0，
7 7
1
解得k= ．
4
【总结提升】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是正确解答的前提，理解互为相反数的定义是解决问题的关键．
{4x−y=5) {ax+by=−1
)
9．（2023春•隆回县期中）已知关于x，y的方程组 和 有相同的解．
3x+ y=9 3x+4by=18
（1）求出它们的相同解；
（2）求（2a+3b）2023的值．
{4x−y=5) {ax+by=−1
)
【思路引领】（1）因为关于 x，y 的方程组 和 有相同的解，求出
3x+ y=9 3x+4by=18
{4x−y=5)
的解，即可解答；
3x+ y=9
{x=2) {ax+by=−1
)
（2）将 代入到 中，求出a、b的值，再代入，求出即可．
y=3 3x+4by=18
{4x−y=5) {x=2) {x=2)
【解答】解：（1）解方程组 得 ，所以它们的相同解是 ；
3x+ y=9 y=3 y=3
{x=2) {ax+by=−1
)
{2a+3b=−1)
（2）把 代入 得， ，
y=3 3x+4by=18 6+12b=18
{a=−2)
解得 ，
b=1
∴（2a+3b）2023＝[2×（﹣2）+3×1]2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识点，能求出两
方程组的相同的解是解此题的关键．
10．（2023秋•小店区月考）综合与实践
{ ax+ y=7①)
小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组 ，由于粗心，小李看错了方程①中的
2x−by=1②
{x=5) { x=3 )
a，得到方程组的解为 ，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ．
y=3 y=−2
（1）求a，b正确的值．
（2）求原方程组的解．
{x=5) { x=3 )
【思路引领】（1）将 代入方程2x﹣by＝1中即可求出b的值，将 代入方程ax+y＝7中
y=3 y=−2
即可求出a的值；
（2）根据加减消元法解方程组即可．
{x=5)
【解答】解：（1）将 代入方程2x﹣by＝1中，2×5﹣3b＝1，
y=3解得b＝3，
{ x=3 )
将 代入方程ax+y＝7中，3a﹣2＝7，
y=−2
解得a＝3；
{ 3x+ y=7①)
（2）原方程组为 ，
2x−3 y=1②
①×3得，9x+3y＝21③，
②+③得，11x＝22，
解得x＝2，
把x＝2代入①得，y＝1，
{x=2)
所以原方程组的解是 ．
y=1
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方
程组是解题的关键．
