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专题05 含参二元一次方程和含参二元一次方程组（原卷版）
第一部分 知识导航
知识点一 含参方程（组）的题型
1．同解问题
2．整数解问题
3．错解问题
知识点二 含参方程（组）的基本解法
1．含参方程和含参方程组
当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，这些字母系数称为参数，因此也叫
做含参数的方程，简称含参方程．由至少一个含参方程组成的方程组叫做含参方程组．
2．含参一元一次方程
含参的一元一次方程总能化成 的形式，方程 的解根据a，b的取值范围分类讨论．
①当 时，方程有唯一解 ；
②当 ，且 时，方程有无数个解，解是任意数；
③当 ，且 时，方程无解．
3．含参二元一次方程组
a xb yc
1 1 1
对于方程组 ，需要先通过消元转化为一元方程后再对解的情况进行讨论．
a xb yc
2 2 2
①当 时，方程有唯一解；
②当 时，方程有无数个解；
③当 时，方程无解．
第二部分 题组练习
类型一 含参方程组的同解问题
{2x+5 y=−6) {3x−5 y=16)
1．（2023 秋•甘州区校级期末）已知方程组 和方程组 的解相同，求
ax−by=−4 bx+ay=−8
（2a+b）2024的值．2．（2023春•南召县期中）（1）若方程m（1﹣x）＝x+3与方程2﹣x＝x+4的解相同，求m的值．
{ 3x−m=−y )
（2）在（1）的条件下，求关于x、y的方程组 的解．
2x+2y=m−1
（3）善于研究的小颖同学发现，无论m取何值，（2）中方程组的解x与y之间都满足一个关系式是
．
类型二 已知方程根的情况，求参数的值
{ 2x+5 y=2 )
3．（2023秋•梅县区期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝m﹣1，求m
5x+2y=−12
的值．
{ x−y=4 )
4．（2023春•东台市月考）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＝2，求k的值．
kx+ y=−10
5．（2022秋•景德镇期末）阅读材料，回答下列问题：
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具
有“邻好关系”．
{x+2y=7)
（1）方程组 的解x与y （填写“是”或“不是”）具有“邻好关系”？
x−y=1
{ 2x−y=6 )
（2）若方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求m的值．
4x+ y=6m{ x+3 y=2a−1 )
6．（2023春•泉州期末）已知：关于x，y的方程组 ．
x−5 y=15−6a
（1）若x＝y，求a的值．
（2）不论a取何值时，试说明x+y的值不变．
1 1
（3）若 x＜m＜ y，且整数m只能有两个，求这两个整数．
2 3
类型三 含参方程（组）的整数解问题
{ x+3 y=7 )
7．（2023春•桐柏县期末）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−3 y+mx+3=0
（1）请写出方程x+3y＝7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x﹣3y＝2，求m的值．
{ 2x+ y−6=0① )
8．（2023春•卧龙区期中）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
2x−2y+my+8=0②
（1）请直接写出方程2x+y﹣6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x﹣y＝0，求m的值；
（3）无论数m取何值，方程2x﹣2y+my+8＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解．9．（2023春•新罗区期末）（一）阅读材料
若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有一组整数解{x=x
0
)，则方程ax+by＝c的全体整数解可表示为
y= y
0
{x=x
0
+bt
)（t为整数）．
y= y −at
0
例题：求关于x，y的二元一次方程5x+11y＝136的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该例题如下：
解：∵5x+11y＝136，∴x＝（136﹣11y）÷5＝27﹣3y+（1+4y）÷5，
∵x，y要取整数，∴当y＝1时，x＝25，
∴该方程一组整数解为{x
0
=25 )，∴其全体整数解为{x=25+11t)（t为整数）．
y =1 y=1−5t
0
{25+11t＞0) 25 1
∵ ，∴− ＜t＜ ．
1−5t＞0 11 5
∵t为整数，∴t＝﹣2、﹣1或0．
{x=3
)
{x=14) {x=25)
∴该方程的正整数解为 、 和 ．
y=11 y=6 y=1
（二）解决问题
{x=a+5t)
（1）关于x，y的二元一次方程3x+5y＝14的全体整数解表示为 （t为整数），则a＝ 3
y=1−3t
；
（2）请参考阅读材料，直接写出关于x，y的二元一次方程19x﹣7y＝155的一组整数解和它对应的全体
整数解；
（3）请你参考小明的解题方法，求关于x，y的二元一次方程3x+2y＝23的全体正整数解．
{2ax+ y=5①)
10．（2023春•宛城区月考）已知关于x、y的二元一次方程组 ．
x−by=2②
（1）若a＝1，请写出方程①的所有正整数解；{x=−2)
（2）由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解
y=1
{x=1)
为 ，求a、b的值及原方程组的解．
y=3类型四 含参方程组的错解问题
{1
ax−by=1①)
11．（2023秋•城关区校级期末）小鑫、小童两人同时解方程组 2 时，小鑫看错了方程②
ax−y=17②
{x=4) { x=5 )
中的a，解得 ，小童看错了①中的b，解得 ．
y=1 y=−7
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
{ ax+by=9 ) {x=2)
12．（2023春•海安市期中）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c
3x−cy=−2 y=4
{ x=4 )
抄错了，误解为 ，求2a+b﹣c的值．
y=−1
类型五 已知方程（组）解的情况，求参数的值
{4x+ y=5)
13．确定a、b的值使二元一次方程组 ．
ax+2y=b
（1）有无数个解；
（2）无解；
（3）有唯一解．第三部分 专题提优训练
{2x−y=7a−5)
1．（2023春•黄山期末）已知方程组 的解x，y互为相反数，则a的值为（ ）
2y−x=5
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
{x+2y=5
)
2．（2017春•太仓市期中）若关于 x、y的方程组 的解都是正整数，那么整数 a的值有
2x+ay=4
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{ x+ y=m )
3．如果关于x、y的方程组 的解x、y都是正整数，那么整数m＝ ．
5x+3 y=2m+5
{ ax+by=2 ) {x=1)
4．（2023春•西山区校级期中）甲乙两人同时解方程组 ，甲正确解得 ，乙因抄错了
cx−3 y=−2 y=1
{ x=1 )
c，解得 ．则a＝ ，b＝ 0 ，c＝ ．
y=−1
{ x+4 y=2m−3 )
5．（2023秋•双流区校级期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解x，y互为相反数，
−2x+ y=5m−12
则m的值为 ．
{x=−2)
6．（2021秋•临渭区校级月考）已知方程2x+（1+m）y＝﹣1与方程nx﹣y＝5有一组相同的解 ，
y=1
求m+n的值．
{x=−2)
7．已知方程2x+（1+m）y＝﹣1与方程nx﹣y＝1有一个相同的解 ，你能求出（m+n）2020的值吗？
y=1
{2x+3 y=4k)
8．（2023春•海口期末）已知关于x、y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值．
x−2y=−3{4x−y=5) {ax+by=−1
)
9．（2023春•隆回县期中）已知关于x，y的方程组 和 有相同的解．
3x+ y=9 3x+4by=18
（1）求出它们的相同解；
（2）求（2a+3b）2023的值．
10．（2023秋•小店区月考）综合与实践
{ ax+ y=7①)
小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组 ，由于粗心，小李看错了方程①中的
2x−by=1②
{x=5) { x=3 )
a，得到方程组的解为 ，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ．
y=3 y=−2
（1）求a，b正确的值．
（2）求原方程组的解．
