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专题05 勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）
类型一 大树折断问题
【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树
顶端刚好落在地面上，此处离树底部 8 m处．
【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．
【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：
62+x2＝（16﹣6）2，
解得：x ＝8，x ＝﹣8（不合题意舍去）．
1 2
故答案为：8．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平
方和等于斜边的平方．
【变式训练】
1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问
折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试
问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．
类型二 水杯中的筷子问题及类似问题
【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是 5，上底面半径是8，高是12，上底
面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大
小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，
∵下底面半径是5，高是12，
∴AB＝12，BC＝5，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√122+52=13，
∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，
故选A．
【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】
1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为 10尺的正方形，在水池正中央有一根芦
苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度
为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
10
根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2，
2
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
4
2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 m，竖着比
3
2
城门高 m，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿
3
10
的长度为 m ．
3
【思路引领】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方
程即可．
【解答】解：设竹竿的长为x米，
4 2
由题意得：(x− ) 2+(x− ) 2=x2 ，
3 3
10 2
解得：x = ，x = （舍去），
1 3 2 310
故答案为： m．
3
【总结提升】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
类型三 梯子滑动问题
【典例3】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子
的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为
（ ）
A．10米 B．6米 C．7米 D．8米
【思路引领】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后
再利用勾股定理计算出AB长．
【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，
∵AO＝8米，
∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：
62+（x+2）2＝82+x2，
解得：x＝6，
AB=❑√82+62=10（米），
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方．
【变式训练】
1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高 1m．若斜靠在墙上，当梯子的
下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（ ）17
A．13m B．12m C．15m D． m
2
【思路引领】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：设梯子的长度为x m，
根据勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
答：梯子的长度为13m，
故选：A．
【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜
靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙
时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
【思路引领】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和
Rt△DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，
由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，
∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，
解得：x＝1.5，
答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在
墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子
的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2
米，则甲房间的宽度AB＝ 3. 2 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．
【思路引领】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；
（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；
②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，
MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，
∴PM 2，
=❑√AM2+AP2=❑√1．62+1．22=
∵PB＝PM＝2，
∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
{
∠AMP=∠BPN
)
在△AMP与△BPN中， ∠MAP=∠PBN=90° ，
MP=PN
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4，
∵PA 0.7，
=❑√PM2−AM2=
∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；
（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB＝x，且AB＝ND＝x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND
＝15°．
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴∠DNM＝∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8米，
即丙房间的宽AB是2.8米．【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据 PM＝PN
以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．
类型四 立体图形中的最短距离问题
【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A
开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要 1 3 cm．
【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可．
【解答】解：将长方体展开，连接AB，
根据两点之间线段最短，AB 13cm；
=❑√52+122=
故答案为：13
【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，
用勾股定理解决．
【变式训练】
1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底
部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 2cm与蚊子相对的点A处，则
壁虎捕捉蚊子的最短距离为 2 0 cm．（容器厚度忽略不计）【思路引领】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长
度即为所求．
【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即
为最短距离．
∵高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在
容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝16cm，BD＝12cm，
∴在直角△A′DB中，A′B （cm）．
=❑√162+122=20
故答案为：20．
【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进
行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要
从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬
行的最短路径长是 ❑√85 cm ．【思路引领】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可
计算．
【解答】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是AB （cm）．
=❑√92+42=❑√97
第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是AB （cm）．
=❑√72+62=❑√85
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是AB （cm）．
=❑√102+32=❑√109
∴它需要爬行的最短路径是❑√85cm．
故答案为：❑√85cm．【总结提升】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，
然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．
3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌
有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．4❑√2dm B．2❑√2dm C．2❑√5dm D．4❑√5dm
【思路引领】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线
段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝22+22＝4+4＝8，
∴AC＝2❑√2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4❑√2dm．
故选：A．
【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆
柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解
决．
类型五 选址满足条件问题
【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=2❑√13km，A、B两村到河
的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水
管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．
【思路引领】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点
A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．
【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，
过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，
此时AO+BO最小，
∵AC＝2km，BD＝6km，
∴BF＝4km，DE＝2km，
∵AB＝2❑√13km，
∴AF 6（km），
=❑√(2❑√13) 2−42=
在Rt△BA'E中，由勾股定理得：
A'B 10（km），
=❑√A′E2+BE2=❑√62+(6+2) 2=
∴AO+BO＝10（km），
∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
【变式训练】1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB
＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离
相等，求AE＝ 13. 3 km．
【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股
定理列式求解即可得到答案．
【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，
∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，
∵C、D两村到E站的距离相等，
∴x2﹣40x+596＝x2+64，
解得：x＝13.3，
故答案为：13.3．
【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．
类型六 航海问题
【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮
船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12
海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°
方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．
【思路引领】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．
【解答】解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，
∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，
∴∠RPQ＝90°，
∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，
∴∠RPN＝40°，
∴“海天”号沿北偏西40°方向航行．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关
键．
【变式训练】
1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午
9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通
知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇
的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入
我国领海？
【思路引领】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE
48 64
= 海里，然后由勾股定理得CE= 海里，即可解决问题．
5 5
【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，
∵MN⊥AC，
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，
1 1
∵S△ABC = AB•BC= AC•BE，
2 2
AB⋅BC 12×16 48
∴BE= = = （海里），
AC 20 5
√ 48 64
∴CE=❑√BC2−BE2=❑162−( ) 2= （海里），
5 5
64 8
∴ ÷8= （小时）＝96分，
5 5
∴9时30分+96分＝11时6分．
答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定
理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
类型七 受台风或噪声影响问题
【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时
10❑√7千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．
（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
【思路引领】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不
受影响，反之，则受影响．
（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．
【解答】解：（1）A城市受影响．
如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，
∵AB＝300，∠ABC＝30°，1
∴AC= AB＝150＜200，
2
所以A城会受到这次台风的影响；
（2）如图，
∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，
则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，
CD 50 ，
=❑√AD2−AC2= ❑√7
∴DE＝100❑√7，
s 100❑√7
则t= = =10小时．
v 10❑√7
故A城遭受这次台风影响的时间10小时．
【总结提升】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．
【变式训练】
1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一
所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会
受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向
行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【思路引领】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰
三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，
∵∠O＝30°，OA＝80米，
1
∴AH= OA＝40米，
2
∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知AH＝40米，
∴CH 30（米），
=❑√AC2−AH2=❑√502−402=
∴CN＝2CH＝60（米），
∴t＝60÷5＝12（秒），
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，
垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．
类型八 求旗杆（大树）高度问题【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后
将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽
略不计）（ ）
A．14m B．15m C．16m D．17m
【思路引领】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝
8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，
则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般
方法就是作垂线．
【变式训练】
1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含 30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆
AB的高度为（ ）
A．6.5米 B．(6❑√3+0.5)米
C．12.5米 D．(6❑√5+0.5)米
【思路引领】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，
∴BC＝2CD＝12米，BD=6❑√3米，
∵AD＝0.5米，
∴AB=(6❑√3+0.5)米，
故选：B．
【总结提升】本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题
中抽象出勾股定理是解题的关键．
2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．
同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳
子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则
21
旗杆的高度为 米．
4
【思路引领】在Rt△ABC中，由勾股定理得出关于AB的方程求解即可．
【解答】解：如图，由题意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2+BC2＝AC2，
即AB2+52＝（AB+2）2，
21
解得AB= ，
4
21
∴旗杆的高度为 米．
4
21
故答案为： ．
4
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米
处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相
等，则这棵树的高度为 1 5 米．
【思路引领】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方
程求解．
【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m．
【总结提升】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
类型九 小鸟飞行距离问题【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 10m．
=❑√82+62=
故选：C．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识
进行求解．
【变式训练】
1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C
点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．
（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
求小鸟下降的距离．
【思路引领】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，
∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC 15米，
=❑√252−202=
（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，
在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，
∴x2＝（20﹣x）2+152，
125
解得x= ，
8
125
∴小鸟下降的距离为 米．
8
【总结提升】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
类型十 利用勾股定理表示无理数
【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2❑√3 D．2❑√5
【思路引领】利用勾股定理计算可得结论．
【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：
2 ．
❑√42+22=❑√20= ❑√5
故选：D．
【总结提升】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以
点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ❑√5+ 1 ．
【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可
解决问题．
【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵∠AOB＝90°，∴AB ，
=❑√OA2+OB2=❑√12+22=❑√5
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AC＝AB=❑√5，
∴OC＝AC+OA=❑√5+1，
∵交x轴正半轴于点C，
∴点C的坐标为（❑√5+1，0）．
故答案为：❑√5+1．
【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=❑√10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．
【思路引领】过表示1的点A作数轴的垂线AB，在垂线上截取AB＝3，连接OB，以O为圆心，OB为
半径作弧交数轴于P，则P即为所求的点．
【解答】解：如图：
点P表示的数即为❑√10．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理以及作图，关键是掌握❑√10是两直角边长分别为1和3的直角三
角形的斜边长．
3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格
点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（ ）
❑√3+1 1
A．❑√3 B．3−❑√3 C． D．❑√3−
2 2
【思路引领】如图：连接AE，则AE＝2、AD＝1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．
【解答】解：如图：连接AE，则AE＝2，AD＝1，
∴DE ，
=❑√AE2−AD2=❑√22−12=❑√3
∴CE＝CD﹣DE=3−❑√3．
故选B．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得 DE是解答
本题的关键．
4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆
心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
❑√2
A．❑√3−1 B．3−❑√5 C．❑√5 D．
2
【思路引领】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．
【解答】解：连接AD，
由题意知：AD＝AB＝3，
在Rt△AED中，由勾股定理得：ED ，
=❑√AD2−AE2=❑√32−22=❑√5
∴CD＝CE﹣DE＝3−❑√5，
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．
