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专题05 勾股定理的应用十种最常考类型（原卷版）
类型一 大树折断问题
【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树
顶端刚好落在地面上，此处离树底部 m处．
【变式训练】
1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问
折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试
问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
类型二 水杯中的筷子问题及类似问题
【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是 5，上底面半径是8，高是12，上底
面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大
小忽略不计）的取值范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
【变式训练】1．（2023•盐山期末）如图，有一水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出
水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．10 B．12 C．13 D．14
4
2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 m，竖着比
3
2
城门高 m，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿
3
的长度为 ．
类型三 梯子滑动问题
【典例3】（2020春•硚口期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的
顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（
）
A．10米 B．6米 C．7米 D．8米
【变式训练】
1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高 1m．若斜靠在墙上，当梯子的
下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（ ）17
A．13m B．12m C．15m D． m
2
2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜
靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙
时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．
3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在
墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子
的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2
米，则甲房间的宽度AB＝ 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．类型四 立体图形中的最短距离问题
【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A
开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要 cm．
【变式训练】
1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底
部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 2cm与蚊子相对的点A处，则
壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm．（容器厚度忽略不计）
2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要
从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬
行的最短路径长是 ．
3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌
有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．4❑√2dm B．2❑√2dm C．2❑√5dm D．4❑√5dm
类型五 选址满足条件问题【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=2❑√13km，A、B两村到河
的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水
管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设
水管的总费用w（元）．
【变式训练】
1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB
＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离
相等，求AE＝ km．
类型六 航海问题
【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮
船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12
海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°
方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午
9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通
知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入
我国领海？类型七 受台风或噪声影响问题
【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时
10❑√7千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．
（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
【变式训练】
1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一
所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会
受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向
行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．类型八 求旗杆（大树）高度问题
【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后
将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽
略不计）（ ）
A．14m B．15m C．16m D．17m
【变式训练】
1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含 30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，
测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆
AB的高度为（ ）
A．6.5米 B．(6❑√3+0.5)米
C．12.5米 D．(6❑√5+0.5)米
2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．
同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳
子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则
旗杆的高度为 米．3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20米
处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相
等，则这棵树的高度为 米．
类型九 小鸟飞行距离问题
【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟
从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练】
1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C
点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．
（1）求出BC的长度；
（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
求小鸟下降的距离．类型十 利用勾股定理表示无理数
【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2❑√3 D．2❑√5
【变式训练】
1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以
点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 ．
2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=❑√10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．
3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格
点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（ ）
❑√3+1 1
A．❑√3 B．3−❑√3 C． D．❑√3−
2 2
4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆
心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
❑√2
A．❑√3−1 B．3−❑√5 C．❑√5 D．
2
