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专题10 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、
婆罗摩笈多（定理）模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.阿基米德折弦模型...............................................................................................................................1
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型.............................................................................................................10
..................................................................................................................................................15
模型1.阿基米德折弦模型
【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。条件：如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是 的中点，则
从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，结论：CD=AB+BD。
M C H M C M C M C
B D B D G B D G B D
F
A A A A
图1 图2 图3 图4
证明：法1（垂线法）：如图2，过点M作 射线AB，垂足为点H，连接 ，AC；
∵M是 的中点，∴ ．∵ ， ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ， ．∵ ，
，
∴ ．∴ ．∴ ．
法2（截长法）：如图3，在CD上截取DG=BD，连接BM，MC，MA，AC；
∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M 是 的中点，∴∠MAC=∠MCA，
∴MA=MC，
∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵MB=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴ MBA≌ MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．
△ △
法3（补短法）：如图4，如图，延长DB至F，使BF=BA；连接MA、MB、MC、MF、AC，
∵M是 的中点， ∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，
∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，， ∴∠MBA=∠MBF，
在△MBF和△MBA中， ， ∴△MBF≌△MBA（SAS）， ∴MF=MA=MC，
又∵MD⊥BC，∴FD=CD， ∴DC=BF+BD=BA+BD；
例1．（2024·广东·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折
弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝
FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接
圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °．
例2．（2024·安徽芜湖·一模）如图，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ，
M是 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，若 ， ，则CD
的长为（ ）．A． B． C． D．
例3．（2024·河南洛阳·校考二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高
斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ， 是
的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ，
下面是运用“补短法”证明 的部分证明过程．
证明：如图2，延长 到点F，使得 ，连接DA，DB，DC和DF．
∵ 是 的中点∴ …
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ． 于
点 ，则 的周长是______．例4．（23-24·山东日照·九年级校考期中）【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是 的中点，则从
M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝
DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是 的中点，∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG
又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：① ，② ，③ ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是 的中点，MD⊥BC于点D，
则BD＝ ；
【变式探究】如图3，若点M是 的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存
在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的
半径为5，求AD长．例5．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考：请阅读以下材料并完成相应的任务．
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：
①如图，已知 ，C是弦 上一点，作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点D， 于点E，连
接 ．
②以点D为圆心， 的长为半径作弧，交 于点F（F，A两点不重合），连接 ．
引理的结论： ．
(1)任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．
(2)任务二：请你完成引理结论的证明过程．
例6．（2024·河南商丘校考一模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解
古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆
周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成
的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．
如图1，AB和BC是 的两条弦（即ABC是圆的一条折弦）， ．M是弧 的中点，则从M
向 所作垂线之垂足D是折弦 的中点，即 ．
小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从C点截取一段线段 ，连接
．
小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作 于点H，连接任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程，
(2)就图3证明： ．
模型2.圆中的“婆罗摩笈多”模型
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从
交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。1）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）
条件：如图，四边形ABCD内接于 ，对角线 ，垂足为点M，直线 ，垂足为点E，并
且交直线AD于点F．结论： ．
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
在Rt ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，
又∠A△MF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD
2）婆罗摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理
条件：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于
点E，FA=FD．结论：FE⊥BC．
证明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，
∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．
例1．（23-24九年级上·山西长治·期末）阅读与思考
阅读下列材料，完成相应的任务．
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运
算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了
“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下．
婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形 内接于 ，对角线 ， ， 相交于点M，如果直线 ，垂足为E，并且交边 于点F，那么 ．
证明： ， ， ． ．
又 _______， ， ．…
任务：(1)材料中横线部分缺少的条件为_______________．(2)补全后面的证明过程．
例2．（2023·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术
运算规则、二次方程等方面均有建树．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定
理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图1，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线 ，垂
足为点 ，并且交直线 于点 ，则 ．
证明：∵ ， ，∴
∴ ， ．∴ ．
∵ ，∴ ．（依据）
又∵ ，∴ ．∴ ．……
任务：（1）上述证明过程中的依据是______；（2）将上述证明过程补充完整；
（3）古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为点 ，直线
交 于点 ，交 于点 ．若 ，则 ．请证明该命题．例3．（23-24下·江苏泰州·九年级校考阶段练习）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括
他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形 内接于 ，对角线 于点P， 于点M，延长 交
于点N．求证： ．
证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ．……
任务：(1)请完成该证明的剩余部分；(2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知
中， 分别交 于点D，E，连接 交于点P．过点P作
，分别交 于点M，N．若 ，求 的长．
1．（2023·浙江温州·校考三模）在几何学发展的历史长河中，人们发现了许多经久不衰的平面几何定理，
苏格兰数学家罗伯特·西姆森 发现从三角形外接圆上任意一点向三边（或其延长线）所作垂
线的垂足共线，这三个垂足的连线后来被称为著名的“西姆森线” ．如图，半径为4的
为 的外接圆， 过圆心O，那么过圆上一点P作 三边的垂线，垂足E、F、D所在直线即为西姆森线，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿
基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BC AB)，点M是 上的点，MD⊥BC
于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM= ，AB=4，则AE的长为( )
A． B． C． D．
3．（23-24九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如
图， 和 组成圆的折弦， ， 是 的中点， 于 ，则下列结论一定成立的是
（ ）A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究过对角线互
相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”．如图，在 中，四边形 是“婆
氏四边形”，对角线 相交于点E，过点E作 于点H，延长 交 于点F，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级下·江西南昌·期末）婆罗摩笈多是公元7世纪的古印度伟大数学家，曾研究对角线互相
垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆罗摩笈多四边形”．如图，四边形 是 的内接
四边形，且是“婆罗摩笈多四边形”、若 ，则 的半径为 ．
6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）古代数学家阿基米德曾经提出一个定理：一个圆中一条由两条长度
不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图（1），弦 ，是 的一条折弦 ，点 是 的中点，过点 作 于 ，则 ．根据这个
定理解决问题：如图（2），边长为 的等边 内接于 ，点 为优弧 上的一点．
，则 的周长是 ．
7．（2024·浙江·九年级专题练习）如图中所示，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，D是 的中点，
DE⊥AB，垂足为E．连结AD，AC，BD．（1）写出所有与∠DBA相等的角（不添加任何线段）
__________．
（2）判断AE，BE，BC之间的数量关系并证明．（3）如图，已知AD＝7，BD＝3，求AB·BC的值．
8．（23-24·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是 的中点，
过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB
称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：
点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，
则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写
出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上
△ △一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
9．（23-24·江苏·九年级期中）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线 于
点E，则 ．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．
如图2， ， 组成 的一条折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可
以通过延长 、 相交于点F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与
之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
10．（2024·山西大同·校考一模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希
腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力
学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：如图1，以 为直径作半圆O，弦 是一个内接正五边形的一条边（即： ），点D是
的中点，连接 并延长与直径 的延长线交于点E，连接 交于点F，过点F作 于点
M．求证： 是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：证明：如图2，过点D作 于点H．
∵ ，∴ ．（依据1）
∵点D是 的中点，∴ ．∵ ，∴ ．
∴ ．（依据2）
∵以 为直径作半圆O，∴ ．（依据3）
∴ ．∵四边形 是半圆O的内接四边形，
∴ ．（依据4）
∵ ，∴ ．
∵ 于点M，∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ．∵ ．
∴ ．∴ ．……
通过上面的阅读，完成下列任务：(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出 的度数，再根据等腰三角
形的性质或判定完成该题的证明过程）11．（2024·山西临汾·九年级统考阶段练习）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问
题，其中有这样一个问题：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦），
， 是 的中点，则从点 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．其部分证
明过程如下：证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
∵ 是 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，……
任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在 中， ， ，若 ， ， ，则
到 的距离是____________， 到 的距离是____________， 的半径是____________．
12．（2024·河南平顶山·校考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务：
在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，EF，
弦FC，ED分别交AB于P，Q，则PG=QG．由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，故称“蝴蝶定理”、
是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．
任务：(1)如图1，AB为⊙O的任一弦．
①若G为弦AB的中点，连接OG，则OG与AB的位置关系为______；
②若OG⊥AB，判断AG与BG之间的数量关系，并说明理由．(2)下面是“蝴蝶定理”的证明过程（部分），请补充完整．
证明：过O作OM⊥FC于点M，ON⊥DE于点N，连接OP，OQ，MG，NG，OG，
由任务（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，
∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴ FGC∽ DGE，
△ △
即 ，又 ，
取PO的中点O′，在四边形MOGP中，
∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，
即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四点在以O′为圆心的一个圆上，
∴∠1=∠2（同弧所对的圆周角相等），同理：∠3=∠4，
____________________________________________________________________________________________
_
____________________________________________________________________________________________
_
____________________________________________________________________________________________
_
13．（2024·河南驻马店·校考三模）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延
长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，
已知 内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂
足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则 （依据1），∴E，F，P，C四点共圆．
∴ （依据2）．
又∵ ，∴ ．
∵ ，∴B，D，P，E四点共圆．∴ （依据3）．
∵ ，∴ （依据4）．∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：(1)填空：①依据1指的的是中点的定义及______；②依据2指的是______；
③依据3指的是______；④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是 的中点时， ．请你利用图2证明该结论的正确性．
14．（23-24九年级上·山西大同·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：斯库顿定理：如图1．在
中， 为 的平分线，则 ．下面是该定理的证明过程：
证明：如图2， 是 的外接圆，延长 交 于点 ，连接 ．
∵ 为 的平分线，∴ ．
∵ ，（依据①__________________________）
．（依据②_________________________）
又 ， ．．……
任务：（1）证明过程中的依据是：
①__________________________________．②__________________________________．
（2）将证明过程补充完整：（3）如图3．在圆内接四边形 中，对角线 ， 相交于点 ．若
， ， ， ， ，请利用斯库顿定理，直接写出线段 的长．
15．（2023·山西吕梁·一模）阅读与思考：下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应
学习任务：对角线互相垂直的四边形的性质探究
在平行四边形一章中，我们已经学习过平行四边形、矩形、菱形及正方形的性质，那么对于对角线互相垂
直的四边形，它有哪些特殊的性质呢？容易得知：
对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，证明过程如下：
如图1，在四边形 中，对角线 ，垂足为 ．求证： ．
证明：∵ 于点 ，
∴ （依据1）
若对角线互相垂直的四边形内接于圆，它还有什么特殊性质呢，通过探究，我得出如下结论：对角线互相垂直的圆内接四边形，每组对边的平方和等于它的外接圆半径平方的4倍，证明过程如下（不完整）：
如图2，已知 的半径为 ，四边形 内接于 ，且 ．
求证： ．
证明：过点 作直径 ，分别连接 ．
∵ 是 的直径，∴ （依据2）∴ ，∵ ，∴ ．
学习任务：(1)小宇同学的论文中，画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是：
依据1：______________；依据2：______________．
(2)请完成图2的剩余证明过程；(3)如图3，已知四边形 内接于 ， 为 上一点，
，若 的直径为8， ，请直接写出 的长度．
16．（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、
天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．
定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________
证明：
（2）如图（2），在 中，弦 于M，连接 分别是 上的点，于 于H，当M是 中点时，直接写出四边形 是怎样的特殊四边形：
__________．
17．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前 ～公元前 年，
古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛
顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（ 年～ 年）的译文中保存了
阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-
Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题
就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：
如图1， 和 是 的两条弦（即折线
是固的一条折弦）， ， 是弧 的中
点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦
的中点，即 ．
这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”
证明 的部分证明过程．
证明：如图2．作 射线 ，垂足为 ，连
接 ， ， ．
∵ 是弧 的中点，
∴ ．…
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边 内接于 ， 为 上一点， ， 于点 ，
，则折弦 的长是______．18．（2024·山东临沂·一模）（1）如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
BC>AB，点M是 的中点，MD⊥BC，垂足为D．求证：CD＝DB+BA．（2）如图2，BC是半⊙O的
直径，点A是半圆上一定点，点D是半圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝5，⊙O的半径为6.5，
①请在图2上作出D点，说明理由；②结合（1）的结论，求AD的长．
19．（23-24九年级·江苏·假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成
探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在 中，C是劣弧 的中点，直线
于点E，则 ．请证明此结论；
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2， ， 组成 的一条
折弦．C是劣弧 的中点，直线 于点E，则 ．可以通过延长 、 相交于点F，再连接 证明结论成立．请写出证明过程；
(3)如图3， ， 组成 的一条折弦．C是优弧 的中点，直线 于点E，则 ， 与
之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
20．（2024·河南三门峡·二模）阅读材料，并完成相应任务．
问题背景：在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆
的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB和BC是 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），
，点M是 的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 ．
(1)如图2，牛牛同学尝试运用“截长法”说明“ ”，于是他在CD上截取 ，连接
MA，MB，ME，MC．请根据牛牛的思路完成证明过程；(2)如图3，在 中， ， ，若 ，则AE的长度为_______．
