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专题 04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型
圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................5
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1、切线长模型.............................................................................................................................................6
模型2、燕尾模型.................................................................................................................................................8
模型3、蝴蝶模型...............................................................................................................................................11
模型4、手拉手（旋转）模型...........................................................................................................................13
模型5、对角互补模型.........................................................................................................................................18
..................................................................................................................................................22
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化
与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可
形成稳定结构；然后欧几里得（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角
形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德（公元前287–前212年）在著
作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等
模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科
技的纽带。（24-25·广东九年级期中）如图，已知 ， ， 分别切 于点A，B，D，若 ，则
的周长是 ．若 ，则 ．
【答案】 30
【详解】解：连接 、 、 ，∵ ， ， 分别切 于点A，B，D，
∴ ， ， ，
∴
∵ 、 分别与 相切于点A、B，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵ 与 相切于点D，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为：30； ．
（24-25九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第
Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设 是已知点，小圆 为已知圆．具
体作法是：以 为圆心， 为半径作大圆 ，连接 交小圆 于点 ，过 作 ，交大圆 于点
，连接 ，交小圆 于点 ，连接 ，则 是小圆 的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需
要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点 ， 和点 ， 分别在以 为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1， 长不变，改变小圆 的半径，延长 交大圆 于点 ， 延长线交大圆 于点 ，当
经过圆心 时，求 的值；(3)在（2）中，若改变小圆 的半径时， 与小圆 相切，直接写
出 的度数．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证： 是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴ ．
在 和 中 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是小圆O的切线．
（2）由（1）得： ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴AO= =2 ∴ = ．
（3）如图，∵ ， ， 都为小圆O的切线，记 与小圆O的切点为H，∴ ， ， ∵ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，而 ，
∴ ∴ ．
（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在 上， ，则锐角 的
大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边 的外接圆，点 在 上（点 不与点
、 重合），连结 、 、 ．求证： ．小明发现，延长 至点 ，使 ，
连结 ，通过证明 ，可推得 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长 至点E，使 ，连接
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，∵ ，∴
，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ．请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，已知四边形 内接于圆O， ， ，连接 、 ，请直接
写出线段 之间的数量关系
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【详解】（1）解：∵点 ， ， 均在 上， ，∴ ，故答案为： ；（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，∵ ，∴
，
∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，∴ ，
∵在等边 中， ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
又∵ ，∴ ；
（3）解：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ，由（2）知， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， ，由圆周角定理得： ， ，
，
∵ ，∴ ，∴
1-1切线长模型1 条件：如图1，P为 外一点，PA，PB是 的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；
图1 图2 图3 图4
1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是 的切线，切点分别为A，E，B。结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
2. 燕尾模型
条件：如图3，OA，OB是 的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
3. 蝴蝶模型
条件：如图4，OA，OE是 的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
4. 手拉手（旋转）模型
图5 图6
条件：如图5， 是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB= ，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当 =60°时，CD=CA+CB； 当 =90°时， CD=CA+CB；
5. 对角互补模型
条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM= OC，NC=MC= OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
模型1、切线长模型
例1（2024·河北·校考一模）如图，将直尺、含 的直角三角尺和量角器按如图摆放， 角的顶点A在
直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则
该量角器的直径是（ ）．A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【详解】连接 ， ， ，如图，
根据题意有： ， ，∵ 、 是圆O的切线，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴量角器的直径是 ，故选：D．
例2（2025·广东·校考一模）如图， 为 的切线，A为切点，过点A作 ，垂足为点C，交
于点B，延长 与 的延长线交于点D．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)10
【详解】（1）证明：连接 ， ， ， ， 是 的切线，
，在 与 中， ， ，
， ， 是半径， 是 的切线；
（2）解： ， ，在 中， ，
、 为 的切线， ，
在 中， ，即 ，
解得 ， ．
例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与
⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）9
【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．
模型2、燕尾模型
例1（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径 垂直于弦 于点E，连接 并延
长交 于点F，且 ．(1)证明：E是 的中点；(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2) ．
【详解】（1）证明：直径 垂直于弦 于点E，连接 ，∴ ，∴ ，
∵过圆心O的直线 ，∴ ，即 是 的中垂线，∴ ，
∴ ．即： 是等边三角形，∴ ，
在 中，有 ，∴ ，∴点E为 的中点；
（2）解：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ．
例2（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径 ，
分别交小圆于点 ， ，连接 ， ，交点为 ，连接 并延长，交 于点 ，交大圆于点 ．
(1)求证： ；(2) 与 有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2) ，理由见解析
【详解】（1）证明： ， 为以点 为圆心的大圆半径，
， 为等腰三角形， ；
（2） ， 为以点 为圆心的大圆半径， ， 为以点 为圆心的小圆半径，
， ， ，即 ，
在 与 中， ， ，
， ，即 ，
在 与 中， ， ， ，
在 与 中， ， ， ，
又 为等腰三角形， ．
例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原
本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷
中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心， 为半径作大圆O，连接 交小圆O于点B，过B作 ，交大圆O于点C，
连接 ，交小圆O于点D，连接 ，则 是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，
并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．
证明：
【答案】 ， 是小圆O的切线，证明见解析
【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证： 是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴ ．
在 和 中 ,∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是小圆O的切线．
例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形 ，绕点 逆时针旋转 得到扇形 ．
(1)求证： ；(2)当 为直径时， ，求 的值及优弧 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意可得： ， ，由旋转的性质可知， ， ．由旋转的性质可知， ， ，
，即 ， ， ．
在 与 中， ， ．
（2）解：当 为直径时， ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 为直径，∴ ，即 ，
∴ ，∴优弧 的长度为 ．
模型3、蝴蝶模型
例1（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦 、 相交于点E，且 ，求证：
．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接 ，∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ．
例2（24-25·河南·一模） 概念引入 在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
概念理解 (1)如图1，在 中，半径是5，弦 ，则这条弦的弦心距 长为 ．(2)通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但
是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在 中， ， ，
，求证： ．
概念应用 如图3，在 中 ， 的直径为20，且弦 垂直于弦 于 ，请应用上面得
出的结论求 的长．
【答案】(1)3；(2)证明见解析；
【详解】（1）解：连接 ， ， ， ，
， ， ， ，故答案为：3；
（2）证明：连接 、 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ；
概念应用 解：过点 作 交于 ，过点 作 交于 ，连接 ，
， ， ， ， 四边形 是正方形， ，
， ， 的直径为20， ， ， ， .
例3（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在 中
垂足为 ， 垂足为 ， 和 都是弦心距．
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、
两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②， 是 的平分线上一点，以点 为圆心的圆与角的两边分别交于 ．
(1)求证： ；
(2)若角的顶点 在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【答案】(1)证明见解析(2)结论仍然成立，证明见解析
【详解】（1）证明：如图②过点 作 于点 ， 于点 ，
又∵ 平分 ，∴ ，∴ ；
（2）解：结论仍然成立．理由如下：如图③，当点 在 上时，由（1）知 ．∴ ，
如图④，当点 在 内时，由（1）知 ．∴ ．
模型4、手拉手（旋转）模型
例1（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形 中， ．若四边
形 的面积是S， 的长是x，则S与x之间的数关系式是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图，延长 到E，使 ，连接 ，
四边形 是圆内接四边形， ，
在 和 中， ， ，
，
即 ， ，故选：B．
例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三
条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：
AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形
D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝ BD
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝ BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝ BD ，即AD＋CD＝ BD．
例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结
论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.
如图1，等边三角形 内接于 ，点P是弧 上的任意一点，连接 ，可得
下面是这个结论的证明过程：以点 为顶点，作 ， 交 于点D，
在等边三角形 中， ， ，
（依据）， ， 是等边三角形， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴
任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若 ， ，则线段 的长度是
，
(3)如图，正方形 内接于 ，点 是弧 上的任意一点，连接 ，则 之间
有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2) (3)
【详解】（1）在等边三角形 中， ， ，
（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等
（2）过点 作 于点 ，在 中，
∴ ， ，∴ ， ，在 中， ， ，
， ． ，
由题可知 ， ．
（3） 连接 ，过点 作 交 于点
∵正方形 内接于 ， ，
是等腰直角三角形∴ ，
即
．
例4（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边
形，其中这个角叫做美角．
【初步应用】（1）如图1，四边形 是圆美四边形， 是美角．
① 的度数为_________ ；②连接 ，若 的半径为5，求线段 的长；
【拓展提升】（2）如图2，已知四边形 是圆美四边形， 是美角，连接 ，若 平分
，若 的半径为6，求 的最大值是多少？
【答案】（1）① ；② ；（2）
【详解】解：（1）①∵四边形 是圆美四边形， 是美角，
∴ ，∴ ，解得 ，故答案为：60．
②作圆的直径 ，连接 ，则∵圆的半径为5，∴ ，∵ ，∴ .∴ ．
（2）如图，延长 到点M，使得 ，连接 ，
∵四边形 是圆美四边形， 是美角，∴ ，
∴ ，解得 ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．∵ 是 的一条弦，
∴当 是直径时， 取最大值 ，即 的最大值是 ．
模型5.对角互补模型
例1（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，
D为劣弧 的中点，过点D作 的切线 交 的延长线于点E，连接 ．若 ，则
的半径为（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B【详解】解：如图，连接 ，∵ 为 的切线， ．
∵D为 的中点， ． ， ． ， ．
， ；如图，过点D作 于点F，
， ． ，
， ．∵D为 的中点， ， ．
∵在 和 中， ， ， ．
， ， ，
∴ 的半径为 ，故选：B．
例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①， 为等边三角形 的外接圆． 为 的直径，线段
与 交于点 ，探究线段 ， ， 的数量关系．
小明同学的做法：过点 作 的垂线交 延长线于点 ，连接 ．易证 ．进而得出
， ．则线段 ， ， 的数量关系是 ；
【探究】如图②，等腰三角形 中． ， 为 的外接圆， 为弧 上一点，
于点 ，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③， 是 的外接圆， 是直径， ．点 在 上，且点 与点 位于线
段 两侧，过点 作线段 的垂线，交线段 于点 ，若点 为 的三等分点，则 的值为 ．【答案】【探究】成立，见解析；【应用】
【详解】解：【探究】成立，证明：过点 作 的垂线交 延长线于点 ，连接 ，如图所示：
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴在 和 中， ，
∴ ，∴ ， ，
∴在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
【应用】过点 作 的垂线交 延长线于点 ，如图所示：
∵ 是直径， ，∴ ，∴四边形 是矩形，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，
∴在 和 中， ，∴ ，∴ ， ，∴四边形 是正方形，∴ ，
∵点 为 的三等分点，点 与点 位于线段 两侧，∴ ，
设 ，则 ，∴ ， ，
∴ ．
例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当
它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形 的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
小敏的演算纸
综上所述，s的最大值为……
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形 的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它
的面积S的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①证明：连接 ，取 的中点O，连接 ，
， ，又 ， ， ，
为 的中点， ， 点A，B，C，D在同一个圆上；
②解： ，
故答案为：234；
（2）解： ， ， ，
在 中， ，在 中， ， ，即 ；
（3）解：由题意可知，当四边形 四顶点共圆时，它的面积最大，
连接 ，过点C分别作 于点E， 于点F，
， ， ，
， ， ， ， ，
同理可证 ， ， ， ，
∵ ， ， ， ，
， ，
即四边形 面积S的最大值为1．（24-25·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2 ，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，
E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【详解】解：连接 ，
在 和 ， PA，PB，分别切⊙O于点A，B， ， ，
， ，
， 是等边三角形，
， ，
又 ， ，
， ，过点 作 ，如下图
根据等腰三角形的性质，点 为 的中点， ，
在 中，设 ，则 ， ，，解得： ， ， ，故选：A．
2．（24-25·山东九年级期中）如图， 切 于点 切 于点 交 于点 ，下列结论中不
一定成立的是（ ）
A． B． 平分 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，
由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．
无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．
3．（24-25·安徽淮南·九年级校考阶段练习）如图，点 和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，
若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ， ， ，在 和 中， ， ， ，故选：B．
4．（2025·山东德州·模拟预测）如图，在 中， ，以 为直径作圆，交斜边 于点
， 为 上一动点．连接 ， ．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．当 时，则 B． 时，则四边形 为正方形
C．当 平分 时，则 D．当 为 中点时， 是等腰三角形
【答案】B
【详解】解： 为圆心角， 为同弧所对的圆周角， ， A的结论正确；
， ，只有当 时，四边形 为正方形，
B的结论不一定成立；过点 作 ，垂足为 ，如图，
平分 ， ， ， ．
， ，即点 与点 重合， ，
在 和 中， ， ， ． C选项的结论正确；
为圆的直径， ， ， 为 中点， 为 斜边上的中线，
， 是等腰三角形， 选项的结论正确．故选：B．
5．（24-25·广西·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作
CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【答案】3
【详解】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，
在 AEO和 ODC中， ，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，
△ △
∵OC＝5，∴OD＝ ＝ ＝3．
6．（23-24·江西南昌·九年级统考期末）如图，半圆O的直径 ，射线 和 是它的两条切线，
D点在射线 上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足 ，连接 并延长交射线
于点C．(1)求证： 是半圆O的切线；(2)设 ， ．
①写出y与x的关系式；②若 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)① ；② ．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，∵射线 是半圆O的切线，E点在半圆O上，∴ ， ，
∵ ， ，∴ ．∴ ，∴ 是半圆O的切线；
（2）解：①过点D作 于点F，如图，∵ 、 是半圆O的两条切线，∴ ，
∵ ，∴四边形 为矩形，
∴ ．∴ ， ．
在 中，∵ ，∴ ，
∴ ．∴y与x之间的函数关系式为 ；
②当 时，∵ ，∴ 与 重合，此时四边形 为矩形，
连接 ，则四边形 为正方形，如图，∴ ，
∴ ．
7．（2025·陕西西安·九年级校考期末）如图， 为圆 的弦，半径 ， 分别交 于点 ， ．且
．（1）求证： ．（2）作半径 于点 ，若 ， ，求 的长．【答案】（1）证明见解析 （2）3．
【详解】解：（1）证明：连接OA、OB，如图所示：
∵ ∴∠AOE=∠BOD∴ ∠OA∠O=AOEB=∴∴∴O∵BF
∴ ∴
（2）∵ ∴AM=BM=4设OM=x，则OA=ON=x+2
在Rt AOM中，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2，解得：x=3∴OM=3．
8．（24-25·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题．
[材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在
每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅
新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完
《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图， 及 外一点 ．求作：
直线 ，使 与 相切于点 ”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图
方法：（1）连接 ，以 为圆心， 长为半径作大圆 ；（2）若 交小圆 于点 ，过点 作小圆
的切线与大圆 交于 两点（点 在点 的上方）；（3）连接 交小圆 于 ，连接 ，则
是小圆 的切线．
[问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保
留作图痕迹），并说明理由．(2)延长 交大圆 于 ，连接 ，若 ， ，求 的长．【答案】(1)作图方法正确；作图见解析；理由见解析(2)
【详解】（1）解：小岩同学所在的学生习小组提供的作图方法正确，如图所示：
以上即为所求作的图形；理由如下：∵ 是小圆 的切线，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ，∴ ，又 为半径，∴ 是小圆 的切线；
（2）解：连接 ，如图所示：
在 中， ， ，∴ ，
∵ ， 为圆的半径， ，
，∴ ，∵ 为大圆 的直径，∴ ，
在 中， ．
9．（24-25·湖北·九年级统考期末）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹：(1)如图1， 与 是圆内接三角形， ， ，画出圆的一条直径．
(2)如图2， ， 是圆的两条弦， 且不相互平行，画出圆的一条直径．
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【详解】（1）如图，设 、 交于点G，连接 并延长，交圆于点F，线段 即为所求；
证明：如图， 、 交于点Q， 、 交于点P，连接 ，交 于点H，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ 垂直平分弦 ，∴ 是圆的直径；
（2）如图，连接 、 ，交于点F，延长 、 ，两线交于点E，作直线 ，交圆于点M、N，
线段 即为所求． 证明方法同（1）．
10．（24-25·江西·九年级统考期中）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，分别作出图中 的平分线：
（1）如图1， 的两边与一圆切于点 ，点 是优弧 的三等分点；
（2）如图2， 的两边与一圆交于 ，且 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用点 、 是优弧 的三等分点，连接 ， ，其交点为 ，即可得出答案；
（2）利用 ，连接 ， ，其交点为 ，即可得出答案．
【详解】解：（1）射线 即为所求，如图：
证明：连接 、 ，如图：∵ 的两边与一圆切于点 ， ∴
∵点 ， 是优弧 的三等分点∴
∴在 和 中 ∴
∴ ∴射线 为 的平分线；
（2）射线 即为所求，如图：证明：∵ ， ，
∴ ∴ ， ∴ 即
∵ ， ∴ ∴
∴ 即
∵ ∴ ∴射线 为 的平分线．
11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【定义】圆心到弦的距离叫做弦心距．【探究】等弧所对弦的弦心距相等．
（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．
【应用】（2）如图2， 的弦 ， 的延长线相交于点 ，且 ，连接 ．求证： 平分
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】（1）已知： ， 于点 ， 于点 ．求证： ．
证明：∵ ，∴ ．∵ ， ，∴ ， ，∴ ．
在 和 中， ， ∴ （HL），∴
．
（2）证明：过点 作 ， ，垂足分别为 、 ，连接 ．
由（1）可知，当 时， ．在 和 中， ，
∵ ∴ （HL），∴ ，即 平分 ．
12．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图1，P是圆O外一点，A，B为圆上两点，连接 ，分别交圆O于C，D两点， ，连接 ．(1)求证： ；(2)如图2，延长 交 于点M，
连接 ，当点C为 中点时，求证：四边形 为菱形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：作 ， ，垂足分别为 ．
∵ ， ， ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ， ∴ ∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，∴ ；
（2）∵ ， ，∴ ，即： ，
∵ ， 平分 ，∴ ．又∵ 为 中点，∴ ．
∴ ∴ 为 中点．∴ ，
∴ ，∴四边形 为菱形．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆内接四边形 的对角线 交于点E， 平分 ，
．(1)求 的大小；(2)过点C作 交 的延长线于点F，若 ， ，
求此圆直径的长．【答案】(1) ；(2)圆的直径长是4．
【详解】（1）解：∵ ， ∴ ，
∵ 平分 ， ∴ ，∵ ， ∴ ，
∴ ， ，∵四边形 是圆内接四边形． ∴ ．∴
；
（2）∵ ， ∴ 是圆的直径，∵ ， ∴ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ， ∴ ，
∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，
∵ ， ∴ ∴圆的直径长是4．
14．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图1，在 中，弦 平分圆周角 ，我们将圆中以A
为公共点的三条弦 ， ， 构成的图形称为圆中“爪形A”，弦 ， ， 称为“爪形A”的爪．
(1)如图2，四边形 内接于 ， ；①证明：圆中存在“爪形D”；②若 ，求证：
．(2)如图3，四边形 内接于圆，其中 ，连接 ．若“爪形D”的爪之间
满足 ，则 ．
【答案】(1)①见解析，②见解析(2)【详解】（1）①证明：∵ ， ，
， 平分圆周角 ，∴圆中存在“爪形D”．
②如图所示，延长 至点E，使得 ，连接 ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， ， ， 为等腰直角三角形，
由勾股定理得： ，即 ， ， ．
（2）解：延长 至点E，使得 ，连接 ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， ， ， 是等边三角形，
， ．故答案为： ．
15．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图， 为圆内接四边形 的对角线，且点D为 的中点；(1)如图1，若 、直接写出 与 的数量关系；
(2)如图2、若 、 平分 ， ，求 的长度．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：如图： 绕B逆时针旋转交 于E，即 ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ,
∵点D为 的中点∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，∴ ,即 ,
∴ ，∴ ,∴ ,即 ．
（2）解：如图：连接 ， 交 于E，
∵ ，∴ 为 直径,即
∵点D为 的中点，∴ ， ∴ ,即 ,解得： ,
∵ 平分 ，∴ ,又∵ ,∴ 垂直平分 ,即 ，∴ ,
∵ ．∴ 是 的中位线，∴ ，∴ ，
∴ ．16．（2025·广东肇庆·二模）如图1所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意一点（不与
重合），连接 、 、 ．
【初步探索】（1）将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得 、 、 三点在
同一直线上，则线段 、 、 存在的数量关系是：________________．
【知识迁移】（2）如图1所示，若圆的半径为8，问 的最大值是多少？
【拓展延伸】（3）如图2所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为8，试求 周长的最大值．
【答案】（1） （2）16（3）
【详解】解：（1）由旋转得 ， ， ， 是等边三角形，
， ， ；故答案为： ；
（2）∵ 是 的弦，且 的半径为8，
∴当 经过圆心 ，即 是 的直径时，此时 的值最大，最大值为16，
，∴ 的最大值是16；
（3）∵ ， ，∴ 是 的直径，且圆心 在 上，∴ ， ，
将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，
， ， ，∵ ，∴ ，
∴ 、 、 三点在同一条直线上，∵ ，
∴ ，
∵当 经过圆心 ，即 是 的直径时，此时 的值最大，最大值为16，
∴ 的最大值为 ，∴ 的最大值为 ，
∴ 周长的最大值是 ．
17．（24-25湖北武汉·九年级校考期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点， ．
(1)判断 的形状，并证明你的结论．(2)若 ，求 的长
【答案】(1) 是等腰三角形，理由见解析(2) ．
【详解】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ 是等腰三角形；
（2）解：作 于M， 交 延长线于N，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
18．（24-25九年级上·广东广州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等
垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1， 、 是 的等垂弦， ， 垂足分别为D，E．求证：四边形 是正
方形；(2)如图2， 是 的弦，作 ， 分别交 于D，C两点，连接 ．分别交 、
与点 、点 ．求证： ， 是 的等垂弦；
(3)已知 的直径为10， 、 是 的等垂弦，P为等垂点．若 ．求 的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 或
【详解】（1）证明：根据题意，得 ， ， ，∴四边形 是矩形，
∵ ，根据垂径定理，得 ∴四边形 是正方形．
（2）证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；连接 ，设 ， 交点为G，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．∴ ， 是 的等垂弦．
（3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，
过点O作 ，垂足分别为E，F，根据题意，得 ，∴四边形 是矩形，
∵ ，∴ ，∴四边形 是正方形，∴ ．
∵ ，设 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，连接 ，
∵ 的直径为10，∴ ，根据勾股定理，得 ，∴ ，
解得 （舍去），∴ ；
当等垂点P位于圆外时，如答图所示，
过点O作 ，垂足分别为H，G，根据题意，得 ，∴四边形 是矩形，
∵ ，∴ ，∴四边形 是正方形，∴ ．
∵ ，设 ， ，
∵ ，∴ ，∴ ，连接 ，
∵ 的直径为10，∴ ，根据勾股定理，得 ，∴ ，
解得 （舍去），∴ ．综上所述， 或 ．
