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专题 06 圆中的重要模型--圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理
以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷
（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论： 。
例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦 与小圆相切于点P，大圆的弦
经过点P，且 ， ，两圆组成的圆环的面积是 ．
例2．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B
两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝ ．
例3．（2023·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，
并写出证明过程．已知：如图①，弦 ， 交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知 是 的直径， 与弦 交于点P，且 于点P，过D作 的切线，交
的延长线于E，D为切点，若 ， 的半径为5，求 的长．
模型2.双割线模型
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
例1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图： 、 为⊙O的两条割线，若 ， ，则
的长为（ ）
A．10 B．7 C． D．3
例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图， 为 的割线，且 ， 交 于点C，若 ，则 的半径的长为 ．
例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆
有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线
定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定
理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过 外一点 作 的两条割线，一条交 于 、 点，另一条交 于 、 点．
求证： ．
证明一：连接 、 ，
∵ 和 为 所对的圆周角，∴______．
又∵ ，∴______，∴______．
即 ．
研究后发现，如图②，如果连接 、 ，即可得到学习过的圆内接四边形 ．那么或许割线定理
也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接 、 ，模型3.切割线模型
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
例1．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图， 与 切于点 ， 是 的割线，如果
，那么 的长为 .
例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们
把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平
面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂
定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充
完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ．例3．（2023·山东潍坊·统考一模）如图， 是 的直径，点C、D在 上，且 平分 ，过点
D作 的垂线，与 的延长线相交于E，与 的延长线相交于点F，G为 的下半圆弧的中点，
交 于H，连接 (1)证明： 是 的切线；(2)若圆的半径 ，求 的长；(3)求证：
．
模型4.弦切角模型
条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1） ；
2） ；3）
。
例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个
课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的
角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线 与⊙O相切于 点， ， 为⊙O上不同于 的两点，连接 ， ， ．请你写
出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测 和 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的
方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线 与⊙O相切于 点， ， 为圆上不同于 的两点，连接 ， ， ．
求证： ．
（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
例2．（2022·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考
阅读下面内容并完成任务：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
如图1，直线 与 相切于点 ， 为 的弦， 叫弦切角， 叫做弦切角 所夹的弧，
是 所对的圆周角， 为直径时，很容易证明 ．小华同学认为这是一种特殊情况，若 不是直径会如何呢？即在图2中 吗？她连接 并延
长，交 于点 ，连接 …问题得到了解决．
小颖同学利用图3证明了当弦切角 为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
小亮积极思考，提出当弦切角 为钝角时，能证明 （如图4）吗？
任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明 ；
(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；
(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；
(4)解决问题：如图5，点 为 的弦 延长线上一点， 切 于点 ，连接 ， ， ，
，则 ______°
模型5.托勒密定理模型条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
例1．（2022春·广东九年级课时练习）阅读与应用
请阅读下列材料，完成相应的任务：
托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中
发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．
如图1，四边形ABCD内接于 ．
求证： ．
证明：如图2，作 交BD于点E．∵ ，∴ ．（依据）
∴ ．∴ ． ．
…
∴ ．
∴ ．∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；
(3)如图3， 的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：证明：如图③，作 ，交 于点 .
∵ ，∴ ，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边 外接圆 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的长.
课后专项训练
1．（2023·北京·九年级校考期中）如图，点 是 外一点， 为 的一条割线，且 ， 交
于点 ，若 ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东九年级月考）如图，过点 作 的两条割线分别交 于点 、 和点 、 ，已知
， ，则 的长是（ ）
A．3 B．7.5 C．5 D．5.5
3．（2023·浙江·中考模拟）如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线,若
PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于( )A．12 B．9 C．8 D．4
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点 引圆的两条割线 和 ，分别交圆于点 和 ，
连结 ，则在下列各比例式中，① ；② ；③ ，成立的有
（把你认为成立的比例式的序号都填上）．
5．（2023·北京九年级月考）如图，割线 、 分别交 于 和 ，若 ， ，
，则 ．
6．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形 内接于圆，对角线交点为E， ，若 、
都是整数，则 的值为 ．7．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1， 内接于 ，点D为圆外 上方一点，连接 ，若
．
(1)求证： 是 的切线；(2)如图2，连接 ．若 ， ， ，求 的半径．
（注：本题不允许使用弦切角定理）
8．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦
切角．如图1， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦， 即为弦切角．
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5
个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定
理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2， 为 的切线，点 为切点， 为 内一条弦，点 在 上，连接 ， ，
， ．
求证： ．
证明：
(2)如图3， 为 的切线， 为切点，点 是 上一动点，过点 作 于点 ， 交 于
，连接 ， ， ．若 ， ，求弦 的长．
9．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（ ）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三
角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1， 与 相切于点A， 与 相交于点B，C．
求证： ．
证明：如图2，连接 ．
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
……
任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3， 是 的切线， 经过 的圆心O，且
，割线 交 于点D，E， ，求 的长．
10．（2023·山西吕梁·校考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项．
证明过程如下：
如图1：已知：点P是 外一点， 是切线，F是切点， 是割线，点A，B是它与 的交点，求
证：
证明：连接 并延长交 于C，连接 ，
∵ 是 的切线， （依据________________________________)
∵ 是 的直径， （依据_______________________________)
又∵ （依据_____________________________________)
. . . . . .
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．
(2)把证明过程补充完整．
(3)定理应用：已知 为 的切线，T是切点， 是 的割线，交 于D， 为 的直径，
，求 的长．
11．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，
带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是 外一点， 是 的切线， 是 的一条割线，与 的另一个交点为B，则
．
证明：如图2，连接 、 ，过点C作 的直径 ，连接 ．
∵ 是 的切线，∴ ，
∴ ，即 ．
……
任务：
(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3， 与 相切于点A，连接 并延长与 交于点B、C， ， ，
，连接 ．① 与 的位置关系是 ．②求 的长．12．（2022秋·山西·九年级校联考期末）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之
间的关系．
如图1， 是 外一点， 切 于点 ， 交 于点 （即 是 的割线），则 ．
下面是切割线定理的证明过程：
证明：如图2，连接 并延长，交 于点 ，连接 ．
切 于点 ，
．
．
是 的直径，
……
(1)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程；
(2)在图1中，已知 ， ，则 ______， ______．
13．（2022·山西·三模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的
小明尝试给出了该定理的如下证明：已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．
求证： ．
证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．
∵PA切⊙O于点A，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．……
任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．
(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且 ， ，连接BE，过点C向下作 交PE
的延长线于点F，求EF的长．
14．（2022·河南商丘·统考二模）读下面材料，并完成相应的任务
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
下面是不完整的证明过程，请补充完整．
已知：P为 外一点，PA与 交于A，B两点，PM与 相切于点M．
求证： ．
证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交 于点C，连接BC．
∵PM为 的切线，∴_______ ，∴ ，∵CM为 的直径，∴_______ ，
∴ ，∴ _______，∵ ，∴ ．∵ ，∴
_______．∴ ，∴ ．学习任务：
如图，若线段AB与 相交于C，D两点，且 ，射线AB，BF为 的两条切线，切点分别为
E，F，连接CF．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的面积．
15．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A是 外一点，过点A作直线 分别交 于点B，C，D，E，则有 ．
证明：如图，连接 ．
∵ （依据：①________________）， ，
∴ ．∴ ②_________________．
∴ ．
任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．已知：如图，A是 外一点，过点A的直线交 于点B，C，__________．
求证： ___________．
16．（2022·山东九年级期中）如图， 为 外接圆⊙O的直径， 交 于点F，且 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；(2)求证： ；(3)若 ， ， ，求⊙O的
半径．
17．（2022秋·广东九年级期中）探究问题：(1)阅读理解：①如图A，在 所在平面上存在一点P，若它到 三个顶点的距离之和最小，则称点
P为 的费马点，此时 的值为 的费马距离．
②如图B，若四边形 的四个顶点在同一个圆上，则有 ，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边 外接圆的 上任意一点．
求证： ；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻 （其中 均小于
）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在 的外部以 为一边作等边 及其外接圆；
第二步：在 上任取一点 ，连接 ．易知
________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出 的费马点P，则线段______的长度即为 的费
马距离．
(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，
解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的 （其中
，均小于 ），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总
长度最小，求输水管总长度的最小值．18．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．
下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形 是 的内接四边形
求证：
证明：以C顶点， 为一边作 交 于点E，使得
又∵ ∴
∴ ∴ ，
又 ，
∴ ∴
∴ ，∴
∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形 是矩形时，托勒密定理就是
我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若 ，试探究线段 之
间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．19．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还
论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形ABCDE内接于 ， ，则对角线BD的长为 ．
