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专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型
圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的
圆形或圆环。翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型可以用
于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................2
模型拓展.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................4
模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）.................................................................错误: 引用源未找到
..........................................................................................................错误: 引用源未找到
阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，折痕必垂直平分对应弦（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂
直关系”的逻辑链。中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对
称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的对偶性质：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 “弧翻折必出等腰”的定性定理：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两
弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。
圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思
想。
（2025·江苏无锡·一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点，将劣弧 沿弦 翻折交 于点 ，
连接 ，点 与圆心 不重合， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是直径，∴ ，
∵ ，∴ ，
根据翻折可得， ， ，∴ ，
∴ ．故选：C．
（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知 是 的直径，点C为圆上一点．将 沿弦 翻折，
交 于D，把 沿直径 翻折，交 于点E，作 ，若点E恰好是翻折后的 的中点，则的值为 ．
【答案】 /
【详解】解：∵ 、 、 所在的圆是等圆， 、 、 所对的圆周角都是 ，∴
，
∵点E恰好是翻折后的 的中点，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
如图所示，连接 ，在 上截取 ，连接 ，∴ ，
∵ 的度数为 ，∴ ∴ ，
∵ ，∴ 都是等腰直角三角形，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA1）证明：如图，设折叠后的 所在的圆心是G，连接AC，CD.
由题意得（折叠）： ，即： ，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。
模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60°
2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA，
∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。
1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；
2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整
个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；
4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。
例1（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在半圆 中， ，将半圆 沿弦 所在的直
线折叠，若弧 恰好过圆心 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点O作 ，如图所示，
∵将半圆O沿弦 所在的直线折叠，若 恰好过圆心O，
∴ ，∴ ，在 中，由勾股定理得， ，
∵ ， 经过圆心，∴ ，故选：A．
例2（2024九年级上·重庆专题练习）如图，将 沿弦 翻折过圆心 ，交弦 于点 ，
，则 长为 ．
【答案】
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 为等边三角形，
∵ ，∴ ，∴ ．
例3（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在 中， 为直径， 为圆上一点，将劣弧 沿弦
翻折，交 于点 （不与点 重合），连结 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接 ，∵AB是直径，∴ ，
∵ ，∴ ，
根据翻折的性质， 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．故选D．
例4（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 一条弦，将劣弧沿弦 翻折，连结 并延长交翻折后的弧于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为 ．
【答案】7
【详解】解：延长 交 于点D，过点B作 于点H，连接 ，
和 是圆周角 所对的弧， ， ，
是直径， ， ，
， ，
， ， ，
， ．故答案为：7．
例5（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中 为直
径，以 为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的 ，且 交 于点D，如图2所示，若弧 为
，则 的度数 ．【答案】
【详解】解：由折叠性质可得： ， ， ，
为直径， ．故答案为： ．
例6（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 的内接三角形， 沿 折叠 ， 恰好
经过 中点 ， 连接 ，若 ， ， 则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 垂足为 ，过点 作 ，垂足为
，则四边形 是矩形，∵ 是 的中点， ∴ ，故A正确，
∵ ∴ ，故B正确，∴ ，
∵ ∴ 又∵ ， ∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ∴矩形 是正方形，∴ ，
又∵ ，∴ ∴ ∴
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，故C正确∴ ，故D不正确故选：D．
例7（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习） 中， 为直径，点C为圆上一点，将劣弧 沿 翻折交 于点D，连接 ．(1)如图1，若点D与圆心O重合， ，则 的半径 ______，弧 的
长=______．
(2)如图2，若点D与圆心O不重合， ， ______．
(3)如图3，若点D与圆心O不重合， ，求 的长．
【答案】(1) ， ；(2) (3)
【详解】（1）解：如图1，过点O作 于E，则 ，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴ ，
在 中， ，即 ，解得 ；
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，∴弧 的长为 ．
（2）解：如图2，连接 ，∵ 是直径，∴
∵ ，∴ ，
根据翻折的性质，弧 所对的圆周角为 ，弧 所对的圆周角为 ，∴ ，∴ ，∴ ．
（3）解：如图3：过C作 于G，连接 、 ，∵ ，∴ 的半径为 ，
由（2）知： ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴
在 中， ，
在 中， ．
例8（24-25九年级上·湖北·阶段练习）有一张半径为2的圆形纸片．
(1)如图（1），先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则 的大小
是______；在 上任取一点C（异于A，B），则 的大小是______；(2)如图（2），将纸片沿一条
弦 翻折，使其劣弧 恰好经过圆心O，作出直径 ，则图中阴影部分的面积是______；
(3)如图（3）， 是 的直径，将劣弧 沿弦 翻折，交 于点D，再将劣弧 沿直径 翻折，
交 于点E，若点E恰好是翻折后的劣弧 的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1) ； 或 ；(2) ；(3) ．
【详解】（1）解：根据折叠了2次，则 ，
如图（1）所示，当点C在优弧 上时， ，
当点C在 上时， ，故答案为： ； 或 ．（2）解：如图（2）所示，作 交 于点E，交 于点D，连接 ， ， ，
由折叠可知， ， ，
， ， ，
， 和 是等边三角形， ，
∴弓形 的面积等于弓形 的面积，∴扇形 的面积等于扇形 的面积，
∴阴影部分的面积即为 的面积； ，则 ， ，
，∴阴影部分面积 ，故答案为： ；
（3）解：如图（3），连接 ，过点C作 于H，
， ， ， ，
∵E是 的中点， ， ， ，
设 ，则 ， ，
是直径， ， ， ， ，
， ， ，则 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，∴弓形 ， 的面积相等，
∴阴影部分面积为 ．1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中， 为直径，点 为圆上一点，将劣弧 沿弦
翻折交 于点 ，连接 ，若点 与圆心 不重合， ，则 的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【详解】解：如图，连接 ， 是直径， ， ，
， ，根据翻折的性质，弧 所对的圆周角为 ， 所对的圆周角为 ， ，
， ， ．故选：D．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图， 为 的内接三角形， ， 为 边上的中
线，将 沿 翻折后刚好经过点 ，若已知 的半径为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点 作 ，交 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于
，连接 、 ，
∵ 为 边上的中线， ，∴ ， ，∴ ，
∵将 沿 翻折后刚好经过点 ， ，交 于 ，∴点 为点 的对应点， ，
∵四边形 是 的内接四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ， ，∴四边形 是正方形，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．故选：B．3.（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点 ， ， 在 上， ，把劣弧 沿着直线 折
叠交弦 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取点 在 上的对应点 ，连接 ，过 点作 于
点，如下图，∵四边形 内接于 ，∴ ，
∵点 在 上的对应点为点 ，∴根据折叠的性质有 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等腰三角形，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是直角三角形，
∵ ，在 中， ，
在 中， ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ， ，∴ 的长为： ．故选：C．4.（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于
点 ．再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴ ．同理： ．
又∵F是劣弧BD的中点，∴ ．∴ ．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B= ×45°=22.5°．∴ 所在的范围是 ；故选：B．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙ 中，点C为 的中点，将弦 下方的部分沿弦 翻折，
使点C与圆心O重合．点D为优弧 上一点连接 ．若 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，连接 ， 交 于点N，过点B作 ，
将弦 下方的部分沿弦 翻折，使点C与圆心O重合．
， 垂直平分 ， ，
， ， 是等边三角形， ，
， ，
， ， ， ，故选：
A
6．（2025·江苏无锡·二模）如图，将 的一部分沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 ， ，则
的半径为【答案】
【详解】解：过O作 于D，交 于C，连接 ，设 ，
由折叠可知： ， 中， ， ，
根据勾股定理，得： ，∴ ，解得： （负值已经舍去）故答案 ： ．
7．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图， 是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，
B外），若圆弧 沿 所在的直线折叠后与直径 交于点D（D在O右侧），当 ， 时，
CD ．
【答案】
【详解】解：解：过C作 于H，连接 ， ，
∵ 是半圆O的直径， ，，∴ ， ，又 ，∴ ，
∵圆弧 沿 所在的直线折叠后与直径 交于点D，
∴ 和 所在的圆是等圆，又 和 所对的圆周角都是 ，∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，则 ，
在 中， ，在 中， ∴ ．故答案为： ．
8．（2025·河南·二模）如图， 是 的直径， ， °，将 沿 翻折， 与直径
交于点 ，则图中阴影部分面积为
【答案】
【详解】解：如图，连接 ， ,过点 作 于点 ，则 ，
∵ 是 的直径，∴ ，在 中， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，∴ 是 的中位线，∴ ，
= ，故答案为： ．
9.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，A，B，C为圆形纸片圆周上三点，其中 为直径，以
为折线将纸片向右折叠，弧 与 交于点D，若 度数 ，则 的度数为 °．【答案】
【详解】解：设 为直径的圆的圆心为点O，
如图2，设 上的点D翻折前为点E，连接 ， ，
由折叠的性质得到： ， ，∴ ，∴ ，
∵ 为直径，∴ 三段弧度数和为 ， 三段弧度数和为 ，
度数 ， 度数为 ，
∴ 度数 ，∴ ，故答案为： ．
10．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰 内接于 ， ，将 折叠至 ，使点D落在
上．若 过点O，则 ．【答案】 /
【详解】解：连接 、 ，如图所示：
∵ ，∴ ，根据折叠可知： ， ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ 为 的直径，∴ ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，设 ， ，则 ， ， ，
∵ ，∴ ，整理得： ，
∴ ，∴ ．
11．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的
外接圆，将 沿着弦 折叠交 于点P，则 ．
【答案】【详解】连接 ，过点C作 交 与E，设点P由点 折叠得到，
由折叠可知： 关于直线 对称，
∵点A， ，C，B在圆上，∴ ，
又 ， ， ， ， ，
， ， ，∴ ， ，即 ，
， ， ， ，
又 ，∴ ， ．故答案为：
12．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆 中，点 在半圆 上，点 在直径 上，将半圆 沿过
所在的直线折叠，使 恰好经过点 ．若 ， ，则半圆 的直径为 ．
【答案】
【详解】解：如图，点 为圆心，过点 作 交于点 ，连接 、 、 ，
∵在半圆 中，点 在半圆 上，点 在直径 上，将半圆 沿过 所在的直线折叠，使 恰好经过
点 ，∴ 和 是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于 ， ，
∴ 和 所对的圆心角也相等，∴ ，∴ ，
又∵ ， ， ，∴设 ，则 ，
， ， ，
，∵ ，
∴ ，整理得： ， ，
∴ 或 ，解得： ， （负值舍去），
∴半圆 的直径 ，故答案为： ．
13．（24-25九年级上·重庆·期末）如图， 是 的内接三角形， ，将 沿 折叠恰
好经过 中点 ，连接 ，若 ， ，则 的半径长为 ， 的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ 中点 ， ∴ ， ，∴ ；
如图：过点C作 垂足为E，作D关于 的对称点F，连接 ，
∵ 是四边形 的外接圆，∴ ，
∵将 沿 折叠恰好经过 中点 ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ．故答案为： ， ．
14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将 上的 沿弦 翻折交半径 于点D， 再将 沿
翻折交 于点E， 连接 . 若 ， 则 的值 ．
【答案】 /
【详解】解：连接 、 、 ，作 于F，如图所示，
设 ，则 ， ，∴ ，
∵ 上的 沿弦 翻折交半径 于点D，再将 沿 翻折交 于点E，∴ 为等圆中的弧，∵它们所对的圆周角为 ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ， ，∴ ．故答案为：
．
15．（2025·河南周口·校考二模）如图①， 为半圆 的直径，点 在 上从点 向点 运动，将
沿弦 ，翻折，翻折后 的中点为 ，设点 ， 间的距离为 ，点 ， 间的距离为 ，图②是点
运动时 随 变化的关系图象，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】由图 可知，当 时， ，此时， ， 点与 点重合，由此即可解题．
【详解】解：由图 可知，当 时， ，
此时， ， 点与 点重合，如图，取 的中点 ，连接 、 ，
，根据对称性，得 ， ，， 是等边三角形， ， ，
为直径， ，在 中， ， ，
， 长为 ．故答案为： ．
16．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，以 为直径的半圆沿弦BC折叠后， 与 相交
于点D．若 ，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为 ，连接 ， ．则
， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 故答案为：
17．（24-25·广东汕头·九年级校考期中）如图，在⊙O中，点C、D在 上，将 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O
的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：由折叠的性质得： ，BC垂直平分DE，
∴∠CBD＝∠CBE，∴ ，∴ ，∴AC＝EC；
（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图：
设⊙O的半径为r，由（1）得： ，AC＝CE＝5，∴OC⊥AD，
∴AH＝ AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，∴CH＝ ＝ ＝3，
∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得： ，
解得：r＝ ，即⊙O的半径为 ．
18．（24-25九年级上·浙江金华·期中）在 中， 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 翻折交
于点D，连接 ．(1)如图1，若点D与圆心O重合， ，求 的半径r；
(2)如图2，若点D与圆心O不重合， ，请求出 的度数．
(3)如图2，如果 ， ，求 的长．【答案】(1)1(2) (3)
【详解】（1）设点D关于弦 的对称点为F，连接 ，交 于点E，则
，
因为 ，所以 ，设 ，则 ，
根据勾股定理，得 ，解得 ，故圆的半径r为1．
（2）设点D关于弦 的对称点为F，连接 ， ，
根据题意，得 ， ，所以 ，所以 ；
因为 为直径，所以 ，
所以 ．
（3）如图，连接 ， ，过点C作 于点G，根据（2）得到 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
