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专题03 圆中的重要模型之圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，
弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注
意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的
综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，
这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。
.........................................................................................................................................2
模型1.与垂径定理相关的中点模型.........................................................................................................2
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）...............................................................................6
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型....................................................................................12
模型4.与托勒密定理相关的中点模型....................................................................................................16
.......................................................................................................................................22模型1.与垂径定理相关的中点模型
O O O
A B A B A B
M N M N
P P P
图1 图2 图3
1）条件：如图1，已知点P是 中点，连接OP，结论：OP⊥AB；
2）条件：如图2，已知点P是 中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；
3）条件：如图3，点P是 中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。
证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB；
2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。
3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是 中点，∴ ，∴∠ABP=∠BAP，
∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 内接于 ，点B是 的中点， 是 的直径．
若 ， ，则 的长为（ ）A．5 B． C． D．
例2．（2023·湖北十堰·九年级校考期中）如图， 是 的直径，C是 上一点，D是 的中点，
交 于点E，过点D作 交 的延长线于点F．
(1)求证： 是 的切线；(2)若 ， ，求 的面积．
例3．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点 在以 为直径的半圆 上（点 不与 ， 两点
重合），点 是 的中点、 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，过点 作半圆 的切线
交 的延长线于点 ．(1)求证： ；(2)求证： ；(3)连接 ， ，若 ∶
∶ ，求 的值．
例4．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在 中， 为 的直径，点E在 上，D为 的中点，连接 并延长交于点C．连接 ，在 的延长线上取一点F，连接 ，使 ．
(1)求证： 为 的切线；(2)若 ， ，求 的直径．
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
C C
O A O B
A B
P P
1）条件：如图1，已知点P是 中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．
2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．
3）条件：如图 3，已知点 P 是 中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。
证明：1）∵P是 中点，∴ ，∴∠PCA=∠PCB，
2）∵P是 中点，∴ ，∴∠PCA=∠PCB，
∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，C C C C
O O O O
D
A B A B A B A B
D D D
P P P P
3）∵P是 中点，∴ ，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，
∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；
∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；
∵ ，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；
∵ ，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。
例1．（2023·广东九年级期中）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，点C为 的中点，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·广东佛山·校考三模）如图， 为 的直径，点 是弧 的中点， 交 于点 ，
， ．(1)求证： ；(2)求线段 的长；(3)延长 至 ，连接 ，使
的面积等于 ，求 的度数．例3．（2023·湖北恩施·统考一模）如图， 是 的直径， 是圆上的一点， 为 的中点，过点
作 的切线与 的延长线交于点 ，与 的延长线交于点 ，弦 、 交于点 ．
(1)求证： ；(2)求证： ；(3)若 ， ，求 的长．
例4．（2023·四川巴中·统考一模）如图， 是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），
连接 ，点C为 的中点，过点C作 ，交 的延长线于点F，连接 ， 交于点E．
(1)求证： 是半圆O的切线．(2)求证： ．(3)若 ， ，求阴影部分的面积．模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
P
C
D
A B
H O
条件：如图，AB是直径，点P是 中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。
结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
证明：1）∵P是 中点，∴ ，
∵AB是直径，PH⊥AB，∴ ，∴ .∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，
∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵ ，∴ ，∴PQ=AC，
∵ ，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴ ，∴AP2=AD×AC，
∵ ，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴ ，∴AP2=AH×AB，
∵ ，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴ ，∴AP2=PF×PB，
例1．（2023·湖南长沙·统考一模）如图，已知 是 的直径， 与 相切于点 ， 与 相交
于点 ， 是弧 的中点，现有如下几个结论： ， ， ，
，其中正确的个数为（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
例2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图， 是半圆 的直径， 是弦，点 是 的中点，点 是
的中点，连接 、 分别交 于点 和点 ，连接 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图， ， 为 的直径， 为 上一点，过点 的切线与
的延长线交于点 ， ，点 是 的中点，弦 ， 相交于点 ．
(1)求 的度数；(2)若 ，求 直径的长．
例4．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在 中，直径 于点F，点E为 上一点，点C为
弧 的中点，连接 ，交 于点G．(1)求证： ；(2)如图2，过点C作 的切线交BA的延长线于点Q，若 ， ，求 的长度；(3)在（2）的基础上，点P为 上任一点，连接
， 的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
模型4.与托勒密定理相关的中点模型
图1 图2
1）同侧型:
条件：如图 1，A为弧 BC中点，∠ABC=∠ACB=θ，D为圆上 ABC底边下方一点，结论：BD+CD=
2AD×cosθ；
2）异侧型:条件：如图 2，A 为弧 BC 中点，∠ABC=∠ACB=θ，D 为圆上 ABC 底边上方一点，结论：BD-CD=
2AD×cosθ；
托勒密定理（补充知识）：圆内接四边形的对角线乘积等于对边乘积的和。即：AD×BC=
BD×AC+DC×AB。
证明：1）同侧型：设AB=AC=m，则BC=2mcosθ。
由托勒密定理可知： AD×BC= BD×AC+DC×AB；即： m×BD+m×CD=2mcosθ×AD；故： BD+CD=
2AD×cosθ。
特别地：
1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD+CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=45°）； 结论：BD+CD= AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=30°）； 结论：BD+CD= AD
2）异侧型：设AB=AC=m，则BC=2mcosθ。
由 托 勒 密 定 理 可 知 ： BD×AC= AD×BC+DC×AB ； 即 ： BD×m=AD×2mcosθ+CD×m ； 故 ： BD-CD=
2AD×cosθ。
特别地：
1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）； 结论：BD-CD= AD
2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=45°）； 结论：BD-CD= AD
3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=30°）； 结论：BD-CD= AD
例1．（2023·浙江·九年级期中）如图， 为圆内接四边形 的对角线，且点D为 的中点；(1)如图1，若 、直接写出 与 的数量关系；
(2)如图2、若 、 平分 ， ，求 的长度．
例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在 中， 为 的直径，过点C作射线 ， ，
点B为弧 的中点，连接 ， ， ．点P为弧 上的一个动点（不与B，C重合），连接 ，
， ， ．(1)若 ，判断射线 与 的位置关系；(2)求证： ．
例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1： 依据2：
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： （请写出定理名
称）.
（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的
长.
1．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图， 为 的直径，射线 交 于点 ，点 为劣弧
的中点，连接 ．若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·陕西榆林·校联考模拟预测）如图， 为 的直径， 为 的弦，且 于点 ，若
点 为 的中点， ，则劣弧 的长为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西宝鸡·统考三模）如图， ， 是 的两条直径，点 是劣弧 的中点，连接 ，
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽滁州·校考三模）如图，圆内接四边形 的边 过圆心O，过点C的切线与边 的延
长线交于点E，若点D是 的中点， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，⊙O的内接四边形 中， ， ， ，
点C为弧 的中点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图， 是半圆O的直径， 是半圆上两点，点 是弧 的中点，
， ，则弧 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·新疆博尔塔拉·校考二模）如图， 内接于半径为 的半圆 中， 为直径，点 是
的中点，连结 交 于点 ， 平分 交 于点 ， 为 的中点，可得（ ）① ② ③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2023春·江西宜春·八年级校考期末）如图，在半径为3的 中，点A是劣弧 的中点，点D是优
弧 上一点，且 ，则 的长度是 ．
9．（2023·湖南常德·统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆
弧长度的“会圆术”，如图． 是以O为圆心， 为半径的圆弧，C是弦 的中点，D在 上，
．“会圆术”给出 长l的近似值s计算公式： ，当 ， 时，
．（结果保留一位小数）
10．（2023·河南周口·校联考二模）如图所示，扇形 中 ，点C为 的中点，点
D为 的中点，连接 交于点P，则阴影部分图形的面积是 （结果保留 ）．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接 中， ， 为 的中点，
于 ，求证： ．
12．（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）如图， 是 上两点， ，C为弧 上一点．
(1)写出弦 对的弧的度数；(2)若 是劣弧 的中点，判断四边形 的形状，并说明理由．
13．（2023·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的 中， 是直径， 是弧 的中点，
绕点 旋转与 的两边分别交于 （点 与点 均不重合），与
分别交于 两点．(1)连接 ，求证： ．(2)连接 ，试探究；在 绕点
旋转的过程中， 是否为定值？若是，求出 的大小；若不是，请说明理由．(3)连接 ，试
探究：在 绕点 旋转的过程中， 的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
14．（2023·浙江温州·校考三模）如图，四边形 内接于⊙O，D是弧 中点， 边上的点E满足
，连接 并延长交 于点F，连结 ．(1)求证： ．(2)若 平分 ， ，
时，求 半径的长．
15．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是一条弦，D是 的中点， 于
点E，交 于点F，交 于点H， 交 于点G．(1)求证： ．(2)若 ，
求 的半径．16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在 中，弦 与 交于点 ，点 为 的中点，现有以
下信息：① 为直径；② ；③ ．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是___________，结论是___________（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若 的长为 ，求 半径．
17．（2023·山东·统考中考真题）如图， 为 的直径，C是圆上一点，D是 的中点，弦 ，
垂足为点F．(1)求证： ；(2)P是 上一点， ，求 ；(3)在（2）的条件下，当 是 的平分线时，求 的长．
18．（2023·江西九江·统考三模）如图，已知 是 的直径， 点是 弧上的一点， 于 ，
点 是 弧的中点， 交 于点 ，交 于点 ．
(1)判断 的形状，并证明；(2)若 ， ．①求 的长．②求阴影部分的面积．
19．（2023·九年级北京市校考阶段练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．
托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文
学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完
善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵ ∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD
∴ ∴AB•CD＝AC•BE
∵ ∴∠ACB＝∠ADE（依据1）
∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC
即∠BAC＝∠EAD ∴△ABC∽△AED（依据2）
∴AD•BC＝AC•ED ∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED） ∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．（请写出）
（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为 的中点，求AC的长．
20．（2023·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务：
克罗狄斯·托勒密（约公元 年—公元 年），希腊著名的天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边的乘积
之和．
用数学文字表示为：如图1，已知四边形 内接于 ，则
任务：（1）如图1，当 为等边三角形时， 与 有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）如图2，已知 为直径， ， ，求 的长；
（3）如图3，在四边形 中， ， ， ，则 的
面积为_________．
