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专题01 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型
角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各
大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全
等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
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模型1.平分平行（射影）构等腰模型...........................................................................................................2
模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型.................................................12
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【知识储备】
模型1.平分平行（射影）构等腰模型
角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造
等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在
以后还会遇到很多类似总结）。
角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。1）角平分线加平行线必出等腰三角形．
图1 图2 图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，
∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。
证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC，
∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在 中， 平分 ， 平分 ，过点O作 的平行线与 ， 分别
相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC，
∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．
C
E
×
×
F
○ ×
B D A→ ○
图4
条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，
∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，
∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2023春·广东深圳·七年级校考期末）如图，直线 ，直线 分别与 相交于点
A，B．小宇用尺规作图法按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交 于点C，交
于点D；②分别以C，D为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E；③作射线 交
于点F．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在 中， ， 平分 ， 平分 ，
过点O作 的平行线与 ， 分别相交于点M，N．若 ， ．
(1)求 的度数；(2)求 的周长．
例3．（2023·广东·八年级期末）如图， ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，
▱
CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为 cm．例4.（2023.江苏八年级期中）如图，已知：在 中， ， 于D， 的角平分
线交AD与F，交AB于E， 交AB于G． ， ，则 __________，
__________．
例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作
EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.
(2)如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与
BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过
O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理
由.模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型
角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
该定理现在教材里面虽然没有讲，但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多
时候能起到事半功倍的良好效果。
1）内角平分线定理
条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论：
证明：作 ，作DH AB垂足分别为F，H.
∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则 = =
（2）作BE CA垂足为E，则 = = ∴ =
2）外角平分线定理图2 图3
条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论： ．
证明：如图2，过C作 ．交BA的延长线于E，
∵ ，∴ ，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴ ．
3）奔驰模型
条件：如图3， 的三边 、 、 的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将 分
为三个三角形。结论： =c：a：b。
证明：过点 作 于点 ，作 于点 ，作 于点 ．
由题意知： ， ， 是 的三条角平分线， ， 于，
，
的三边 、 、 长分别为a，b，c，
．
例1．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的一点，且
， 与 相交于点 ，若 的面积为1，则 的面积为 ．
例2．（2023·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， 的三边 ， ， 长分别是3，4，5，其
三条角平分线将 分为三个三角形，则 为（ ）A． B． C． D．
例3．（2022春·江苏·九年级专题练习）请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作 ．交BA的延长线于点E．…
任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
(2)如图3，已知Rt ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
例4、△ABC中，∠△BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，求证： ．
例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在 中，D是 边上的点（不与点B、C重合），
连接 ．(1)如图1，当点D是 边的中点时， _____；
(2)如图2，当 平分 时，若 ， ，求 的值（用含m、n的式子表示）；
(3)如图3， 平分 ，延长 到E．使得 ，连接 ，若 ，求
的值．
课后专项训练
1．（2023春·海南·八年级统考期末）如图，直线 ，点C、A分别 、 上，以点A为圆心，适当长为
半径画弧，交 、 于点D、E；分别以D、E为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点F；作射线
交 于点B．若 ，则 的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
2．（2023·湖南·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作
MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为 ．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分
∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝9，△AB＝15，则CE的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD // AB交
BC于点D， OE // AC交BC于点E．若AB=5 cm，BC=10 cm，AC=9 cm，则△ODE的周长为( )
A．10 cm B．9 cm C．8 cm D．5 cm
5．（2024·黑龙江·八年级校联考期中）如图， 的三边 、 、 的长分别为 、 、 ，其
三条角平分线将 分成三个三角形，则 （ ）
A． B． C． D．6．（2023春·河北邯郸·八年级统考开学考试）如图， 、 、 分别平分 、 、 ，
， 的周长为18， ，则 的面积为（ ）
A．18 B．30 C．36 D．72
7．（2023·广东·八年级专题练习）如图，在 中， 平分 于 ，下列结
论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，
其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知 ，点E是 上一点， 平分 ，
平分 ，延长 交 的延长线于点F．① ；②E为 的中点；③若 ，
，则 ；④若四边形 的面积为27，且 ，则 的长为18，其中正确的结论
有 ．9．（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点
E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：
①∠BEC= ∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有
（将所有正确答案的序号填写在横线上）．
10．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，垂足为D，
平分 ，交 于点E，交 于点F．若 ， ，则 的长为 ．
11．（2023江苏八年级月考）如图，在 中， ，过顶点 的直线 ， 、
的平分线分别交 于点 、 ，若 ， ，则 的长为 ．
12．（2023辽宁省葫芦岛八年级期末）如图，O是 ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交
BC于D，OE∥AC交BC于E，若 ODE的周长为1△0cm，那么BC的长为 ．
△13．（2022秋·河北秦皇岛·八年级校联考阶段练习）如图， 是 的角平分线， ，垂足为
E， ， ． 与 的面积之比为 ；若 的面积为52，则
．
14．（2023春·贵州毕节·八年级期末）如图， 的三边 长分别是20、30、40，其三条角
平分线将 分成三个三角形，则 等于 ．
15．（2022春·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB外角，
过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于F，试问：EF与BE、CF关系如何？
16．（2023·福建泉州·八年级阶段练习）（1）如图1所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，若已知BE=3,CF=5,求EF的长度；（2）如图2所示，BD平分∠ABC、CD
平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.
17．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，
小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：
【知识回顾】
（1）如图1， 是 的平分线上的一点， 于点 ，作 于点 ，试证：
【深入探究】（2）如图2，在 中， 为 的角平分线交于 于 点，其中
，求 ．
【应用迁移】（3）如图3， 中， 的角平分线 与 的中线 交于点 为
中点，连接 ，若 ，则 的长度为__________．18．（2023春·七年级单元测试）（1）模型：如图1，在 中， 平分 ， ，
，求证： ．
（2）模型应用：如图2， 平分 交 的延长线于点 ，求证： ．
（3）类比应用：如图3， 平分 ， ， ，求证： ．
19．（2023·重庆·八年级专题练习）解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC中，EF BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段
EF与BE、CF有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与
BE、CF有什么数量关系？并说明理由．
（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE BC交AB延长线于点E，交AC
延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？
