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专题11 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模
型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值
相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，
这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆
的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以
与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
....................................................................................................................................................1
模型1.米勒最大张角（视角）模型...............................................................................................................1
模型2.定角定高模型（探照灯模型）...........................................................................................................8
..................................................................................................................................................17
模型1.米勒最大张角（视角）模型
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？
对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形
ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。M
M
C
C
O N O N
A B A B
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，
易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
M
C'
C D
O N
A B
在三角形AC’D中，
又
常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，
并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从
而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（23-24·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角
度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例2．（2022·广西·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是
米．
例3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系 中，A为y轴正半轴上一点． 已知点
， ， 是 的外接圆．（1）点P的横坐标为 ；（2）若 最大时，则
．
例4．（2024·陕西西安·模拟预测）问题探究：（1）如图1， 是 的弦，直线 与 相交于点
两点， 是直线 上异于点 ， 的两个点，则 、 、 的大小关系是______
（用“ ”连接）．（2）如图2， 是 的弦，直线 与 相切于点 ，点 是直线 上异于点
的任意一点，请在图2中画出图形，试判断 ， 的大小关系，并证明．
问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在 边上点 处安装监控装置，用
来监控 边上的 段，为了让监控效果最佳，必须要求 最大．已知 ， 米，
米，问在 上是否存在一点 ，使得 最大，若存在，请求出此时 的长和 的
度数，如果不存在，请说明理由．例5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点( 在
的左侧)，与 轴交于点 ， ，点 的坐标为 ．
(1)求 、 、 的坐标及 的值；(2)直线 经过点 ，与抛物线交于 、 ，若 ，求直线
的解析式；(3)过点 作直线 ， 为直线 上的一动点．是否存在点 ，使 的值最
大？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
模型2.定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高AD），∠BAC为定角，则BC有
最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。
条件：在△ABC中，∠BAC= （定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆 ，连接OA，OB，OC，
过点O作OH⊥BC于点E，设 的半径为r，则∠BOH=∠BAC= ；
∴BC= 2BH=2OB sin =2r sin ，OH=OB cos =r cos 。∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），
∴r+rcos ≥h，即
，
当取等号时r有最小值；
∴
，
当取等号时BC有最小值；
∴
，
当取等号时△ABC有最小值；
∴
，
当取等号时△ABC有最小值。
例1．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是
4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB= ，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
例2．（2023·陕西渭南·二模）如图，在 中， ， 边上的高 为4，则 周长的最
小值为 ．
例3.（23-24·广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，
则△ABC面积的最小值为 ．例4.（23-24·重庆·九年级校考期中）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边BC、CD上的动点，则
△AEF面积的最小值为________.
例5．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点 是一只探照灯，距离
地面高度 ，照射角度 ，在地平线 上的照射范围是线段 ，此灯的光照区域 的
面积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设 ， ，构造 的外接圆
，可得 ，即 的最小值为4，又 ，故得 的最小值为__________，通过计算可
得 的面积最小值为__________．
(2)当 时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程
续写完整：解：作 的外接圆 ，作 于H，设
(3)请你写出原题中的结论：光照区域 的面积最小值是__________________________．（用含
的式子表示）；(4)如图3，探照灯A到地平线l距离 米，到垂直于地面的墙壁n的距离 米，
探照灯的照射角度 ，且 ，光照区域为四边形 ，点M、N分别在射线 上，
设 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值．例6．（2023·重庆·校考三模）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则
S ABC＝ ．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4 ，请
△
求出四边形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB
＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，
根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花
卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按
设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据： ≈1.7）
1．（2023·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB= ，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形 和直角三角形 ， ，
，连接 ， ．若 绕点A旋转，当 最大时， 的面积是（ ）
A． B．6 C．8 D．10
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，点P为 上一动点，点A为圆内一点，且满足 ，当
最大时，则 的长是 ．
4．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系 中，P为x轴正半轴上一点．已知点
， ， 为 的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当 最大时，点P的坐
标为 ．5．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中点，点P是CD上一个
动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 ．
6.（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一
点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。
7．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在 中， ， 边上的高 ，则
周长的最小值为 ．
8．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）某博物馆出土了一件文物，文物长度为 ，摆放在高度为
的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为 ，为了保证观看视角最大
（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏 应摆放在距 多远的位置？9．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）问题发现（1）如图1， 是 的弦，直线 交 于点 ，
在直线 上找一点 ，使得 ，请画出满足条件的一个 ．
问题探究（2）如图2，已知射线 、 ， ，点 、 在射线 上，点 是射线 上一动
点， ， ，当 最大时，请求出此时 的长．
问题解决（3）如图3，某公园准备修建一室外儿童游乐园，地面道路 边的 段为儿童游乐园的入口，
安全管理部门准备在与地面道路 夹角为 的射线 方向上确定一点 ，并架设横杆 ，使得
且 ，在点 处安装一摄像头，对入口段 实施监控（点 、 、 、 、 、 、
在同一平面内）．已知 ， ， ．调研发现，当 最大时监控效果最好．
请问能否找到一个点 ，从而确定点 ，使得 达到最大？如果存在，请确定点 的位置，并求出此
时 的值；如果不存在，请说明理由．10．（2023·广东深圳·一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，
A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧 上任一点C都是有触礁危险的临
界点， 就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角 与“危险角” 有
怎样的大小关系？
(1)数学小组用已学知识判断 与“危险角” 的大小关系，步骤如下：如图2， 与 相交于点
D，连接 ，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知 ，
是 的外角，
（填“ ”，“ ”或“ ”），
（填“ ”，“ ”或“ ”）；
(2)如图3，已知线段 与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作 使其与直线l相切，切点为
P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接 、 ，请你判断 与 的数量关系，并说明理由；
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿 方向带球跑动，
球门 米， 米， 米， ， ．该球员在射门角度（ ）最
大时射门，球员在 上的何处射门？（求出此时 的长度．）11．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，完成探索任务．
生活中的最大视角问题
如图1，直线 ， 相交于点 ，A，B为直线 上两点且在 同侧，C为直线 上一动点，当
的外接圆与动点C所在直线相切时， 最大．
如图2，在 上任取异于点C的一点D，连接 ，交圆于点E，连接 ，可证得
．
素材1
如图3，山顶有一座古塔 ，已知塔的高度 为 ，距离山脚 的观测点E处（即
）看古塔的视角最大．
素材2
如图4，若动点C在半径为r的 上，经过点A、点B的 （半径为R）与点C所在圆外切
素材3
时， 最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆
心与切点三点共线）
如图5，摩天轮的半径为 （它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平
素材4 面内有一长度为 的风景带 ，其中 为 ，点P从最低点A处按逆时针转动到最高
点B处．问题解决
任务一 结合图2，说明 ．
任务二 结合图3，求山的高度．
任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离 _______．（用含R和r的代数式表示）
任务四 结合图5，若从点P处看风景带 视角最大，求 的度数．
12.（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知正方形 ，以顶点 为直角顶点的等腰 在
正方形外部绕点 旋转．(1)如图1，连接 与 ，在旋转过程中小语同学发现 ，请你帮小语同
学完成证明过程；(2)如图2，若 ， ，在旋转过程中，①求点 与点 之间的最大距离；
②当 最大时，连接 ，求 的面积．
13．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 （ ）过点 、 ，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的表达式：(2)点 为第四象限内抛物线上一动点，
过点 作 轴交直线 于 ， 为直线 上一点，且 ，求 的最大值及此时点
的坐标：(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点 ，使 的度数最大，若存在，请写
出 点的坐标，并做详细解答．
14．（2024·陕西·二模）（1）如图1，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上， 于点D，
且 ， ，求 的最小值；
（2）如图2，某公园有一块四边形空地 ，园区管理人员计划将该空地进行划分，种植不同的花卉，
点E，F分别为 ， 上的点， ， 将其分为三个区域．已知 ， ，
，若保持 ，试求四边形 面积的最大值．15．（2024·广东深圳·二模）【问题提出】(1)如图1，在边长为 的等边 中，点 在边 上，
，连接 ，则 的面积为____
【问题探究】(2)如图2，已知在边长为 的正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，且
，若 ，求 的面积；
【问题解决】(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在 米， 米的矩形
区域内开挖一个 的工作面，其中 、 分别在 、 边上 不与点 、 、 重合 ，且
，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求 面积最小，那么是否存在一个面积最小的
若存在，请求出 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
16．（2023·吉林长春·模拟预测）【问题提出】（1）如图①， 为 的一条弦，圆心 到弦 的距离
为4，若 的半径为7，则 上的点到弦 的距离最大值为______；
【问题探究】（2）如图②，在 中， 为 边上的高，若 ，求 面积的最
小值；
【问题解决】（3）如图③，在 中， 平分 交 于点 ，点 为 上一点，
米， ．则四边形 的面积的最小值为______．17．（2024九年级下·广东·专题练习）问题提出：
如图1：在 中， 且 ，点O为 的外心，则 的外接圆半径是 ．
问题探究：如图2，正方形 中，E、F分别是边 两边上点且 ，请问线段
有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：如图3，四边形 中， ， ，点E、F分别是射线
上的动点，并且 ，试问 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．
若不存在，请说明理由．
18．（23-24九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务．
素
如图，在 中， ，垂足为点D，若保证 始终为
材
直角，则点A、B、C在以 为直径的圆上．
一如图，在 C中， ， ，垂足为点D，取
素
的中点O，连接 ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
材
二 半”可知 ，可得 ．
如图，矩形 是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长
素 1米的遮光板 ，且 ，点E到墙 的距离为4米，到地面
材 的距离为5米．点O为室内光源， 、 为光线， ，
三 通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区
的和最大时，该实验室“可利用比”最高．
任
务 若素材一中的 ，求 的最大值．
一
任
务 若素材二中的 ，求 的最小值．
二
任
若任务二中的 改成 ，其余条件不变，请直接写
务
出 的最小值．
三
任
若任务二中的 ， 改成 ， ，请直接
务
写出 的最小值．
四
任
务 当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时 的值
五
