文档内容
广东省广州市2026年普通高中毕业班综合测试(一)数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在答题卡的相
应位置填涂考生号。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 若z(2+i)=5, 则 z=
A. - 2+i B. 2-i C. 2+i D. - 2-i
2.集合 A={x∈Z∣x2 −2x≤0}的子集个数为
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
{
log （x−1,）， x＞1
3
3.已知函数f（x）= 则f(f(log₃2))=
3x ， x≤1，
A. - 1 B. 0 C. log₃2 D. 2
π π
4.函数
f(x)=sin(x+ )sin( −x)
的最小正周期是
6 3
3π π
A. 2π B. C. π D.
2 2
5. 已知向量a=(2,3), b=(0,1), 向量c满足c·(a-b)=1, 则|c|的取值范围是
A. [ √2 ,+∞ ) B. ( 0, √2 ] C. [ 1 ,+∞ ) D. (0 , 1 ]
4 4 8 8
6. 函数f(x)= sinx-xcosx在区间(-3π,3π)上的极值点个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.已知抛物线 C:y2=2px（p＞0）的焦点为F，圆. M:(x+1) 2+y2=16与C交于A, B两点，若直线AM
与直线BM 的斜率之积为-3，则|AF|=7
A. 3 B. C. 4 D. 5
2
√2
8.在正三棱柱 ABC−A B C 中， AB=2,AA =1, 点 D 是平面ABC上的动点，则 A D+ CD的最小
1 1 1 1 1 2
值是
5√2 3√2 5√3 3√3
A. B. C. D.
4 2 4 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量 X (单位：g)服从正态分布 N(μ,σ²),且
1 7
P(X＜14)= ,P(X≤18)= .从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间[14，18]
8 8
上的件数记为ξ，则
3
A. μ=16 B. P(14≤X≤18)=
4
27
C. P(ξ=1)= D. E(ξ)=3
64
10.已知x≠y，则下列命题正确的是
π
A.
∃x,y∈(0
,
),sinx+siny＜sin(x+y)
2
π x+y
B.
∀x,y∈(0
,
),sinx+siny＜2sin
2 2
π
C.
∃x,y∈(0
,
),sinx−siny＜sin(x−y)
2
D.
∀x,y∈(0
,
π
),sinx−siny＜2sin
x−y
2 2
11. 已知曲线 C 的方程为 F(x,y)=0, 集合 T={(x,y)∣F(x,y)=0}, 若对任意的 (x ,y )∈T,都存在
1 1
(x ,y )∈T,使得 x (y −2)=x y 成立，则称曲线C为α曲线.下列方程所表示的曲线为α曲线的是
2 2 1 2 2 1
A. x2+y2=5 B. x-y-1=0 C. y= lnx D. y=e−x −2
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
x2 y2 √5
12.已知椭圆 + =1（m＞0）的离心率为 , 则m= .
m+1 m 5
13. 已知函数f(x+1)为奇函数, 当x＜1时, f(x)=ax2 −x(a≠0),若f(x)在 ( 1 , 3 ] 上单调递增，则a的
2
取值范围是 .14.某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，
线段DE 把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为 米.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
2 1 a +1
已知数列{a}的首项a = , 且满足 = n .
n 1 3 a 2a
n+1 n
{ 1 }
(1)证明：数列 −1 为等比数列；
a
n
{ 1 }
(2)若数列 +n 的前n项和 Sn小于120，求n的最大值.
a
n
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ∠ABC=60∘,
PA⊥平面ABCD, 点E 是棱 PB的中点.
(1) 求证: AB⊥CE;
3
(2)若点B 到平面PCD的距离为 ，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
2
17.(15分)
甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标
者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为α(0＜α＜1),乙每次射击命中目标的概率均为β(0＜β
＜1)，各次射击结果互不影响.
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p(用α，β表示)；(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求β的最小值.
∞
1
参考公式: 若0＜q＜1, 则 ∑ q'=1+q+q2+q3+⋯= .
1− q
l=0
18. (17分)
已知函数f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1.
(1) 若a=1, 求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值；
(3) 若存在a, 使得f(x)≤a+b 对任意x＞0恒成立, 证明: a-b＜4.
19.(17分)
x 2 y 2
已知双曲线 C： － =1（a＞b＞0）的焦点到其渐近线的距离为. √2 , 点 (√2,√2)
a 2 b2
在C上.
(1) 求C的方程;
(2)点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且 ∣AB∣=2√2,线段AB的中点为M.
(i)设 E(0,√3),F(0,−√3),求|ME|·|MF|的最大值;
(ii) 设P(-t,0), Q(t,0)(t＞1),点M 不在x轴上，若 ∠MQP=2∠MPQ,
∣MP∣
求 的取值范围.
∣MQ∣
参考答案
1-8.
【答案】C
【答案】D
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】C【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】[1,+∞)
14.【答案】20
1 a +1 1 1
15. (1) = n = ×a + ,
a 2a 2 n 2
n+1 n
1 1 1
两边同时-1，有 −1= ( −1),
a 2 a
n+1 n
1
−1
a 1
所以 n+1 = (常数),
1 2
−1
a
n
{1 } 1 1
所以 −1 是首项为 ,，公比为 的等比数列.
a 2 2
n
{1 }
(2)设数列 的前 n 项和为 Tn,
a
n
1 n 1 n
所以 T −n=1− ( ) ,所以 T =n+1− ( ) ,
n 2 n 2
所以 S =T +(1+2+⋯+n)=n+1− (
1
)
n
+
(1+n)n
=
(n+1)(n+2)
− (
1
)
n
n n 2 2 2 2
16.(1)取 AB 中点 F ,连接 AC,FC,EF
因为平行四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=60∘,所以 △ABC是等边三角形
又因为 F 是 AB 中点，所以 CF⟂AB
又因为 E,F 分别是 PB,AB 中点,所以. EF‖AP
又因为 AP⊥底面 ABCD,AB⊂底面 ABCD ,所以 AP⊥AB所以 EF⊥AB
又因为 FC⊥AB,EF,FC⊂平面 EFC,EF∩FC=F
所以 AB⟂平面 EFC
又因为 EC⊂ ∓面EFC,所以 AB⊥CE
(2)连接 AC,BD 交于点 O ,以 O 为原点张云帆讲数学
分别以 OB，OC 平行于 AP 的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系
B(√3,0,0),C(0,1,0),D(−√3,0,0)
设 AP=a ,所以 P(0,-1,a)
设平面 PCD 的法向量为 ⃗n =(x ,y ,z )
1 1 1 1
⃗CD=(−√3,−1,0),⃗CP=(0,−2,a)
→ →
CD·n =0 −√3x −y =0
{ 1 ⇒{ 1 1
→ → −2y +az =0
CP·n =0 1 1
1
令 z =6,则 y =3a,x =− √3a,所以 ⃗n =(−√3a,3a,6)
1 1 1 1
又因为 ⃗DB=(2√3,0,0),
∣⃗DB⋅⃗n ∣ ∣−6a∣ 3
所以点 B 到面 PCD 的距离 d= 1 = =
∣⃗n ∣ √3a2+9a2+36 2
1
所以 a=3 ,所以平面 PCD 的法向量 ⃗n =(−3√3,9,6),P(0,−1,3)
1
又因为 A(0,-1,0),所以 ⃗AP=(0,0,3),⃗AB=(√3,1,0)
设平面 PAB 的法向量 ⃗n =(x ,y ,z )
2 2 2 2
→ →
AF·n =0 3z =0
{ 2 ⇒{ 2
→ → √3x +y =0
AB·n =0 2 2
2
令 x =1,则 y =− √3,z =0,所以 ⃗n =(1,−√3,0)
2 2 2 2
设平面 PAB 与平面 PCD 夹角为θ,
∣⃗n ⋅⃗n ∣ √3
所以 cosθ= 1 2 = .
∣⃗n ∣⃗n ∣ 4
1 2
17.(1)甲先射，甲第2 次射且胜的概率为 p
第1次甲不中,1-α,
第1次乙不中,1-β,第2次甲中，α，
所以 p=(1-α)(1-β)α.
(2)乙先,乙胜为 pz,甲胜为 p甲,
乙胜：第1次乙中，β，
第1次乙不中，第1次甲不中，第2次乙中， (1− β) 2 (1− α) 2β,
第1，2均未命中，第3次乙中， (1− β) 2 (1− α) 2β,
因为构成等比，首项 q =β,公比q=(1-α)(1-β),
1
∞
β
故 p =∑ β[(1− α(1− β)]k= .
乙 1− (1− α)(1− β)
k=0
(1− β)α
同理，甲胜： p = ,
甲 1− (1− α)(1− β)
α
因为 p ＞p ,所以 β＞α(1− β)⇒β＞ ,
乙 甲 1+α
1
又α∈(0,1),所以 β
min
=
2
.
18.f(x)=(1-2x) lnx+ ax-1
f' (x)=−2lnx+
1−2x
+a
x
(1)当a=1时, f' (x)=−2lnx+
1− x
,f''(x)=
−2
−
1
＜0,
x x x2
所以 f'(x)单调递减, 又 f'(1)=0 ,所以 f'(x)在(0,1) 为正,( (1,+∞)为负
所以f(x)在(0,1)为↗ ,(1,+∞)为\.
(2)f''(x)=
−2
−
1
＜0
x x2
所以f'(x)单减,f'(1)=a-1
①由(1)知, a=1时, f(1)=0, (0,1)↗, (1,+∞)\, 此时仅有1个零点1, 此时(a=1符合；
②当a＞1时, f' (1)=a−1＞0,∃ x ＞1,使 f(x )=0,f(x)在 (0,x )↑,(x ,+∞),
0 0 0 0
1−2x 2x −1
f' (x )=0⇒ −ln2x + 0 +a=0⇒ a=2lnx + 0 ,
0 0 x 0 x
0 0
f(x) =f(x )=(1−2x )lnx +ax −1
max 0 0 0 0
=(1−2x )lnx +2x lnx +2x − 1−1
0 0 0 0 0
=lnx +2x −2,
0 0设h(x)= lnx+2x-2∴h(1)=0 ,所以 h(x)＞0
所以 f(x) =lnx +2x −2＞0,又x→0,f(x)→-∞,
max 0 0
所以 f(x)有两个零点，舍.
③当a＜1时, f' (1)=a−1＜0,∃ x ∈(0,1),使 f' (x )=0,f(x)在( (0,x )/,(x ,+∞)＞
0 0 0 0
f(x) =f(x )=lnx +2x −2,由②知 f(x )＜0,所以f(x)＜0无零点，舍
max 0 0 0 0
综上,a=1
(3) f(x)≤a+b 即( (1−2x)lnx+ax−1≤a+b,即 b≥(1−2x)lnx+a(x−1)−1=g(x)
若对 ∀x＞0 恒成立,即 b≥g(x) ,
max
又 g' (x)=−2lnx+
1−2x
+a=−2lnx+
1
+a−1
x x
g''(x)=
−2
−
1
＜0,g''(x)＜0⇒ g' (x)
x x2
且x→0 时, g' (x)→+∞,x→+∞时， g' (x)→−∞
1 1
故 ∃x
0
＞0,使 g' (x
0
)=0即 −2lnx
0
+
x
+a−2=0, 即 a=2lnx
0
−
x
+2
0 0
此时 g(x) =g(x )=(1−2x )lnx +a(x −1)−1
max 0 0 0 0
1
=(1−2x )lnx +(2lnx − +2) (x −1)−1
0 0 0 x 0
0
1
=− lnx +2x + −4
0 0 x
0
欲证 a-b≤4,此时 b≥g(x )⇒−b≤− g(x )
0 0
1 1
所以 a−b≤a−g(x )=2lnx − +2+lnx −2x − +4
0 0 x 0 0 x
0 0
2
=3lnx −2x − +6
0 0 x
0
设 p(x)=3lnx−2x−
2
+6⇒ p' (x)=
−2x2+3x+2
=
−(2x+1)(x−2)
x x2 x2
p(x) max=p(2)=3ln2-4-1+6=3ln2+1=3×0.7+1=3.1＜4
所以a-b≤4,证毕.
x2 y2 2 2
19. (1)b=√2,所以 − =1,所以 − =1,所以 a2=1
a2 2 a2 2
y2
所以 x2 − =1所求
2(2)渐近线: y=±√2x,设 A(x ,√2x ),B(x ,−√2x ),μ(x,y)
1 1 2 2因为 ∣AB∣=2√2,所以 √ (x −x ) 2+[√2(x +x )] 2 =2√2
1 2 1 2
所以 (x −x ) 2+2(x +x ) 2=8
1 2 1 2
y2
所以 (√2y) 2=2×4x2=8即 x2+ =1
4
所以 E，F是点μ 的轨迹的焦点，
所以 ∣μE∣+∣μF∣=4
所以 |μEμF|≤
当且仅当 ∣μE∣=∣μF∣=2时，成立
(3)P(-t,0),Q(t,0),(t＞1)点μ 不在 x 上,∠MQP=2∠μPQ
μP μQ
在 △μQP 中，由正弦定理 = 及 ∠μQP=2∠μPQ
sin∠μQP sin∠μPQ
所以 s sin∠μQP=sin2∠μPQ=2sin∠μPQ⋅cos∠μPQ
μP
所以 =2cos∠μPQ
μQ
π 1
设 ∠μPQ=θ ,则
∠μQP=2θ,θ∈(0, ),cos∈( ,1)
3 2
μP
故 ∈(1,2),令 y＞0
μQ
y2 y y
又μ在 x2+ =1,μ(x,y),所以 tanθ= ,tan2θ=
4 x=t t−x
又 tan2θ=
2tanθ
⇒
2y(x+t)
=
y
⇒y2=3x2+2tx−t2=4(1− x2)
1− tanθ (x+t) 2 −y2 t−x
所以 7x2+2tx−(t2+4)=0
−t±2√2t2+7
所以 x=
7又 x∈( −1, t ),所以 ∣μP∣ = √ (x+t) 2+y2 ,代入 y2=4(1− x2)
3 ∣μQ∣ (x−t) 2+y2
μP √−3x2=2tx+t2+4
即 =
μQ 3x2 −2tx+t2+4
因为 x∈( −1,
t
),所以 (
μP
) =
2√15
,
3 μQ 5
min
μP (2√15 )
综上， ∈ ,2 .
μQ 5
