广东省中山市华侨中学等校2026届高三模拟测试(一)数学试题（解析版）_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年03月高三试卷_260331广东省中山市2026届高三下学期模拟测试（一）（全科）

★启用前注意保密 广东省中山市华侨中学等校2026届高三模拟测试(一)数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码 横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答 无效． 4.考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 2 1. 复数z= 的共轭复数为 ( ) 1-i A. 1-i B. 1+i C. 2-2i D. 2+2i 【答案】A 2 21+i 【详解】因为复数z= = 1-i  1-i  1+i  2+2i 2+2i = = =1+i， 1-i2 2  所以z=1-i. 故选：A 2. 某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢 篮球和乒乓球的人数为 ( ) A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为x， 则只喜欢篮球的有20-x，只喜欢乒乓球的有25-x， 所以10+20-x  +25-x  +x=45，解得x=10， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 ( ) A. 若m⎳α,n⊂α，则m⎳n B. 若m⎳α,α⎳β，则m⎳β C. 若m⊥α,m⎳β，则α⊥β D. 若m⊥α,m⊥n，则n⎳α 【答案】C 【详解】对于A，若m⎳α,n⊂α，则m⎳n或m,n异面，故A错误； 第18页·1/·共18页对于B，若m⎳α,α⎳β，则m⎳β或m⊂β，故B错误； 对于C，若m⎳β，则存在m ⊂β，且m⎳m ，因为m⊥α，所以m ⊥α，而m ⊂β，从而α⊥β，故C 1 1 1 1 正确； 对于D，若m⊥α,m⊥n，则n⎳α或n⊂α，故D错误. 故选：C. 4. 关于实数x，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：x>2；乙：x<4；丙：x>3．如果甲、乙、丙三个 陈述中有且仅有一个正确，则x的取值范围可以为 ( ) A. (3,+∞) B. (-∞,2] C. 2,3  D. [4,+∞) 【答案】B 【详解】若甲正确，乙和丙错误，则x>2且x≥4且x≤3，不存在这样的实数x满足条件，舍去； 若乙正确，甲和丙错误，则x<4且x≤2且x≤3，可得x≤2，即x的范围为(-∞,2]； 若丙正确，甲和乙错误，因为丙：x>3，则甲：x>2一定正确，不符合题意，舍去. 综上可得：实数x的取值范围为(-∞,2]. 故选：B. 5. 把函数y=2x的图象关于y轴对称后得到gx  的图象，则gx  的图象与函数y=log x的图象关于 1 2 ( ) A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 直线y=x对称 【答案】D 【详解】由题意知，gx  1 =2-x= 2  x .因为指数函数y=ax与对数函数y=log x(a>0且a≠1)互 a 为反函数，图象关于直线y=x对称，所以gx  的图像与函数y=log x的图像关于直线y=x对称. 1 2 故选：D. x-4 6. 方程  2+y2 25-4x  1 = 表示的圆锥曲线的离心率e= ( ) 5 1 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 4 【答案】B x-4 【详解】因为  2+y2 25-4x  1 = ，所以5 x-4 5  2+y2=25-4x  ， 所以25 x-4   2+y2  =252-200x+16x2， x2 y2 化简得 + =1，是焦点在x轴上的椭圆. 25 9 c 4 故a=5，c=4，所以离心率为e= = . a 5 17 7. 若α，β是第三象限角，且tanα= ，tanβ= 17，则sinα+β 17  = ( ) 2 A. -1 B. 0 C. D. 1 2 【答案】D 第18页·2/·共18页sinα 17 17  = 【详解】因为tanα= ，所以  cosα 17 ， 17 sin2α+cos2α=1 因为若α是第三象限角，所以sinα<0,cosα<0， 2 34 解得sinα=- ，cosα=- 6 6 sinβ  = 17 同理因为tanβ= 17，所以 cosβ ， sin2β+cos2β=1 因为若β是第三象限角，所以sinβ<0,cosβ<0， 34 2 解得sinβ=- ，cosβ=- . 6 6 而sinα+β  2 =sinαcosβ+cosαsinβ=- 6  2 ×- 6  34 +- 6  34 ×- 6  =1   8. 已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λAB+(2-2λ)AC|(λ∈R)的最小值为2 3，若P为边AB上   任意一点，则PB⋅PC的最小值为 ( ) 3 9 3 3 A. 0 B. - C. - D. - 2 4 2 【答案】C 【详解】延长AC至D，使得CD=AC=2，连接BD，点E为△ABD所在平面内 点，连接AE，        则λAB+(2-2λ)AC=λAB+(1-λ)AD，令λAB+(1-λ)AD=AE，则点E在直线BD上，  由 λAB+2-2λ    AC   的最小值为2 3，得AE  =2 3， min  当且仅当AE⊥BD时AE  2 3 3 取得最小值，则sin∠ABD= = ， 4 2 π 又∠ABD是锐角，则∠ABD= ，而AD=AB=4，即△ABD为正三角形， 3       π π 于是∠BAC= ，AB⋅AC=4×2cos =4，令PB=xAB，则AP=(1-x)AB， 3 3         因此PB⋅PC=xAB⋅(AC-AP)=xAB⋅AC-x(1-x)AB 2 =16x2-12x 3 =4x- 2  2 9 9 3 - ≥- ，当且仅当x= 时取等号， 4 4 8   9 所以PB⋅PC的最小值为- . 4 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列a n  是等比数列，公比q≠±1，其前n项和为S ，则 ( ) n A. 当q>1时，a n  为递增数列 第18页·3/·共18页B. 若S =3，S =9，则S =21 5 10 15 C. 若S ，S ，S 成等差数列，则a ，a ，a 成等差数列 5 15 10 5 15 10 D. 若a ，a ，a 成等差数列，则S ，S ，S 成等差数列 n+1 3n+1 2n+1 n 3n 2n 【答案】BCD 【详解】对于A，当a <0时，q>1时，a 1 n  为递减数列，故A错误； 对于B，若S =3，S =9，S ，S -S ，S -S 成等比数列， 5 10 5 10 5 15 10 则S =21，故B正确； 15 对于C，若S ，S ，S 成等差数列，则2S =S +S ，即2 a 11-q15 5 15 10 15 5 10  = a 11-q5 1-q  + a 11-q10 1-q  ， 1-q 即2q15=q5+q10，即2a q14=a q4+a q9，即2a =a +a ， 1 1 1 15 5 10 所以a ，a ，a 成等差数列，故C正确； 5 15 10 对于D，a ，a ，a 成等差数列，所以2a =a +a ， n+1 3n+1 2n+1 3n+1 n+1 2n+1 即2a q3n=a qn+a q2n，所以2q3n=qn+q2n， 1 1 1 即21-q3n  =1-qn  +1-q2n  ，即2 a 11-q3n  = a 11-qn 1-q  + a 11-q2n 1-q  ， 1-q 所以2S =S +S ，所以S ，S ，S 成等差数列，故D正确. 3n n 2n n 3n 2n 10. 已知定义在R上的奇函数fx  和偶函数gx  满足fx  +gx  =2ex，hx  f(x) = ，则 ( ) g(x) A. hx  是奇函数 B. gx  是增函数 C. hx  值域为 -1,1  D. hx-y  h(x)-h(y) = 1-h(x)h(y) 【答案】ACD 【详解】对于A，由fx  +gx  =2ex，因为fx  为奇函数，gx  为偶函数， 可得gx  -fx  =2e-x，联立方程组，解得fx  =ex-e-x,gx  =ex+e-x， 所以hx  f(x) ex-e-x = = ，可得h-x g(x) ex+e-x  e-x-ex ex-e-x = =- =-hx e-x+ex ex+e-x  ， 所以函数hx  为奇函数，所以A正确； 对于B，因为gx  为偶函数，所以函数gx  不可能为单调增函数，所以B错误； 对于C，由函数hx  ex-e-x e2x-1 2 = = =1- ， ex+e-x e2x+1 e2x+1 因为e2x+1∈(1,+∞)，所以hx  ∈(-1,1)，所以C正确； 对于D，由hx  ex-e-x = ，可得hy ex+e-x  ey-e-y = ，hx-y ey+e-y  ex-y-e-(x-y) = ， ex-y+e-(x-y) 则hx  -hy  ex-e-x ey-e-y (ex-e-x)(ey+e-y)-(ey-e-y)(ex+e-x) = - = ex+e-x ey+e-y (ex+e-x)(ey+e-y) exey+exe-y-e-xey-e-xe-y-(eyex-eye-x-e-yex+e-ye-x) 2ex-y-2e-(x-y) = = ， (ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y) (ex-e-x)(ey-e-y) (ex+e-x)(ey+e-y)-(ex-e-x)(ey-e-y) 且1-h(x)h(y)=1- = (ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y) exey+exe-y+e-xey+e-xe-y-(exey-exe-y-e-xey+e-xe-y) 2ex-y+2e-(x-y) = = ， (ex+e-x)(ey+e-y) (ex+e-x)(ey+e-y) 第18页·4/·共18页2ex-y-2e-(x-y) h(x)-h(y) (ex+e-x)(ey+e-y) 2ex-y-2e-(x-y) ex-y-e-(x-y) 所以 = = = =h(x-y)， 1-h(x)h(y) 2ex-y+2e-(x-y) 2ex-y+2e-(x-y) ex-y+e-(x-y) (ex+e-x)(ey+e-y) 所以D正确. 故选：ACD. 11. 在统计学中，四分位数是指把一组数由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值为 Q ，Q ，Q ，其中Q 是这组数的中位数，Q 和Q 分别可看作这组数被Q 分成的前后两组数的中位 1 2 3 2 1 3 2 数．利用四分位数可以绘制统计学中的箱形图：先找出一组数的最大值，最小值和三个四分位数 Q ，Q ，Q ；然后连接Q 和Q 画出“箱子”，中位数Q 在“箱子”中间；再将最大值和最小值与箱子相 1 2 3 1 3 2 连接(如图①)．某老师绘制了一次数学小测验中甲，乙，丙三个班级学生得分的箱形图(如图②)，根 据该图判断下列说法正确的是 ( ) A. 三个班级中，甲班分数的方差最小 B. 三个班级中，乙班分数的极差最大 C. 丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D. 若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高 【答案】ABD 【详解】由图，三个班中甲班得分的极差最小，乙班得分的极差最大，故甲班得分的分布更集中，对应 方差最小，A、B都对， 由于丙班得分的中位数Q 位于80分上方，则该班低于80分的学生人数少于高于80分的学生人数， 2 C错， 由题意及分位数的定义，三个班级的第11名(分数从高到低的第11名)的得分大概对应Q 位置的分 3 数，结合箱形图知丙班的分数最高，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，M是C上一点，△MOF的面积为2，则|MF|= . 【答案】5 【详解】由题意，F1,0  ，p=2， 1 S = OF △MOF 2  ⋅y M  =2，，所以y M  =4， y2 则x = M =4， M 4 p 由抛物线的定义知，|MF|=x + =5. M 2 故答案为：5. 第18页·5/·共18页13. 若对任意的x∈0,π  π ，有 cosωx+ 3    1 ≤ (ω>0)恒成立，则ω的取值范围为 ． 2 1 【答案】0, 3  π 【详解】因为 cosωx+ 3    1 1 π ≤ ，所以- ≤cosωx+ 2 2 3  1 ≤ ， 2 π π 2π 4π π 5π 即 +2kπ≤ωx+ ≤ +2kπ,k∈Z或 +2kπ≤ωx+ ≤ +2kπ,k∈Z， 3 3 3 3 3 3 又因为x∈0,π  π π π ，所以 ≤ωx+ ≤ωπ+ ， 3 3 3 π π 2π 1 所以 <ωπ+ ≤ ，即0<ω≤ ， 3 3 3 3 1 所以ω的取值范围为0, 3  ． 14. 空间中有四个半径为2的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则 该小球的半径为 ． 【答案】 6-2 【详解】由题意可知:连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体, 设正四面体为PABC，设四面体PABC的外接球球心为O，半径为R， 设PO的延长线与底面ABC的交点为D， 则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R， 2 BC 棱长为4，所以AD= AB2- 3 2  2 2 4 3 = 16-4= ， 3 3 4 3 所以PD= AP2-AD2= 42- 3  2 4 6 = ， 3 4 6 在Rt△AOD中，OD=PD-OP= -R，OA=R, 3 4 3 所以OA2=AD2+OD2，即R2= 3  2 4 6 + -R 3  2 , 解得R= 6． 所以与4个球都外切的小球的球心也在O处，所以小球的半径r=R-2= 6-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 我校社团活动期间某同学进行射击游戏，第一次射击命中率是0.8，该同学连续射击三次，当前一次 命中时，下一次也命中的概率是0.7；当前一次未命中时，下一次命中的概率是0.9． (1)求该同学第二次命中的概率； 第18页·6/·共18页(2)设随机变量X为三次射击中命中的次数，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)0.74 (2)分布列答案见解析，EX  =2.292 【解析】 【小问1详解】 记事件Ai=1,2,3 i  ，则PA 1  =0.8，PA 2 A 1   =0.7，PA A 2 1  =0.9， 由全概率公式可得PA 2  =PA 1  ⋅PA 2 A 1   +PA 1   ⋅PA A 2 1  =0.8×0.7+0.2×0.9=0.74. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3， 则PX=0  =0.2×0.1×0.1=0.002，PX=3  =0.8×0.7×0.7=0.392， PX=1  =0.8×0.3×0.1+0.2×0.9×0.3+0.2×0.1×0.9=0.096， PX=2  =0.8×0.7×0.3+0.8×0.3×0.9+0.2×0.9×0.7=0.51， 所以，随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P 0.002 0.096 0.51 0.392 所以，EX  =0×0.002+1×0.096+2×0.51+3×0.392=2.292. π 16. 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABD=∠CBD= ，AB⎳CD，AC= 3． 6 π (1)若∠BAC= ，求sin∠BDA； 2 (2)求平面四边形ABCD面积的取值范围． 7 【答案】(1) ； 14 3 3+6 (2)0, 4  . 【解析】 【小问1详解】 π π π AC 由∠ABD=∠CBD= ，得∠ABC= ，而∠BAC= ,AC= 3，则AB= =1， 6 3 2 tan∠ABC AC π BC= =2，由AB⎳CD，得∠BDC=∠CBD，∠ACD=∠BAC= ， sin∠ABC 2 AB AD 则CD=BC=2，AD= AC2+CD2= 7，在△ABD中，由正弦定理得 = ， sin∠ADB sin∠ABD 1 1× ABsin∠ABD 2 7 所以sin∠ADB= = = . AD 7 14 第18页·7/·共18页【小问2详解】 π 2π 2π 由(1)知∠ABC= ,∠BCD= ，设∠ACB=θ0<θ< 3 3 3  ， AB BC AC 在△ABC中，由正弦定理得 = = =2， sin∠ACB sin∠BAC sin∠ABC π 则AB=2sinθ,BC=2sinθ+ 3  ，又CD=BC， 1 π 1 2π 因此四边形ABCD的面积S=S +S =S +S = AB⋅BCsin + BC2sin △ABC △ACD △ABC △BCD 2 3 2 3 π = 3sinθsinθ+ 3  π + 3sin2θ+ 3  1 3 = 3 sinθ+ cosθ 2 2  3 3  sinθ+ cosθ 2 2  3 = 3 + 3sinθcosθ 4  3 3 3 4π 3 = + sin2θ，由0<2θ< ，得- 0，V ft  =0,+∞  ，所以∀x,t>0，fx+t  ≥fx  ， 第18·页1/0共·18页所以fx  在0,+∞  上单调递增，所以fx  e =ax- e-1  1 -lnx+ ≥0， e-1 若a≤0，则x→+∞,fx  →-∞，则不满足fx  ≥0； 所以a>0，设fx  e =ax- e-1  1 -lnx+ =hx e-1  ， 因为hx  ax-1 = ， x 1 当x∈0, a  ,hx  <0,hx  1 单调递减；当x∈ ,+∞ a  ,hx  >0,hx  单调递增； 1 所以h a  1 =f a  e ≥0，即lna- a-1 e-1  ≥0， 设gx  e =lnx- x-1 e-1  ，则gx  1 e = - ， x e-1 e-1 当x∈0, e  ,gx  >0,gx  e-1 单调递增；当x∈ ,+∞ e  ,gx  <0,gx  单调递减； 1 又g e  =g1  =0,ga  1 ≥0，所以 ≤a≤1； e 1 所以a∈  ,1  e  . x2 y2 19. 已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，右焦点F关于直线l:2x-y=0的对称点在圆 2 2 x2+y2=1上，点P ,n 3  n>0  在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知T为l:x=4上的动点，过T作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N， ①证明：直线MN过定点，并求定点坐标； ②是否存在点T，使得∠MPF=∠NPF成立？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． x2 y2 【答案】(1) + =1 4 3 (2)①证明见解析，定点坐标为1,0  27 6 ；②存在，且点T4,- 17  【解析】 【小问1详解】 设点Fc,0  关于直线l的对称点为A， 因为原点O在直线l上，由对称性知OF  =OA  ， 因为原点O为圆x2+y2=1的圆心，且点A在圆x2+y2=1上，所以OF  =OA  =1，即c=1， c 1 又因为椭圆C的离心率为e= = ，可得a=2，故b= a2-c2= 22-12= 3， a 2 x2 y2 所以椭圆C的标准方程为 + =1. 4 3 【小问2详解】 ①设点Mx 1 ,y 1  、Nx 2 ,y 2  x x y y ，先证明椭圆C在点M处的切线方程为 1 + 1 =1. 4 3 证明如下： xx yy  1 + 1 =1 4 3 联立 x2 y2 可得3x2 1 +4y2 1 + =1 4 3  x2-24x 1 x+163-4y2 1  =0(*)， 第18·页1/1共·18页x2 y2 因为点M在椭圆C上，则 1 + 1 =1，所以3x2+4y2=12， 4 3 1 1 所以方程(*)可化为12x2-24x x+12x2=0，即x2-2x x+x2=0， 1 1 1 1 Δ=4x2-4x2=0， 1 1 x x y y x x y y 所以椭圆C在点M处的切线方程为 1 + 1 =1，即直线TM的方程为 1 + 1 =1， 4 3 4 3 x x y y 同理可知直线TN的方程为 2 + 2 =1， 4 3 设点T4,t  ty ，则   x 1 + 3 1 =1 ， ty x + 2 =1 2 3 ty ty 所以点M、N的坐标均满足方程x+ =1，故直线MN的方程为x+ =1， 3 3 在直线MN的方程中，令y=0可得x=1，故直线MN过定点F1,0  ； 2  3 ②将点P的坐标代入椭圆方程得  2 n2 + =1， 4 3 2 6 2 2 6 又因为n>0，可得n= ，故点P , 3 3 3  ， 设直线PM、PN的倾斜角分别为α、β，设直线PF的倾斜角为γ， 因为∠MPF=∠NPF，则α-γ=γ-β或β-γ=γ-α，所以α+β=2γ， 2 6 -0 3 且有tanγ=k = =-2 6， PF 2 -1 3 易知直线PM、PN的斜率都存在，设直线PM、PN的斜率分别为k 、k ， 1 2 所以tanα+β  2tanγ 4 6 =tan2γ= =- 1-tan2γ 1--2 6  4 6 = ， 2 23 即tanα+β  tanα+tanβ k +k 4 6 = = 1 1 = ， 1-tanαtanβ 1-k k 23 1 2 2 不妨设直线MN的方程为px- 3  2 6 +qy- 3  =1， 2 椭圆C的方程为3x2+4y2=12，即3 x- 3  2   +  3  2 2 6 +4 y- 3   2 6  +  3  2 =12， 2 即3x- 3  2 2 6 +4y- 3  2 2 +4x- 3  16 6 2 6 + y- 3 3  =0， 2 即3x- 3  2 2 6 +4y- 3  2 2 + 4x- 3  16 6 2 6 + y- 3 3      2 px- 3  2 6 +qy- 3      =0， 16 6 整理可得4+ q 3  2 6 y- 3  2 16 6 +4q+ p 3  2 x- 3  2 6 y- 3  +4p+3  2 x- 3  2 =0(*)， 2 等式两边同时除以x- 3  2 6 y- 2 3 ，并令k= ， 2 x- 3 16 6 则方程(*)可化为4+ q 3  16 6 k2+ p+4q 3  k+4p+3  =0， 16 6 所以k 、k 是关于k的方程4+ q 1 2 3  16 6 k2+ p+4q 3  k+4p+3  =0的两根， 16 6 p+4q 4 6p+3q 4p+3 12p+9 3 所以k +k =- =- ，k k = = 1 2 1 2 4+ 16 6 q 4 6q+3 4+ 16 6 q 44 6q+3 3 3  ， 第18·页1/2共·18页4 6p+3q - k +k 4 6q+3 所以 1 2 = 1-k k 12p+9 1 2 1- 44 6q+3  -44 6p+3q =  4 6 = ， 16 6q-12p+3 23 化简得80 6p+165q+3 6=0①， 又因为直线MN过焦点F1,0  1 2 6 ，所以 p- q=1，即p-2 6q=3②， 3 3 51 p=  125 联立①②可得 ， 27 6 q=- 125 51 2 所以直线MN的方程为 x- 125 3  27 6 2 6 - y- 125 3  =1， p 51 125 所以直线MN的斜率为k =- =- ⋅- MN q 125 27 6  17 6 3 27 6 = =- ，解得t=- ， 54 t 17 27 6 故存在点T4,- 17  ，使得∠MPF=∠NPF. 第18·页1/3共·18页