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专题 09 全等三角形模型之半角模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模
型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.半角模型................................................................................................................................................2
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模型1.半角模型
半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋
转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。
旋转的条件：具有公共端点的等线段；
旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。1）正方形半角模型
条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型
条件： ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，
∴∠ECG=90°，3）等边三角形半角模型（120°-60°型）
条件： ABC是等边三角形， BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④ AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故
∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴ AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）
条件： ABC是等边三角形，∠EAD=30°；
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
5）任意角度的半角模型（ - 型）
条件：∠BAC= ，AB=AC，∠DAE= ；
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°- 。
证明：将△ABD绕点A逆时针 °至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°- ，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-
。
∵∠BAC= ，∠DAE= ，∴∠BAD+∠EAC= ，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE= ，∴∠DAE=∠FAE= ，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
例1．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形 中， 绕点A顺时针
旋转，它的两边分别交 、 （或它们的延长线）于点M、N，当 绕点A旋转到 时
（如图1），求证
(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长 至点P，使 ，连接 ，如图1，
(2)当 旋转到 时（如图2），线段 、 和 之间的数量关系 ，若正方形的周长为
4，则 的周长是 ：(3)当 绕点A旋转到如图3的位置时，，线段 、 和 之间又
有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．例2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 拼成，
将一个 角的顶点放在点D处，将 角绕D点旋转，该 角两边分别交直线 于点M、N，交
直线 于点F，E．
(1)当点M，N分别在边 上时（如图1），直接写出 之间的数量关系 ；
(2)当点M，N分别在边 的延长线上时（如图2），猜想线段 之间有何数量关系？请
进行证明；(3)在（2）的条件下，若 ，请你求出 的长．
例3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边 中，在 边上取两点 、 ，使
．若 ， ， ，则以 、 、 为边长的三角形的形状为（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 的值而定
例4.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB
上，且 .（1）求证： ；（2）连结AC，若 ，求
的度数.
例5．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）（1）如图1，在四边形 中， ， ，
、 分别是边 、 上的点，且 ，请直接写出图中线段 、 、 之间的数量
关系______．
（2）如图2，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形 中， ， ， 、 分别是边 、 延长线上的
点，且 ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段 、 、
之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由．1．（2024·重庆·一模）如图，正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一点， ，连
接 为 中点，连接 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024.广西八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D
为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是 ．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】在四边形 中， ， ，
， 分别是 、 上的点，且 ，试探究图 中线段 、 、 之间的
数量关系．
【初步探索】小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，则可得到 、 、 之间的数量关系是______．
【探索延伸】在四边形 中如图 ， ， ， 分别是 、 上的点，
，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】如图 ，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中
心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 海里
小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里 小时的速度，前进 小时后，指挥中心观测到
甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，此时两舰艇之间的距离是______
海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以 海里 小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时．4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知 中， ，点 、
是边 上两动点，且满足 ，
求证： ．
我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
小明的解题思路：将半角 两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的 ，然后证明与半角形成
的 全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系．
请你根据小明的思路写出完整的解答过程．
证明：将 绕点 旋转至 ，使 与 重合，连接 ，……
（2）【应用提升】如图，正方形 （四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点 从点 出发，以
每秒1个单位长度的速度沿射线 点 运动；点 点 同时出发，以相同的速度沿射线 方向向右运
动，当点 到达点 时，点 也停止运动，连接 ，过点 作 的垂线交过点 平行于 的直线 于点
， 与 相交于点 ，连接 ，设点 运动时间为 ，
①求 的度数； ②试探索在运动过程中 的周长是否随时间 的变化而变化？若变化，说明理由；
若不变，试求这个定值．5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图， 中两边 、 上有两点M、N，D为 外一点，
且 ， ， ， ．
(1)猜想线段 、 、 之间的数量关系并证明；(2)若 ， ，求 的周长．
6．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在 中， ， ，边 沿着过点 的
某条直线对折得到 ，连接 ，以 为边在左侧作 ，其中 ， ， 与 交
于点 ，连接 ．
(1)如图1，连接 ，当点 在 外部时，试说明 ；
(2)如图2，连接 ，当点 在 的斜边 上时，试判断 的形状并说明理由；
(3)如图3，当点 在 的内部时，若点 为 的中点，且 ，求 的长．7．（2023·广东八年级课时练习）四边形 是由等边 和顶角为 的等腰 排成，将一个
角顶点放在 处，将 角绕 点旋转，该 交两边分别交直线 、 于 、 ，交直线 于
、 两点．（1）当 、 都在线段 上时（如图1），请证明： ；
（2）当点 在边 的延长线上时（如图2），请你写出线段 ， 和 之间的数量关系，并证明你
的结论；（3）在（1）的条件下，若 ， ，请直接写出 的长为 ．
8．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题
（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，
且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明
AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________； △
△（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，
且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F
在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．9．（2024·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形 中， ，
， ， ，猜想并写出线段 ， ， 之间的数量关系，证明
你的猜想；
（2）【迁移推广】如图2，在四边形 中， ， ， ．请
写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（ 处）北偏东20°的 处．舰艇乙在指
挥中心南偏西50°的 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80
海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测
到甲、乙两舰艇分别到达 ， 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰
艇之间的距离．
10．（2024·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，
将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；
（3）如图2，将Rt ABC沿斜边AC翻折得到Rt ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=
△ △
∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．11．（2024·湖北武汉·九年级期中）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，
EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系： ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD， ，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝
BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论．
（3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个
关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论．
①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．
12．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量
关系为 ．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若
∠MBN＝ ∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，
若∠MBN＝ ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 ．
13．（2023春·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形 中， 、 分别是 、 上的点，
且 ，连接 ，探究 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点，且
，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
14．（2024·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC
于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN．
探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，
MN，BN三条线段之间的数量关系．
慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下：
如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作
∠MDN，交边AC，BC于点M，N， ，连接MN．
（1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明．
（2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出
AM，MN，BN三条线段之间的数量关系．
请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答．
15．（2024·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到 的位置，然后证明 ，从而可得 ．
，从而使问题得证．
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝
90°， ，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，
AB＝AD，∠B＋∠D＝180°， ，求证：EF＝BE＋DF．
16．（2023春·成都·七年级专题练习）在四边形 中， ， ， ， 、
分别是 ， 上的点，且 ，在探究图1中线段 ， ， 之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）(2)小亮同学认为：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，即可得出 ， ， 之间的数量关系是 ．(3)如图3，在四边形 中，
， ， 、 分别是 ， 上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？
并证明；(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中
心南偏东 的 处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时
的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙
两舰艇分别到达 ， 处，且两舰艇之间的夹角 为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
17．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，
它的两边分别交 、 或它们的延长线 于点 、 ．
(1)当 绕点 旋转到 时 如图 ，证明： ；(2)绕点 旋转到 时 如图
，求证： ；(3)当 绕点 旋转到如图 位置时，线段 、 和 之间有怎样
的数量关系？请写出你的猜想并证明．18．（2023春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形 中， ，
，E、F分别是边 、 上的点，若 ，可求得 、 、 之间的数量关
系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）
（2）如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 、 延长线上的点，
若 ，判断 、 、 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请
说明理由．
