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专题 09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）...................................................................................................................1
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模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）
“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动
点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，
即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一
类问题通常用到旋转、全等和相似。
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动
时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
Q M
Q
P
A P O
A O
模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从
动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。Q Q
M
P
α α P
A O A α O
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。
（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
（2） 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
例1.（2024·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径
为 的 上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）A．8 B． C．9 D．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图， 为 的直径，C为 上一点，其中 ，
，D为 上的动点，连接 ，取 中点M，连接 ，则线段 的最大值为 ．
例3.（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是 上任意一点，点 在 外，已知 ，
是等边三角形，则 的面积的最大值为
例4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，点A的坐标是 ，点B
是 上一点， 的半径为2，将 绕O点顺时针方向旋转 得 ，连接 ，则线段 的最小值
为（ ）A． B． C．5 D．6
例5．（2024·江苏无锡·一模）如图，矩形 中， ，以 为圆心，3为半径作 ， 为
上一动点，连接 ，以 为直角边作 ，使 ， ，则点 与点 的
最小距离为（ ）
A． B． C． D．
例6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，线段 为 的直径，点 在 的延长线上，
， ，点 是 上一动点，连接 ，以 为斜边在 的上方作 ，且使
，连接 ，则 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ，平面上
有一点P， ，连接 ， ，取 的中点G．连接 ，在 绕点A的旋转过程中，则 的最大
值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
例8．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，N是线段 上一点．
对于平面内一点P给出如下定义：将点P向右（ ）或向左（ ）平移 个单位长度，再向上（
）或向下（ ）平移 个单位长度，得到点 ，点 关于点N的对称点为Q，我们称点 是点P
的“平移点”，点Q为点P的“移对点”．在平面直角坐标系 中，已知 的半径为2．
(1)若点 ，点N是 的中点，点 ，则点P的“平移点” 的坐标是_____，点P的“移对
点”Q的坐标是______；(2)如图，点 ，点N是OM的中点，点 ．在图中用直尺与圆规作出
点P的“移对点”点Q，并求点Q的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)若点 是 上一点，N是线段OM上一点，且 ，P是 外一点，点Q为点P的“移对
点”，连接PQ．当点M在 上运动时，直接写出 长的最大值与最小值的差．1．（2024·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A是 上任意一点，点C在 外，已知是等边三角形，则 的面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．6
2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形 中， ，E是 的中点．以点C为圆
心， 长为半径画圆，点P是 上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，连
接 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中， 为原点， ， 的半径为1， 是 上一
动点，以 为边作等边 ，且点 在第一象限，设 的坐标为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图， ，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在 上，
连接 作等腰直角三角形，使 ， ，则 的面积的最大值为（ ）A． B． C．4 D．8
5．（2024·广东广州·二模）如图，已知 的半径长为 ， 为 直径，点 是 一动点， ，
连结 ，以 为斜边，在 上方构造直角三角形 且满足 ， ．
（1）若 是 的切线，求 ．（2）求 的最大值为 ．
6．（23-24九年级上·北京西城·期中）如图，AB是 的直径， 交 于点C，P为圆上一动点，
M为 的中点，连接 ，若 的半径为6，则 长的最大值是 ．
7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形 中， ， ，点 在边 上且 ，
点 是矩形内一动点，满足 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 并延长至 ，使
，连接 ，则 的最小值为 ．8．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，点A、B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一
点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
9．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在等边 和等边 中， ， ，以
为邻边作平行四边形 ，连接 ．若将 绕点C旋转一周，则线段 的最小值是
．
10.（2024·盐城市校考一模）如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B
点为圆心，2长为半径的圆交x轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作
1
Rt PAQ，使得tanAPQ ，连接DQ，则DQ的最小值为
2
△11．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是以点
为圆心， 为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ， 则线段 的最大值是 ．
12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，点M坐标为 ，点A坐标为 ，以点M为圆心， 为
半径作 ，与x轴的另一个交点为B，点C是 上的一个动点，连接 ， ，点D是 的中点，
连接 ，则线段 的最大值为 ．
13．（2023·贵州铜仁·三模）如图，在矩形 中， ， ，Q是矩形 左侧一点，连接
、 ，且 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以D为圆心，2为半径的
，E为 上一动点，连接AE，以AE为直角边向下作 ，使∠EAF=90°， ，则
点C与点F的最小距离为 ．
15．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形 中， ， ，以点 为直角顶点作等腰直角
三角形 （ 为顺时针排列），连接 ，则 的长为 ， 的最大值为
．
16．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形 为矩形 内一点，
且 ，若点 绕点 逆时针旋转 到点 ，则 的最小值为 ．17．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接
，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值
为 ．
18．（2024·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形 中， ，点 是以 为直径的圆
上的点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，则线段 的最大值与最
小值的和 ．
19．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 对于点 给出如下定义：将点
向右 或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，
点 关于点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．(1)如图，点 点 在线段 的延长线
上，若点 点 为点 的“对应点”．①在图中画出点 ；②连接 交线段 于点 求证：
(2) 的半径为1， 是 上一点，点 在线段 上，且 ，若 为 外一点，点
为点 的“对应点”，连接 当点 在 上运动时直接写出 长的最大值与最小值的差（用含 的式
子表示）20．（2024·江苏泰州·一模）已知：在矩形 中， ， ，点G是边 的中点，连接 ．
以点A为圆心、2为半径作 ，点E是 上的一个动点，连接 、 ．将线段 绕点E逆时针旋转
得到线段 ，连接 、 、 ．
知识回顾（1）如图1，当点E在直线 的左侧时，试证明 ，并求出 的长；
初步探索（2）直接写出 的最小值是 ，最大值是 ；
操作并思考（3）如图2，当点E落在边 上时，试猜想 和 有怎样的位置关系，并说明理由；
（4）若点E到G、F之间的距离相等，请根据图1、图3两种情况，求 的长．
