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专题06 圆中的重要模型之内切圆与外接圆模型
圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与
外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接
圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................2
模型1.内切圆模型...........................................................................................................................................2
模型2.多边形的外接圆模型...........................................................................................................................9
..................................................................................................................................................19
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！模型1.内切圆模型
内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆。它亦是该
多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。
三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线
段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
图1 图2 图3
1）三角形的内切圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= 。
证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，
∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线，
∴∠BAO=∠CAO= ，∠BCO=∠ACO= ，∠ABO=∠CBO= ，
∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（ - ）=180°-
=180°- =90°+ ，
∴r=
即
2）直角三角形的内切圆模型
条件：如图2，⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。
结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；② ；③r= ；
证明：①②证明同模型1）的证明，
∵⊙O为Rt 的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，
∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形，
∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r= ；
3）四边形的内切圆模型
条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论： 。
证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴ 。
例1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点 是 的内心，若 ，则
．
例2．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长
相等，则∠BOC＝（ ）A．100° B．110° C．115° D．120°
例3．（24-25九年级上·绵阳市·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古
典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，
其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，
中， 的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出 的内切圆直径 ，下列
表达式错误的是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·湖北武汉·九年级期中）《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了
已知三角形三边a，b，c求面积的公式 ．若三角形的三边a，b，c分别为
7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张 纸片中， ， ， ，
是它的内切圆．小明用剪刀沿着 的切线DE剪下一块三角形 ，则 的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
例6．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（ ，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O 的半径r＝ ﹣1；若⊙O 与⊙O、
1 1 2 1
l、y轴分别相切，⊙O 与⊙O、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O 的半径r ＝ ．
3 2 2014 2014
例7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， ，点 在 边上，过
的内心 作 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
模型2.多边形的外接圆模型
外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，
若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。
三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。图1 图2 图3
1）三角形的外接圆模型
条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。
结论：①OA=OB=OC；② 。
证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，
∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC
2）等边三角形的外接圆模型
条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。
结论：① ，PM平分 ；②PA=PB+PC；③ ；
证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形
∴∠BPC+∠B△AC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC
∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分 ；在PA上截取PD=PC，连结CD．
∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在 ACD和 BCP中， ，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，
△ △
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。
BMP≌△AMC，∴ ，同理： 。
∴△
∴ ，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴ 。
3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。
结论：① ； ；② 。
证明：连结OA、OC，设∠AOC= ，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC= ，
同理：∠ABC= ，∴ ；同理： ；
∵ ，∴ 。
例1．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆
半径R＝ ，内切圆半径r＝ ．
例2．（2024·山东济宁·二模）如图，四边形 接于 ，点I是 的内心， ，点E
在 的延长线上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022春·江苏·九年级期末） 中， ， ，点I是 的内心，点O是
的外心，则 ．
例4．（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图， 的直径 的长为8，P是 上一动点，
的角平分线交 于点Q，点I为 的内心，连接 ，下列结论：①点Q是定点；② 的最大值为
8；③ 的长为定值；④ 的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序
号都填上）．例5．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图， 是 的外心， 是 的内心，连接 并延长交 和
于 ， ．(1)求证： ；(2)若 ， ， ，求 的长．
例6．（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图， 是等边 的外接圆．
【问题原型】如图①，连结 ，延长 交弦 于点M，交 于点P，连结 、 ．求证：
；【问题解决】小明给出了自己的证明方法如下．
∵三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线的交点且 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，则 为等边三角形，
同理可得： 也为等边三角形，∴ ．
【方法应用】如图2，若P为 上任意一点，连结 ， ， ，（1）中的结论是否成立？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．
【拓展提升】如图③，若 的半径为2，且P为 上一点，且 ，则四边形 的面积的是 ．
例7．（2024·浙江·九年级专题练习）已知 为三角形 的内心，连接 交三角形 的外接圆于点 ，
如图所示，连接 和 ．(1)求证： ．(2) ， ， ，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
1．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点 为 的内心，点 在 边上，且
⊥ ，若 ， ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·四川泸州·模拟预测）如图， 中， ，点O为 的外心， ， ，
是 的内切圆．则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023秋·绵阳市九年级期中）如图，在 中， ， 的内切圆 与
分别相切于点D、E、F，若 的半径为2， ，则 的长（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， 为中线，若 ， ，
设 与 的内切圆半径分别为 ， ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．5．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，不等边 内接于 ，I是其内心， ， ，
， 内切圆半径为（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023·江苏·九年级专题练习）图， 是△ABC的外接圆，点I是△ABC内心，连接AI并延长交⊙O
于点D，若AB＝9，BC＝14，CA＝13，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东广州·一模）如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，若
的半径为 ， ，则 的值和 的大小分别为（ ）
A．0， B． ， C． ， D． ，
8．（2023·山东聊城·九年级校联考期中）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是（ ）A．1： B．2：1 C．1： D．1∶2
10．（2023·江苏九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点
D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（ ）
A．64° B．120° C．122° D．128°
11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的 内心，连接 并延长交 的外接圆于点D，
若 ，点E为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的长为（ ）
A．5 B． C．4 D．
12．（2023春·江苏九年级课时练习）用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：如图，①在 上任取一点
A，连接 并延长交 于点B；②以点B为圆心， 为半径作圆弧分别交 于C，D两点；③连接
， 并延长分别交 于点E，F；④顺次连接 ， ， ， ， ， ，得到六边形
．连接 ， ，交于点G，则下列结论错误的是（ ）
A． 的内心与外心都是点G B．C．点G是线段 的三等分点 D．
13．（2023·广东广州·校考二模）如图， 是 的弦，点 是 上一点，与点 关于 对称，直线
交 于点 ， 交 于点 ，直线 交 于点 ，且连接 给出下面四个结论：①
；② 平分 ；③ 平分 ；④点 为 的内心．其中，所有正确结论的序号是
．
14．（2023·贵州遵义·统考二模）已知 内接于 ，它的内心为点D，连接 交弦 于点E，交
于点F，已知 ， ， ，则线段 的长为 ．
15．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点B的坐标为（4，0），以O点为圆心，以OB为半
径的圆交y轴于点A，点C为第一象限内圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最
小值为 ．
16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点M，
N分别是 的内心和外心，则 ．17．（2023·北京·九年级校考阶段练习）在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，若点O为△ABC的外心，则
∠AOC的度数是 ；若点P为△ABC的内心，则∠APC的度数是 ．
18．（2023·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则
∠AOB的度数为 ．
19．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在 中，R和r分别为外接圆
和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则 ．若 的外接圆的半径为 ，内
切圆的半径为 ，则 的外心与内心之间的距离为 ．
20．（2023浙江年级上期中）在 ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R =
cm，内切圆半径r = cm. △21．（2023·江苏·九年级假期作业）如图 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延长
线上一点，且 ， ．(1)求证： 是 的切线；(2)求 的直径；(3)当点B在 下方运
动时，直接写出 内心的运动路线长是 ．
22．（2023春·福建泉州·九年级校考期中）如图，已知在 中．
（1）请用圆规和直尺作出 的内切圆⊙ ：（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若⊙ 与 、 、 分别相切于点D、E、F，且 ， 的周长为12，求 的长．
23．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于 ．
(1)连接AC、BD，若 ，则 的形状为______；
(2)在（1）的条件下，试探究线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若 ， ，点P为AB上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PD，求证： ．
24．（2023江苏盐城九年级期中）（1）如图 所示，等边三角形 内接于圆 ，点 是劣弧 上任意
一点（不与 重合），连接 、 、 ，求证： ．
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将 绕点 顺时针旋转 到 ，使点 与点 重合，可得
、 、 三点在同一直线上，进而可以证明 为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明
的思路，请你完成证明．若圆的半径为 ，则 的最大值为______．
（3）类比迁移：如图 所示，等腰 内接于圆 ， ，点 是弧 上任一点（不与 、
重合），连接 、 、 ，若圆的半径为 ，试求 周长的最大值．
（4）拓展延伸：如图 所示，等腰 ，点A、 在圆 上， ，圆 的半径为 连接 ，
试求 的最小值．
25．（2023山东九年级上期中）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．
∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断 ABC的形状： ；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
△（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
26．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）张老师给爱好学习的的小军和小俊提出这样一个问题：如图
（1），在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，
E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD＋PE＝CF．
小军的证明思路是：如图（2），连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD
＋PE＝CF．
老师表扬了小军，并且告诉小军和小俊：在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形
面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系
转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，这种方法称为“面积法”.
请你使用“面积法”解决下列问题：
（1）Rt ABC两条直角边长为3和4，则它的内切圆半径为 ；
（2）如△图（3），△ABC中AB=15，BC=14，AC=13，AD是BC边上的高.求AD长及△ABC的内切圆的半
径；
（3）如图（4），在四边形ABCD中，⊙O 与⊙O 分别为△ABD与△BCD的内切圆，⊙O 与△ABD切点
1 2 1
分别为E、F、G，设它们的半径分别为r 和r，若∠ADB=90°，AE=8，BC+CD=20，S =36，r=2，求r
1 2 DBC 2 1
△
的值．
