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专题12 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学
生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解
决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称
变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解
让大家对这类问题有比较清晰的认识。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）.......................................................................2
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）.......................................................................4
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）...........................................................................6
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）...........................................................................7
....................................................................................................................................................9模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
m
B
B m
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
A
A
B
m
P
m
P
B A'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最
小值即为：线段A’B的长度。
例1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古
从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．如图，将军在图
中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题
转化成数学问题，即：在直线上找一点P使得 最小．解决方法是：作点A关于直线的对称点 ，连接 ，则 ，所以 ，连接 ，
则线段 的长度即为 的最小值，这样做依据的基本事实是 ．
例2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边 中，E是 边的中点， 是 边上的中线，
是 上的动点，若 ，则 的最小值为 ．
例3.（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在 中， ，直线m是
中AB边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．15
例4．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在锐角三角形 中， ， ． 的
平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
例5．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图， 中， ，点F、E分别是
上的动点，则 的最小值 ．模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
A
A
B m
m B
A
A
B'
B m
P' P
m
B
P P'
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|
P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的
长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
例1．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在 网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格
点上．(1)画出 关于直线l对称的图形 ；(2)点P在直线l上，直接写出 的最大值．例2．（2024·江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，
交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
例3．（23-24八年级上·福建厦门·阶段练习）如图， ， ， ， ，
是 内的一条射线，且 ，P为 上一动点，则 的最大值是 ．（结果
表示根据需要可以含a，b，c）
例4．（2024·湖北·八年级期中）如图， ， 为 上一动点， ，过 作
交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时，则
________ ．模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
n
A'
n
A
Q
A
m
P
m A"
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
例1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图， ， 为 内部一条射线，点P为射线
上一点， ，点M、N分别为 、 边上动点，则 周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
例2．（2024·江苏·无锡八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
例3．（2024·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、
CD上分别取一点M、N，使 AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
△
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）
A
m
A m
m A
n
B
B
B n n
图1-1 图1-1 图1-1A
m
A
A'
m
P' P m
A
P P
B
n
Q' Q B
n Q
Q n
B B' B'
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（ 1-2）， 作点 B 关于定直线 n 的对称点 B’,连结 AB’,根据对称 得到： QB=QB’，故
PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
例1．（2024·广东·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，
0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值
是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， ， ， 分别为 ， 上的点，
， ， 分别为 ， 上的动点，则 的最小值为 ．例3．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向
左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
△
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
1．（2023·河南·九年级专题练习）如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交
于点M， ， 的周长是 ，若点 在直线 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上浙江八年级月考）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若 PMN周长的最小值是6 cm，则∠AOB的度数是（ ）
△
A．15 B．30 C．45 D．60
3．（23-24广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是
AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（2024·湖北恩施·一模）如图，在等边三角形 中， ，在 ， 上分别取点M，N，且
， ，在 上有一动点 ，则 的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， ，点M是 上一点， ，
， ，若点 和点M关于 对称，点 和点M关于 对称． 则点 ， 之间的距离
最小值是（ ）A．6 B．2.4 C．4.8 D．4
6．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边三角形 中， 为 的中点， 为
的中点，过点 作 交 于 ，交 于 ， 是线段 上一个动点，连接 ， ，则
的周长的最小值是 ．
7．（23-24八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在 中， ， 分别平
分 和 ， P是 上一点， ，已知 ．当 取最小值时，
．（用含m，n的式子表示）
8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形 的边长为4，过点 的直线 ，且
与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值为 ．
9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四边形 中， ， 平分 ，
， ，P，Q分别是 ， 上的动点，当 取得最小值时， 的长是
．10．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，已知 ，点M在边 上，且 ，点N和
点P分别是 和 上的一个动点，则 的最小值为 ．
11．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在等边 中， 为 中点，点 ， 分别为 ，
上的点， ， ，在 上有一动点 ，则 的最小值为 ．
12．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）如图，等边 和等腰 ， ，点 ， 分别为边
， 的中点，若 的面积为16， ，点 是 上的动点，则 的周长的最小值为
.
13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
点 是 上的一个动点（点 与点 不重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 在
的下方时，连接 、 ，则 面积的最大值为 ．14．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图在 中 ， 平分 ， ， 的面积为
78，M、N分别是 、 上的点，则 的最小值是 ．
15．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 为 内一点， ，
分别为 ， 上的动点，连接 ， ， ，且 ，则 的周长的最小值为 ．
16．（2024·湖北·八年级期末）已知，如图， ，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q
分别是边OB，OA上的动点，记 ， ，当 最小时，则 ______．
17．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图， 为坐标原点， 中的两个顶点为 ，
，点 在边 上，点 在边 上，且 ，点 为边 上的动点，则 的最小值为 ．
18．（2024·江苏·仪征市八年级阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，
ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图中画出与 ABC关于直线 成轴对称的 ；
△ △
（2）在直线 上找出一点P，使得 的值最大；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在正方形网格中存在____________个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．
