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专题 06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................1
模型1.倍长中线模型.......................................................................................................................................1
模型2.截长补短模型.....................................................................................................................................13
..................................................................................................................................................36模型1.倍长中线模型
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关
知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。
练习时要记住下面三点：①见中点，先倍长；②证明8字全等；③找关系。
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD为△ABC的中线。 结论：
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
3）倍长类中线模型拓展（中点+平行线型）
条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。
证明：延长FE，交DC的延长线于点G。
∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）
若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直
接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行
线型”可以看做是“中点型”的改良版。
例1．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知 中， 是 边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至E，使 ，∵ 是 边上的中线，∴ ，
在△BDE和△CDA中， ，∴△BDE≌△ CDA（依据1），∴ ，
在 中， （依据2），∴ ．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 ， ， 转
化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角
形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3， ， ，则 的取值范围是 ；
A． ； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图4， 中， ，D为 中点，求
证： ．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边(2)C(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边”求解即可．（3）判断 ， 即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“ ”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）解：如图，延长 至点 ，使 ,连接 ．
是 的中线， ,
在 与 中， , ， ,
在 中， ，即 ， ．故选：C．
（3）证明：如图4，延长 至F，使 连接 ， 是 的中点，∴ ,
又 ∴ ， ， ，∵ ，∴ , ,即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
例2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1， 中，点 ， 在边 上，
，过 作 交 于点 ．判断 是否平分 ？请说明理由．
下面起两位同学的做法：
如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长 ，使 ，连接 ；
如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长 ，使 ，连接 ；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）如图4，在 中， 是 的中线， ．请判断 与
的数量关系，并说明理由．
【学以致用】（3）如图5，在 中，分别以 为直角边向内作等腰直角三角形，
是 边上的中线，已知 ，求 的长．
【答案】（1） 平分 ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3） ．
【分析】（1）小美同学的解题思路，延长 至G，使 连接 ，根据全等三角形的性质得到
求得 得到 根据平行线的性质得到 根据角平分
线的定义得到 平分 ；小丽同学的解题思路，延长 至G，使 ，连接 ，根据全等三角形的性质 ，得到 ，求得 ，根据平行线的性质得到
， 根据角平分线的定义得到 平分 ；
（2）延长 到F，使 ，连接 ，根据全等三角形的性质得 ，求得
，推出 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）延长 至G，使 ，连接 ，如图5所示：根据全等三角形的性质得到
，根据平行线的性质得到 ，求得 ，根据全等三角
形的性质即可得到结论．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质
以及角平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的
关键．
【详解】解：（1）①小美同学的解题思路，延长 至G，使 连接 ，如图：
在 和 中，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ；
②小丽同学的解题思路，延长 至G，使 ，连接 ，
在 和 中， ∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ；
（2） ，理由如下：延长 到F，使 ，连接 ，如图：∵ 是 的中线，∴ ，∵ ，∴ ，∴
，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（3）延长 至G，使 ，连接 ，如图：
∵ 是 边上的中线，∴ ，
在 和 中， ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，在 和 中，
．
变式1．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）在研究三角形中点或中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，
此法称为：倍长中线．
(1)【原题呈现】八年级上册课本P27：如图①，在 中， 是 边上的中线，点E在 的延长线
上，且 ．请证明： ．
(2)【思路探究】如图②，已知线段b，c，m．求作： ，使 ， ， 边上的中线 ．请完善以下作图思路，并填写相应的作图依据．
①已知共顶点两边 ，要想作出 ，还需要知道 或 ．若知道 ，则可以根据
______作出符合条件的 ；若知道 ，则可以根据______作出符合条件的 ；但目前只知道中线
，所以不能直接作出 ．
②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为b，c，2m的 ．此作图过程需先做出一条线段等于线段
m的两倍，然后依据______作出 ．
③在 上截取m得 的中点D，连接 并延长至点C，使得______，可得 ．
(3)【迁移运用】请根据上述（1）（2）问的证明和思考过程，直接作出满足下列条件的三角形（保留作图
痕迹，不写作法）若用其他思路，作法正确也可以．作等腰 ，满足腰 ，底边BC上的高
．
【答案】(1)证明见解析(2)① ， ；② ；③ (3)见解析
【分析】（1）由 是 边上的中线，可知 ，进而可证 ；
（2）根据全等三角形的判定定理进行作答即可；
（3）作 延长线到 使 ，根据垂直平分线的性质，分别以 为圆心， 长为半径画弧，
弧的交点即为 ，连接 ，则 即为所求．
【详解】（1）证明：∵ 是 边上的中线，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ；
（2）解：①已知共顶点两边 ，要想作出 ，还需要知道 或 ．若知道 ，则可
以根据 作出符合条件的 ；若知道 ，则可以根据 作出符合条件的 ；但目前只知道中
线 ，所以不能直接作出 ．故答案为： ， ；
②根据第（1）题，获得思路．可以作出边为 的 ．此作图过程需先做出一条线段等于线段
的两倍，然后依据 作出 ．故答案为： ；③在 上截取 得 的中点 ，连接 并延长至点 ，使得 ，可得 ．
故答案为： ；
（3）解：如图， ，即为所求；
【点睛】本题考查了中线，垂直平分线的性质，作垂线，全等三角形的判定定理等知识．熟练掌握全等三
角形的判定定理是解题的关键．
变式2．（23-24八年级上·福建福州·期中）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在 中， ， ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长 到Q，使得 ；②再连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系可得 ，则AD的取值范围是 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请你写出图1中 与 的位置关系并证明．
（3）思考：已知，如图2， 是 的中线， ， ， ．试探究线
段 与 的数量和位置关系并加以证明．【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3） ， ，证明见解析
【分析】（1）先证 ，推出 ，再利用三角形三边关系求解；
（2）根据 可得 ，即可证明 ；
（3）同（1）可证 ，得出 ， ，进而可得 ，推
出 ，可得 ， ，即可求解．
【详解】解：（1） 是 的中线， ，
又 ， ， ， ，
在 中， ， ，即 ，
，故答案为： ；
（2） ，证明如下：由（1）知 ， ， ；
（3） ， ，证明如下：
如图，延长 至点Q使得 ，连接 ，延长 交 于点P，同（1）可得 ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ，综上可得 ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系的应用等，解题的关
键是通过倍长中线构造全等三角形．
变式3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在 中， 边上的中线 的取值范
围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）：(1)①延长 到Q，使得 ；②连接 ，把 集中在 中；
③利用三角形的三边关系可得______ ______，则 的取值范围是_____ _____．
感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的
已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中 与 的位置关系并证明；
(3)思考：已知，如图2， 是 的中线， ，试探究线段
与 的数量和位置关系，并加以证明．
【答案】(1) (2) (3) 证明见解析．
【分析】（1）先判断出 ，进而得出 ，得出 ，最后用三角形三边
关系即可得出结论； （2）由（1）知， ，根据全等三角形的性质和平行线的判定即
可得出结论； （3）如图2，过 作 于 延长 交 于 证明 可得
再证明 即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，延长 到Q，使得 ，连接 ，∵ 是 的中线， ∴ ，
在 和 中， ∴ ， ∴ ，
在 中， ∴ ，即 ， ∴ ，
（2） ， 理由是：由（1）知， ，
∴ ， ∴
（3） 理由：如图2，过 作 于 延长 交 于
∵ 是 的中线，则 ∵
∴ ∴ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵ ∴
∴ 相交所成的角为直角，即 综上：
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解
本题的关键．模型2.截长补短模型
截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过
辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两
角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。
证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）
∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，
∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。
法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。
∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）
∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，
∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。
例1．（2024·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在 中， 平分 ， ，
探究 ， ， 之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在 上截取 ，使得 ，连接 ，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长 到点 ，使得 ，连接 ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出 ， ， 之间的数量关系；
【迁移应用】（2）如图4，在 中，D是 上一点，， ， 于 ，探究 ， ，
之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图5， 为等边三角形，点 为 延长线上一动点，连接 ．以 为边在
上方作等边 ，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ．若 ，求
证： ．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质；
（1）方法一：证明 得到 ， ，根据三角形的外角性质和等腰
三角形的判定证得 ，则 ，进而可得结论；
方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得 ，再证明 得到 ，
进而可得结论；（2）在 上取 ，连接 ，根据等边对等角得出 ，根据三角形的外
角的中得出 ，进而得出 ，即可得证；（3）先证明 ，过 作
，交 于点 ，证明 ，根据等角对等边得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：方法一：∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中， ， ， ，∴ ∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
方法二：延长 到点E，使得 ，连接 ，
∴ ，则 ，
∵ ，∴ ，∵ 平分 ，∴ ，
在 和 中， ， ， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ；
（2）在 上取 ，连接 ，∵ 于 ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ；
（3）如图所示，∵ ， 为等边三角形，∴ ， ，
∴ ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
过 作 ，交 于点 ，∴ ，
∵ 是 的中点，∴ ，又 ，∴ ，
∴ ， ， ，而 ，
，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ， 即 ．
例2．（23-24八年级上·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形 中，对角线
平分 ， ．求证： ．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在 上截取 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长 到点 ，使得 ，连接 ，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接 ，当 时，探究线段 ， ， 之间
的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ，过点 作 ，垂足为
点 ，请写出线段 、 、 之间的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2） ，见解析；（3） ，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在 上截取 ，连接 ，证明 ，得出 ，
，进而得出 ，则 ，等量代换即可得证；方法 ：延长 到 ，使
，连接 ，证明 ，得出 ， ，进而得出
，则 ，等量代换即可得证（2） ， ， 之间的数量关系为 ．
方法1：在 上截取 ，连接 ，由 知 ，得出 ， 为等边
三角形，证明 ，得出 ，进而即可得证；方法 ：延长 到 ，使 ，
连接 ，由 知 ，则 ， 是等边三角形，证明 ，得出 ，
进而即可得证；
（3）线段 、 、 之间的数量关系为 ，连接 ，过点 作 于点 ，证明
， 和 ，得出 ，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在 上截取 ，连接 ，平分 ， ，
在 和 中， ，
， ， ，
， ，
， ， ；
方法2：延长 到 ，使 ，连接 ，
平分 ， ，
在 和 中， ，
， ， ，
， ，
， ， ；
（2） ， ， 之间的数量关系为 ．
方法1：理由如下：如图 ，在 上截取 ，连接 ，
由（1）知 ， ，
， ， ，
为等边三角形， ， ，
， 为等边三角形， ， ，
， ， ，
．方法 ：理由：延长 到 ，使 ，连接 ，
由（1）知 ， ， 是等边三角形， ， ，
， ， ，
， 为等边三角形， ， ，
， ，即 ，
在 和 中， ，
， ，
， ；
（3）线段 、 、 之间的数量关系为 ．
连接 ，过点 作 于点 ，
， ， ，
在 和 中， ， ， ， ，
在 和 中， ， ， ，
， ．
变式1．（2023·广西·八年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；
（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、
DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+ BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得 ACB≌△ACF，根据全等三角
形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得 CEF△≌△CED，得到EF=ED，再由
线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接C△F，在AE上取点G，使EG=ED，连
接CG，根据全等三角形的判定证得 ACB≌△ACF和 ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得
△ △
CF=CG，进而证得 CFG是等边三角形，就有FG=CG= BD，从而可证得结论．
△
【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中， ，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中， ，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+ BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD= BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中， ，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC= BD．
∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+ BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，
能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
变式2．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形 中， ，
， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且 ．探究图中线段 ，
， 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长 到点 ，使 ，连接 ．先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是______．
【探索延伸】
如图②，若在四边形 中， ， ，点 ， 分别是 ， 上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【实际应用】
如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的A处，快艇乙在指挥中心南偏东
的 处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前
进，快艇乙沿北偏东 的方向以40海里/小时的速度前进， 小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别
到达 ， 处，且两艇之间的夹角为 ，试求此时两艇之间的距离．
【答案】问题背景： ；探索延伸：成立；理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为
105海里
【分析】问题背景：延长 到点 ．使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形的
性质得到 ，证明 ，得 ，证明结论；
探索延伸：延长 到点 ．使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到
，证明 ，得 ，证明结论；
实际应用：连接 ，延长 、 相交于点 ，根据题意得到 ，
，根据上述的结论计算即可；
【详解】问题背景：解：如图，延长 到点 ．使 ．连接 ，则 ，
在 和 中， ∴ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，
， ，
在 和 中， ， ， ，
， ；故答案为： ；
探索延伸：成立，即 ；理由如下：延长 到点 ．使 ．连接 ，如图所示：
∵ ， ，∴ ，
在 和 中， ， ， ，
， ， ，
在 和 中， ，
， ；
实际应用：连接 ，延长 、 相交于点 ，如图所示：
， ，
， ，
符合探索延伸中的条件， 成立，即 (海里)，
此时两舰艇之间的距离为105海里．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了方位角，全等三角形的判定和性质，补角的性质，掌握全等三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于
F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____．
【答案】100°/100度
【分析】延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得得到BM＝AC＝BF，
∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°，
∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，
∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°，
∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图， 中，点D在 上， ，点E
是 的中点，连接 ，则 ______________．
【答案】 /
【分析】如图，延长 至F，使得 ，交 于点G，通过“边角边”证明 ，则
，根据题意与三角形的外角性质可得 ，进而可得
，设 ，根据题意得到关于x的方程，然后求解方程即可．
【详解】解：如图，延长 至F，使得 ，交 于点G，
∵点E是 的中点，∴ ，在 与 中， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ，∵ ，
∴ ，解得 ，即 ．故答案为：
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，解此题的关键
在于熟练掌握其知识点，根据中点作出适当的辅助线．
3．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知： 平分 ，D为 中点， ，求证： ．
证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
为 中点， （______）
在 和 中 ， （______） ______，
， （______） ，
平分 （______）
（______） ，∴ ．
【答案】线段中点的定义， ， ，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，延长 至点 ，使 ，
连接 ，根据线段中点的定义得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的
性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
为 中点， （线段中点的定义），在 和 中， ， ， ，
， （两直线平行，同位角相等）， ，
平分 （角平分线的定义），
（等量代换）， ，∴ ．
故答案为：线段中点的定义， ， ，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换．
4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是 ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接
CE．①证明 ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设△AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，△在 ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接
EF，求证：BE＋△CF＞EF．
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是 ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由 ABD≌△ECD△推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系
△ 将已求代入解不等式即可；（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
用SAS证明△CDF≌△BDG， EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在 BEG的三边关
系BE+BG＞EG得证． △ △
【详解】（1）①∵AD是 ABC的中线，∴CD＝BD，
△
在 ABD与△ECD中， ，∴ ABD≌△ECD（SAS）
△ △
②1＜x＜4， 理由如下：
∵ ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，
△∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．
由△ACE三边关系得： ，
又∵AC＝3，∴ ，
解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中， ，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，∴ ． 在 EDF与△EDG中， ，∴ EDF≌△EDG．
△ △
∴EF＝EG． 在 BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查△了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．
5．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B(2)C(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，
根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
（1）∵在△ADC和△EDB中 ，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中 ∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质
和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
6．（2024·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．
可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系
即可判断中线 的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ，
交 于点 ，连接 ，求证： ；
（3）问题拓展：如图③，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作
一个 的角，角的两边分别交 、 于 、 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见详解；（3） ，理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明 ， ，在 中根据三角形三
边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 ，根据垂直平
分线的性质可得出 ，利用三角形三边关系即可得出结论；（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得 ，证明 ，得出
，利用角的和差关系可推出 ，再证明 ，得出
，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴ ∴
在 中根据三角形三边关系可得出： ，即
∴ 故答案为： ；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，
同（1）可得出 ，∵ ∴
在 中， ∴ ；
（3） ，理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴
∴ （SAS）∴
∴ ∴ ．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，
考查范围广，综合性强．
7．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在 中，
是 边上的中线，若延长 至 ，使 ，连接 ，可根据 证明 ，则
．
(1)【类比探究】如图②，在 中， ， ，点 是 的中点，求中线 的取值范围；
(2)【拓展应用】如图③，在四边形 中， ，点 是 的中点．若 是 的平分线．
试探究 ， ， 之间的等量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)2＜DG＜5
(2)AD=DC+AB
【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，根据SAS可证△DEG≌△MFG，得出MF=3，然后
根据三角形三边不等关系定理求出DM取值范围，最后把DM=2DG代入即可求解；
（2）延长AE，DC相交于点F，根据ASA可证△ABE≌△FCE，则AB=FC，然后由AE平分∠BAD，AB
CD可证∠F=∠DAF，由等角对等边可得AD=DF，最后由线段的和差关系即可求解．
【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，又EG=FG，∠EGD=∠FGM，
∴△DEG≌△MFG，
∴DE=MF，
又DE=3，
∴MF=3，
又DF=7，
∵DF-MF＜DM＜DF+MF，
∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，
∴4＜2DG＜10，
∴2＜DG＜5；
（2）延长AE，DC相交于点F，
∵AB CD，
∴∠BAE=∠F，
又BE=CE，∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=FD，
又FD=CD+DF，CF=AB，
∴AD=CD+AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，
添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键．
8．（23-24七年级下·四川巴中·期末）当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题．
如图，已知 ，点D是 的中点，延长 至点E，使 ，连接 ，易得到 ，
从而得到 ， ．
已知 ，点D是 的中点．
(1)如图1，点E在 上，延长 交 于点F，且 ，求证： ；小明同学应用倍长中线的
方法，延长 至点M，使 ，连接 ，请你帮助他写出证明过程．
(2)如图2，点E，G在射线 上，连接 ，延长 交 于点F，若 ，G为 的中
点，求证： ；
(3)在（2）的条件下，若点M是线段 的中点， ， 垂直平分线段 ，在 上有一动
点P，连接 ，当 的周长最小时，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图所示，延长 至点M，使 ，连接 ，证明 得到
，再根据等边对等角和对顶角相等证明 ，得到 ，从而可证
明 ；
（2）延长 至点H，使 ，连接 ，证明 ，得到 ，再证明
， 进而证明 ，即可证明 ；（3）如图所示，连接 交 与 ，连接 ，由线段垂直平分线的性质得到 ，
由三线合一定理得到 垂直平分 ， ，则 ，故当P点运动
到点 时， 最小，即 的周长最小，最小为 ，此时 ，则
，求出 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图所示，延长 至点M，使 ，连接 ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：延长 至点H，使 ，连接 ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵G为 的中点，
∴ ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，连接 交 与 ，连接 ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∵ 且M为 的中点，
∴ 垂直平分 ， ，∴ ，
∵ 的周长 ，
∴当P点运动到点 时， 最小，即 的周长最小，最小为 ，
∴此时 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，
三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图
1， ，
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长 到E，使得 ；
②连接 ，通过三角形全等把 转化在 中；
③利用三角形的三边关系可得 的取值范围为 ，从而得到 的取值范围是
______；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2， 是 的中线， 是 的中线， ，下列四个选项中：直接写出
所有正确选项的序号是______．
① ；② ；③ ；④
【问题拓展】
（3）如图3， ， ， 与 互补，连接 E是 的中点，求证：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若 ，延长 交 于点 ， ， ，则 的
面积是______．
【答案】（1） ；（2）②③；（3）证明见解析；（4） ．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，
可得 ， ，即可求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可
得 ，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得 ， ， ，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长 至点 ，使 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，是中线，
，
又 ， ，
，
， ，
， ，
，
为中线，
，
，
，
又 ，
，
， ，
，
故答案为：②③；
（3）证明：如图3，延长 至 ，使 ，连接 ，
是 的中点，
，
又 ， ，
，， ，
，
，
与 互补，
，
，
又 ， ，
，
，
；
（4）如图3， ， ，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为：8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添
加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在 中， 为 的角平分线，
(1)如图1，当 时，在 上截取 ，连接 ，直接写出线段 的数量关系．(2)如图2，当 ，线段 又有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在（2）的条件下点 分别是 上的动点，若 ， ，求
的最小值．
【答案】(1) (2) ，证明见解析(3)4
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出 解答．
（1）首先得出 ，即可得出 ，求出 ，进而得出答案；
（2）首先得出 ，即可得出 ，求出 ，进而得出答案；
（3）作N关于 的对称点 ，根据轴对称的最短路径解答即可．
【详解】（1）证明：∵ 为 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ， 理由：在 上截取 ，连接 ，
∵ 为 的角平分线，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，、
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作N关于 的对称点 ，
由（2）可知， 在 上， ，
当 共线时， 最小，
当 时， 最小，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
故 的最小值为4．
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角 中， ，点D，E分别是边 上一
动点，连接BE交直线 于点F．(1)如图1，若 ，且 ，求 的度数；(2)如图2，若 ，且
，在平面内将线段 绕点C顺时针方向旋转60°得到线段 ，连接 ，点N是 的中点，
连接 ．在点D，E运动过程中，猜想线段 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1) (2) ，理由见解析
【分析】（1）如图1中，在射线 上取一点K，使得 ，证明 ，推出
，再证明 ，可得结论；
（2）结论： ．首先证明 ．如图2中，延长 到Q，使得 ，连接 ，
证明 ，推出 ，延长 到P，使得 ，则 是等边三角形，
再证明 ，推出 ， ，推出 是等边三角形，可得结论
【详解】（1）解：如图1中，在射线 上取一点K，使得 ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）结论： ．
理由：如图2中，∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
如图2中，延长 到Q，使得 ，连接 ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，∴ ．
延长 到 ，使得 ，∵ ，
∴ 是等边三角形，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正
确寻找全等三角形解决问题．
12．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理：
（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是 的“边垂角”，
，
，，
，
综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；13．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读理解：在数学兴趣小组活动中，小芳同学遇到了如下问题：
（1）如图1，已知平面内的3条射线 ，反向延长 ，得到图2，若 ，
判断 和 的数量关系．
经过小组同学们的观察，思考，交流，对上面的问题形成了如下想法：由于 和 互补，可以通
过探究 与 的关系，从而得到 和 的数量关系……根据以上分析过程，请写出
和 的数量关系：_________．
（2）将图1中的 反向延长，得到图3，若 ，请写出图中一对相等的角
____________；
（3）如图4，在 中， ，点D，点E分别在 边上，过点B作 的平行线交 的
延长线于点F．若 ，请说明 ；拓展应用：
（4）如图5，在 中， ，点D为 边上一点，连接 ， ．若
， ，求 的长．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
（4）
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、几何图形中角度计算问题，
（1）由已知得 ，再根据平角定义求出结论；
（2）由图可知： ，再求出 即可得出结论；
（3）先证 进而得出 ，即可证明结论；
（4）延长 到点E，使 ，连接 ，证明 ，进而证明 即可得到
，求出结论即可．
【详解】解：（1） ，理由如下：
由图可知： ，即 ，
，，
，
；
（2） ，理由如下：
由图可知： ，
，
，
，
；
（3） ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）延长 到点E，使 ，连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
点到 的距离相等，
，
，
点到 的距离相等，
，
，
，
．
14．（23-24七年级上·山东烟台·期末）阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段
上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线
段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：
如图，在等边 中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边 ，连
接CF．(1)如图，若点D在边BC上，试说明 ；（提示：在线段CD上截取 ，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)FC＝CD+CE
【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明
△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DG AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD
为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝
CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECG＝60°，∴△CEG是等边三角形，
∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
在△DEG和△FEC中，
，
∴△DEG≌△FEC（SAS），
∴DG＝CF，
∴CD＝CG+DG＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，
作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
15．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】
在数学活动课上，李老师给出如下的问题：
如图1，已知 ， ，过点B作射线l，点E在 的内部，点A和点E关于l对称，
交l于点D，连接 ．证明： ．
【探究合作】
同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程：
小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到 ；
小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在 上截取
，再证明 ；
小亮：要证明 ，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接 ，
以 为目标构造与之全等的三角形；
小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长 到点G，使
，连接 ，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明．
【推理证明】
（1）请你推理出小红的结论；
（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明 ．【反思提升】
李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两
条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在．
请同学们反思后解决下面的问题：
（3）如图， ， ，点D是 的角平分线上一动点， 的垂直平分线交射线 于
E，求 的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3） 的最小值是3
【分析】（1）对称的性质得到 ， ， ， ， ，推
出 ，设 ，等边对等角，三角形外角的性质，推出 即可；
（2）采用小明的方法：连接 ，易得 是等边三角形，证明 是等边三角形，推出
，即可得出结论．
（3）过点C作 交BA于点H，交 的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，
推出 ，进而得到 ，根据含30度角的直角三角形，得到 ，进而
得到 ，进而得到当 三点共线时， 取得最小值为 的长，进一步求
出结果即可．
【详解】（1）∵A、E两点关于l对称
∴ ， ， ， ， ，∵ ，
∴ ，
设 ，则
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
（2）连接 ．
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）过点C作 交BA于点H，交 的平分线于点D，此时 取得最小值；∵点E在 的垂直平分线上
∴ ．
∴
∵BD平分
∴
∴
∴
∴
在 中，
∴
∴
当C、D、H三点共线时 最短，此时
在 中，
∴
∴ 的最小值是3．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，含30度角的直角三角形的性质．综合性强，难度较大，属于压轴题，掌握相关知识点，构造特
殊图形和全等三角形，是解题的关键．
16．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复
习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
【答案】见解析
【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，
利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明
△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证．
【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，
在△APN和△APC中
∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△APN≌△APC，
∴PC=PN，
∵△BPN中有PB－PN＜BN，
即PB－PC＜AB－AC；
补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，
在△ABP和△AMP中，
∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
∴△ABP≌△AMP，∴PB=PM，
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，
即AB－AC＞PB－PC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键．
17．（23-24八年级上·北京·期末）如图，在等边△ABC中，点P是BC边上一点，∠BAP＝ （30°＜ ＜
60°），作点B关于直线AP的对称点D，连接DC并延长交直线AP于点E，连接BE．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AEB的度数；
（2）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明．
分析：①涉及的知识要素：图形轴对称的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质……
②通过截长补短，利用60°角构造等边三角形，进而构造出全等三角形，从而达到转移边的目的．
请根据上述分析过程，完成解答过程．
【答案】（1）图见解析，∠AEB＝60°；（2）AE＝BE＋CE，证明见解析
【分析】（1）依题意补全图形，如图所示：然后连接AD，先求出 ，然后根据轴对称的性
质得到 ，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，求出 ，即可求出
，再由 进行求解即可；
（2）如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．先证明△BGE是等边三角形，得到BG＝BE＝EG，∠GBE
＝60°． 再证明∠ABG＝∠CBE，即可证明△ABG≌△CBE得到AG＝CE，则AE＝EG＋AG＝BE＋CE．
【详解】解：（1）依题意补全图形，如图所示：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵ ，
∴ ，
∵B、D关于AP对称，∴ ，AD=AB=AC，∠AEC=∠AEB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴∠AEB＝60°．
（2）AE＝BE＋CE．
证明：如图，在AE上截取EG＝BE，连接BG．
∵∠AEB＝60°，
∴△BGE是等边三角形，
∴BG＝BE＝EG，∠GBE＝60°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABG＋∠GBC＝∠GBC＋∠CBE＝60°，
∴∠ABG＝∠CBE．
在△ABG和△CBE中，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE＝EG＋AG＝BE＋CE．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等腰三角形的性
质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键
18．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）【问题初探】
在解决“如图1，在 中， 于D，若 ，求证： ”时，有两名同学给出
了不同的解答思路：
①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在 上截取 ，连接 ，从而解决问题．
②如图3，小亮从结论出发，作 的垂直平分线交 于点E，连接 ，从而解决问题．
（1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）如图，线段 于E，点F，G分别为 上两点，且 ， ．求证：
．
【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助线是解题的关键．
（1）在 上截取 ，可得 是 的垂直平分线即可求证；
（2）在线段 上截取 ，连接 ，证明 即可求证
【详解】证明：（1）在 上截取 ，连接 ，
∵ ， ，∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）在线段 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）数学课上，小白遇到这样一个问题：
如图1，在等腰 中， ， ， ，求证 ；在此问题的基础
上，老师补充：过点 作 于点 ，交 于点 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，试探究线段 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现， 与 有某种数量
关系：小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可
以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：
(1)求证 ；
(2)猜想 与 的数量关系，并证明；
(3)探究线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
(3) ，见解析
【分析】（1）根据“边角边”判定 和 全等即可求证；
（2） 是等腰直角三角形，设 ，根据 ，用含 的式子表示 ，根据
，用含 的式子表示 ，由此即可求解；
（3）过点 作 交 延长线于点 ，延长 交 于点 ，可证 ，可得
，根据（2）的结论，可证 ，可得 ，再根据
可得 是等腰三角形，可找出 的关系，由此求解．
【详解】（1）解：∵在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ 是等腰直角三角形， ， ，
∴ ，
由（1）可知， ，设 ，
∵ ，∴ ，且 ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：过点 作 交 延长线于点 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由（2）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，则 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算的综合，掌握
以上知识的运用是解题的关键．
20．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和
点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关
系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量
关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否
依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【答案】（1） ；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线 ，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明 即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明 即可；
（3）方法一：过点O作直线 ，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明 ，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明 ；
【详解】（1） O是线段AB的中点
在 和 中（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线 ，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵ ∴
∴四边形CEFD为矩形∴ ，
由（1）知， ∴ ，∴ ．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵点O为AB的中点∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（3）数量关系依然成立．证明（方法一）：
过点O作直线 ，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵ ∴
∴四边形CEFD为矩形．∴ ，
由（1）知， ∴ ，∴ ．10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴点O为AB的中点，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，根据题意找到全等的三角形，证
明线段相等，是解题的关键．
