文档内容
第 04 讲 指数与指数函数
目录
模拟基础练...................................................................................................................................2
题型一：指数幂的运算......................................................................................................................................2
题型二：指数函数的图象及应用.......................................................................................................................3
题型三：指数函数过定点问题...........................................................................................................................5
题型四：比较指数式的大小...............................................................................................................................6
题型五：解指数方程或不等式...........................................................................................................................7
题型六：指数函数的最值与值域问题................................................................................................................8
题型七：指数函数中的恒成立问题...................................................................................................................9
题型八：指数函数的综合问题.........................................................................................................................11
重难创新练.................................................................................................................................15
真题实战练.................................................................................................................................24题型一：指数幂的运算
1．已知 ，计算： .
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
2． .
【答案】
【解析】 .
故答案为： .
3．化简求值:
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）
；
（2）
=题型二：指数函数的图象及应用
4．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以 ，解得 ，它在定义域 内单调递增，且过定点 ，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
5．要使 的图象不经过第一象限，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，且为减函数，
要使 图象不经过第一象限，则 ，解得 .
故选：B.
6．当 时，函数 （ ，且 ）的图象恒在函数 的图象下方，则a的取值范围
为 .
【答案】
【解析】由题意，得当 时不等式 恒成立，即 ，令 ， ，
分类讨论 和 两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于a的不等式，解不等式得解由题意，得当 时不等式 恒成立，即 ，
令 ， ，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，
当 时，如图所示，
由图可知， ， 恒成立，故不满足题意；
当 时，如图所示，
由图可知，要 ， 恒成立， 需 ，即 ，解得 ，故
综上可知： a的取值范围是 .
7．设 、 分别是方程 与 的根，则 .
【答案】
【解析】如图，分别作出函数 ， ， 的图象，
且函数 与 、 分别相交于点 ， .
由题意 ， ．而 与 互为反函数，
直线 与直线 互相垂直，所以点 与 关于直线 对称.
所以 .所以 .
故答案为： .题型三：指数函数过定点问题
8．已知函数 的图象经过定点P，则点P的坐标是 .
【答案】
【解析】在函数 中，当 ，即 时， ，
所以点P的坐标是 .
故答案为：
9．对 且 的所有正实数，函数 的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是
．
【答案】
【解析】由函数 ，当 时，可得 ，
所以该函数恒经过定点 .
故答案为： .
10．已知函数 （ ， ）恒过定点 ，则函数 的图像不经过第
象限.
【答案】二
【解析】由已知条件得当 时， ，则函数 恒过点 ，
即 ，此时 ，
由于 由 向下平移五个单位得到，且过点 ，
由此可知 不过第二象限，
故答案为：二.
11．已知常数 且 ，假设无论a取何值，函数 的图像恒过定点 ，且点 的横坐
标为 ．又已知常数 且 ，假设无论b取何值，函数 的图像恒过定点 ，则点 的坐标
为 ．
【答案】【解析】由对数函数过定点可知：函数 的图像恒过定点 ，
则有 ，又因为指数函数 的图像恒过定点 ，
所以点 的坐标为 ，
故答案为： .
题型四：比较指数式的大小
12．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵指数函数 在 上单调递增，
且 ，
∴ ，即 .
∵幂函数 在 上单调递增，且 ，
∴ ，即 ，
∴ .
故选：A.
13．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
则 ，即 ，而 ，于是 ，
所以 .
故选：D
14．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】 ，
因为 ，故 即 ，故 .
因为 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
题型五：解指数方程或不等式
15．方程 的解为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
16．方程 的解为 ．
【答案】
【解析】因为 且 ，由指数函数的图象和性质可知：当 时， 恒大于
等于1，所以要使方程 有解，
则有 解得： ， ，所以原方程的解为 ，
故答案为： .
17．不等式 的解集是 .
【答案】【解析】 ．
故答案为： ．
18．设 ，则关于x的不等式 的解集是 .
【答案】
【解析】因为 ，且 ，则根据指数函数的单调性可知， ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
题型六：指数函数的最值与值域问题
19．函数 的最大值是 ．
【答案】9
【解析】由题可知： ，所以
又指数函数 为R上的增函数，所以 的最大值为
故答案为：9
20．函数 的最小值是 .
【答案】
【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]．
原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，
当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4．
故答案为：-4．
21．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 ，则 的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可知 时， ，当且仅当 时取得等号，
时， ，当且仅当 时取得等号，
故 .
故答案为： .
22．设函数 是定义域为 的偶函数， 是定义域为 的奇函数，且 .
(1)求 与 的解析式；(2)若 在 上的最小值为 ，求 的值.
【解析】（1） 为偶函数， ，
又 为奇函数， ，
，①
，即 ，②
由 得： ， 可得 .
（2） ，
所以， ，
令 ，因为函数 、 在 上均为增函数，
故 在 上单调递增，则 ，
设 ， ，对称轴 ，
①当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
则 ，解得： 或 （舍）；
②当 时， 在 上单调递增，
，解得： ，不符合题意.
综上： .
题型七：指数函数中的恒成立问题
23．不等式 对任意 都成立，则实数 的取值范围 ．
【答案】 ．
【解析】原不等式可化为 对 恒成立，
令 ，则 ，所以 ，
当 时， ，所以 .
故答案为: .
24．若实数 ，使得 恒成立，则实数a的取值范围是 ．【答案】
【解析】要使 在实数 时恒成立等价于 在实数 时恒成立，则
，
令 ， 为减函数，
∴ 在 上为减函数，故当 时， ，
即实数a的取值范围是 ．
故答案为： .
25．已知指数函数 （ 且 ）在其定义域内单调递增．设函数
，当 时，函数 恒成立，则x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 是指数函数，所以 ，解得 或者 ，
又因为 在定义域内单调递增，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，要使得 即 恒成立，
则 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
26．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， .
(1)求函数 的解析式；
(2)若对于任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
当 时， ， ，
又因为 是定义在实数集R上的奇函数，
所以 ，即当 时， .
所以函数 的解析式为 ；
（2）因为对于任意实数 ，不等式 恒成立，
所以 在R上恒成立，
即 在R上恒成立，
整理得 在R上恒成立，
令 ，因为 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
从而 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
因为函数 在 单调递减，可得 的最大值为 ，
所以 ，所以 .
题型八：指数函数的综合问题
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有7
个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】作出函数 的图象，如图所示．由 ，得 ，
解得 或 ．
由图象易知，直线 与 的图象有3个交点，
所以方程 有3个不同的实数根，
因为方程 有7个不同的实数根，
所以直线 与 的图象有4个交点，
故 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．
故答案为：
28．已知函数 ， .
(1)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(2)若不等式 ，对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）∵ ， ，
∴ ，即 在 有解，
令 ，所以 ,
当 时 ；当 趋向于0或 时 趋向于 ，即 .
（2） ，即 ，
令 ，因为 ，所以 为增函数，所以 ，则 ，
所以 ，化为 对任意的 恒成立，
在 上单调递减，
当 时，取得最大值为 ，
所以 ，实数 的取值范围为 .
29．已知函数
(1)求不等式 的解集；
(2)求 的值域；
(3)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： ，即 .
因为 ，
则 .
因为函数 在 上单调递增，且 ，
所以 .
故不等式 的解集为
（2）由 ，得：函数定义域为 .
令
则 ， .
因为二次函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， ，当 时， .
故 的值域为 .
（3）由题意得：当 时，不等式 恒成立，
即当 时，不等式 恒成立，
即当 时，不等式 恒成立.令 ， .
因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
所以当 时， .
所以 ，解得：
故当 时，不等式 恒成立， 的取值范围为 .
30．（2024·河南·模拟预测）已知 为定义在 上的偶函数， ，且 ．
(1)求函数 ， 的解析式；
(2)求不等式 的解集．
【解析】（1）由题意易知， ，则 ，
即 ，
故 为奇函数，故 为奇函数，
又 ①，则 ，
故 ②，
由①②解得 ， ；
（2）由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
解得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ．
31．设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数．（1）若 ，试求不等式 的解集；
（2）若 ，且 ，求 在 上的最小值及取得最小值时的 的值．
【解析】（1）由 得 ，则 ，
若 ，则 ，所以 在 上是增函数，
不等式 可化为 ，
所以有 ，即 ，
所以 或 ，
所以不等式的解集为 .
（2）若 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 即 时， 取最小值-2．
1．（2024·广东茂名·模拟预测）自“ ”横空出世，全球科技企业掀起一场研发 大模型的热潮，
随着 算力等硬件底座逐步搭建完善， 大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业
软件领域已出现较为成熟的落地应用． 函数和 函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神
经网络的激活函数， 函数的解析式为 ，经过某次测试得知 ，则当把变量减
半时， （ ）
A． B．3 C．1 D． 或3
【答案】A
【解析】 ，， ， （舍）．
，
．
故选：A
2．（2024·山东·二模）已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】命题 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，
显然当 时满足 ，
所以当 时 恒成立，
则 在 上恒成立，
又函数 在 上单调递增，且 ，
所以 .
故选：A
3．已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 .
令 ，由于 均为单调递增函数，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，所以 ，所以 .
故选：B.
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，当 时， ，得 ，又 ，所以方程无解；
当 时， ，
得 ，即 ，解得 ，
所以 .
故选：D
5．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 是奇函数，则 时， 的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
所以 ，
又函数 是奇函数，所以 ，即 ， .
即 .
故选：C
6．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 是奇函数，若 ，则实数a的值为
（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为函数 是奇函数，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以当 时，函数为增函数，当 时，函数为减函数，
因为 ，
所以 ，故 .
故选：B7．（2024·福建南平·二模）对任意非零实数 ，当 充分小时， .如：
，用这个方法计算 的近似值为（ ）
A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
8．（2024·广东广州·二模）若 是方程 的实数解，则称 是函数 与
的“复合稳定点”．若函数 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
，即 有两个不同实根，
令 ，则 在 上有两个不同实根，
，
则 的取值范围为 ．
故选：D．
9．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 则 图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】作出 的图象，再作出函数 关于原点对称的图象如图所示.因为函数 关于原点对称的图象与 图象有三个交点，故 图象上关于
原点对称的点有3对.
故选：C
10．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【答案】ABD
【解析】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；
因为 ，所以 ，则 ，所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，所以函数 关于点 对称，故C错误，D
正确.
故选：ABD
11．（多选题）（2024·福建厦门·三模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对A：由 ，则 ，故A正确；对B：由 ，则 ，故B错误；
对C：由 在 上单调递增，故 ，故C错误；
对D：由 ，则 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故D正确.
故选：AD.
12．（多选题）（2024·云南曲靖·二模）已知集合 ，定义 ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ，则 与 的全部元素之和等于3874
B．若 表示实数集， 表示正实数集，则
C．若 表示实数集，则
D．若 表示正实数集，函数 ，则2049属于函数 的值域
【答案】BD
【解析】对于选项A：因为 ，
根据所给定义可得 ， ，
则 与 的全部元素之和等于3872，故选项A错误；
对于选项B： ，故选项B正确；
对于选项C： ，表示幂函数 的值域，
可知幂函数 的值域为 ，即 ，故选项C错误；
对于选项D：因为 ，
当 时，则 ，
可得 ，故选项D正确.
故选：BD.
13．（2024·四川·模拟预测）已知实数 满足下列等式 ，则
.
【答案】1
【解析】因为 ，即 ，得 ，而 化简得 ，
即 ，构造函数 ，
由于 在 都为增函数，
所以 在 为单调递增函数，
又知 ，所以 ，
解得 ， ，所以 .
故答案为： .
14．（2024·全国·模拟预测）已知 为均不等于1且不相等的正实数．若函数 是奇函
数，则 ．
【答案】
【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，
即 ，
即 ，则 ．
当 时， ，
所以 ，则 ，所以 ；
当 时， 恒成立．
故答案为： ．
15．（2024·北京房山·一模）若对任意 ，函数 满足 ，且当 时，都有
，则函数 的一个解析式是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意，可取 ，
函数 是减函数，满足 时，都有 ，
因为 ，所以函数 满足题意.
故答案为： .（答案不唯一）
16．（2024·上海黄浦·二模）设 ，函数 .
(1)求 的值，使得 为奇函数；
(2)若 ，求满足 的实数 的取值范围.
【解析】（1）由 为奇函数，可知 ，
即 ，解得 ，
当 时， 对一切非零实数 恒成立，
故 时， 为奇函数.
（2）由 ，可得 ，解得 ，
所以
解得： ，所以满足 的实数 的取值范围是 .
17．已知函数 ，且 .
(1)求a的值；
(2)当 时， 恒成立，求m的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，所以 ，
则 .
（2）由（1）可知， 等价于 .
令 ，则 ，
原不等式等价于 在 上恒成立，则 ，解得 ，
故m的取值范围为 .
18．已知关于x的不等式 的解集为 ．
(1)求集合 ；
(2)若 ，且 ， ， ，求 的最小值．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
即 ，
解之得 ，
∵ ，当且仅当 取得等号，
∴ ，
解得 ，
由 在R上单调递增可得 ，
故 ．
（2）∵ ，且 ， ，
则 ，
由 ，两边平方得， ，
所以，
不妨令 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
由二次函数的单调性可知 ，当 时取得等号，
综上，当 时 取到最小值 ．
19．已知函数 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若方程 在 上有实数解，求实数 的取值范围.
【解析】（1） ，
，
∵ ，∴ ，
∴
（2）∵函数 在 上单调递增，方程 在 上有解，
即 ，
∴ 在区间 上有解，即 有解，
由于 ，所以
所以 ，
∴ 的取值范围为1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.
3．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））函数 的图像可能
是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴函数 需向下平移 个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当 时，∴ ，所以排除B，
当 时，∴ ，所以排除C，故选D.
考点：函数图象的平移.
5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））已知 ， ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
因为幂函数 在R上单调递增，所以 ，
因为指数函数 在R上单调递增，所以 ，
即b
