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§2.7 指数与指数函数
考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特
殊点等性质，并能简单应用．
知识梳理
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂： ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂： ＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域
是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 00时， y >1 ； 当x<0时， y >1 ；当x<0时， 0< y <1 当x>0时， 0< y <1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即
在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝－4.( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．( × )
(4)若am0，且a≠1)，则m0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________.
答案 2或
解析 若a>1，则f (x) ＝f(1)＝a＝2；若00，b>0)．
解 (1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计
算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
跟踪训练1 计算：
(1) ；
(2) .
解 (1)因为有意义，所以a>0，
所以原式＝ ＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝ ＝10－1＋8＋23·32＝89.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( )
A．a1
B．00
D．b<0
答案 BD
解析 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴00，∴b<0，故D正确．
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式大小
例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则( )
A．b30.7＝a>30＝1，
所以b0，即<0，解得－10，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－的图象由
函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误；
当01，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y
＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误．
4．已知 ＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
答案 B
解析 因为 ＝5，所以 ＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23，
所以＝x＋＝x＋x－1＝23.
5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a2
B．∃a，b∈R，使得02＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对．
6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝
x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为( )
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
答案 C
解析 令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)，
所以m＝1，n＝2，
f(x)＝x＝2x，由
解得x∈[0,1]，
g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x，
则y＝t2＋t，t∈[1,2]，
所以g(x)的值域为[2,6]．
7．计算化简：
(1) ＝________；
(2) ＝________.
答案 (1)0.09 (2)
解析 (1) ＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)
＝＝
＝
8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________．
答案 (－1,1)
解析 因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5，
所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，
在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)，
所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，
所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．
9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴00
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－20，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数
a的值．
解 由f(x)＝a2x＋ax＋1，
令ax＝t，则t>0，
则y＝t2＋t＋1＝2＋，
其对称轴为t＝－.
该二次函数在上单调递增．
①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，
故当t＝a，即x＝1时，
y ＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．
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②若0f(y)，故C错误；∵|x|∈(0,1]，
∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．
12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________．
答案 1＋2ln 2
解析 依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e，
当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，
此时，(2x－y) ＝1＋2ln 2，
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所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与
f(cx)的大小关系为( )
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
答案 A
解析 根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
则有＝1，即b＝2，
又由f(0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x，
若x<0，则有cx0，则有1
