文档内容
第 17 讲 相似三角形
第一部分 知识点梳理
知识点1 相似的有关概念
1.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 a ∶ b ＝ c ∶ d ，那么这四条
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项.
3.比例的性质
①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc；
②如果 ad ＝ bc (a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
4.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄
金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比，＝≈0.618.
5.平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
知识点2 相似三角形的性质与判定（☆☆☆）
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比
叫做相似比。
2.性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3.判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）三边对应成比例的两个三角形相似。
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（4）两角对应相等的两个三角形相似。
知识点3 相似多边形
1.相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的
比叫做它们的相似比。
2.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多
第 1 页 共 25 页边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
知识点4 图形的位似
1.位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或
在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2.位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图
形对应点的坐标的比 等于 k 或– k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或
相似比。
3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即
是位似中心。
4.画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形
放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个
对应点。
知识点5 相似三角形的应用
1.利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比
相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2.利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直
线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3.借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构
建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
第 2 页 共 25 页第二部分：考点突破
考点1平行线分线段成比例
1．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片 （ ）按如图方式折叠两次再展开，下列
结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格
线的交点上，点D、E分别是边 、 与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线 ，直线 与 分别交于点 和点 ．
若 ， ，则 的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
4．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在 中， 分别交 于点D，E， 交
第 3 页 共 25 页于点F， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形 中， ，点 在 上， 交
于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．9
6．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .
则 的值为 ．
考点2成比例线段与黄金分割比
7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·全国·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
第 4 页 共 25 页C． ， ， ， D． ， ， ，
9．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形
的 边上取中点 ，以点 为圆心，线段 长为半径作圆，交 的延长线于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，得到矩形 ．根据黄金分割的意义：矩形 满足
，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种
0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
11．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点
P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活
中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长
20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（
）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
12．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形 中 ，以宽 为边在其内部作正方形
，得到四边形 是黄金矩形，依此作法，四边形 ，四边形 也是黄金矩形．依次以
点E，G，L为圆心作 ， ， ，曲线 叫做“黄金螺线”．若 ，则“黄金螺线”
第 5 页 共 25 页的长为 ．（结果用 表示）
13．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，点 把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项
（即点 是线段 的黄金分割点）．如果 ，那么 ．
14．（2025·江西九江·模拟预测）主持人现站在舞台 的一端 处，在主持节目时，站在舞台的黄金分
割点点 处方可获得最佳美学效果（ ），若舞台 长 米，则 米．（别忽视括号
内的条件哟！）
15．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优
选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为
上下两部分，其中E为边 的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为
米．
考点3相似图形
16．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面
上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化
石的长度分别为 和 ，笔的实际长度为 ，则该化石的实际长度为（ ）
第 6 页 共 25 页A． B． C． D．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、
乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
18．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角
三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则
两个图形对应边不成比例的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·贵州·中考真题）如图，已知 ，若 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考点4相似三角形的性质与判定
20．（2025·云南·中考真题）如图，在 中，已知 分别是 边上的点，且 ．若
，则 （）
第 7 页 共 25 页A． B． C． D．
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是 和 ，并且它们的周长之和
为 ，那么较小三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的延长线
交 的延长线于点G， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
23．（2024·重庆·中考真题）如图，在 中，延长 至点 ，使 ，过点 作 ，且
，连接 交 于点 ．若 ， ，则 ．
24．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形 中， ， 是 边上的三等分点，连接 ， 相交
于点 ，连接 ．若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，
，则 的面积为（ ）
第 8 页 共 25 页A．10 B．8 C．5 D．4
26．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形 沿 折叠，使得点 与对角线的交点 重合，
为折痕，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形 中，E为边 的中点，连接 ，将 沿
翻折，得到 ，连接 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积 的面积 D．四边形 的面积 的面积
28．（2025·江西·中考真题）如图， 是面积为1的等边三角形，分别取 的中点得到
；再分别取 ， ， 的中点得到 ；…依此类推，则 的面积为（ ）
第 9 页 共 25 页A． B． C． D．
29．（2025·青海·中考真题）如图，在 中， ，且 ， ，则 的值是 ．
30．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中， ，点D在 边上， ， ，
，则 的值为 ；点E在 的延长线上，连接 ，若 ，则
的长为 ．
31．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ， ，点
在边 上， ，连接 ，且 ．点 在 的延长线上，连接 若 ，则
线段 的长为 ．
第 10 页 共 25 页32．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 的长为 ， 是 的中
点， 是 上一点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
33．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知 中， ， ， ，点M是 内
部一点，连接 、 、 ，若 ，则 的最小值为 ．
34．（2025·上海·中考真题）在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
(1)当 是边 中点时，
①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ， ．求 的长．
35．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落
在 内，射线 交射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
第 11 页 共 25 页【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
36．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 ，面积为 ．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积
与 的长 之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
第 12 页 共 25 页37．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点 是线段 的中外比点， ， ，求 的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点 把线段 分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点 在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形 的边 ， 相
交于点 ， ，与对角线 相交于点 ．当 是等腰直角三角形时，探究点 ， ， 是否分别
为 ， ， 的中外比点，并证明．
38．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A， 在直线 上， ， ，垂足分别为A， ，点 在线段 上，且
，垂足为 ．
第 13 页 共 25 页结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明： ， ， ，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A， 在直线 上，点 在线段 上，且 ．结论
仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在 中， ， ，点 和点 分别是线段 ， 上的动点，始终满
足 ．设 长为 ，当 时， 有最大值是 ．
39．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是一个平行四边形纸片， 是一条对角线， ，
．
第 14 页 共 25 页(1)如图1，将平行四边形纸片 沿 折叠，点 的对应点落在点 处， 交 于点 ．
①试猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②求 的面积；
(2)如图2，点 ， 分别在平行四边形纸片 的 ， 边上，连接 ，且 ，将平行四
边形纸片 沿 折叠，使点 的对应点 落在 边上，求 的长．
40．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线 交x轴于点 ，点B，交y轴于点C．
点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线 上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接 ，点M是线段 上一动点，连接 ，作射线 ．
①在射线 上取一点F，使 ，连接 ．当 的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线 上一动点，且满足 ．作射线 ，在射线 上取一点G，使 ．连接
， ．求 的最小值；
(3)点P在抛物线 的对称轴上，若 ，则点P的坐标为___________．
41．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 为线段 上一动点，点 为
射线 上的一点（点 与点 不重合）．
第 15 页 共 25 页【问题解决】
（1）如图①，若点 与线段 的中点 重合，则 度，线段 与线段 的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 运动过程中，点 在线段 上，且 ，探究线段 与线段
的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 运动过程中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，射线 交射线 于点 ，若
，求 的长．
42．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在 与 中， 与 相交于点
， ，求证： ；
（2）如图2，将图1中的 绕点 逆时针旋转得到 ，当点 的对应点 在线段 的延长线
上时， 与 相交于点 ：若 ，求 的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，连接 ，求 的
面积．
第 16 页 共 25 页43．（2025·四川南充·中考真题）矩形 中， ，点E是线段 上异于点B的一个
动点，连接 ，把 沿直线 折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为 的中点时，延长 交 于点F，求证： ．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段 上， ．点E在移动过程中，求 的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段 上， ．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当
是以 为斜边的直角三角形时，求 的长．
44．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD
相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的周长．
第 17 页 共 25 页45．（2025·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，在 纸片中， ，点D在边 上， ．沿过点D的直线折叠该纸
片，使 的对应线段 与 平行，且折痕与边 交于点E，得到 ，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边 的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点 落在射线 上，且折痕与
边 交于点F，然后展平．连接 交边 于点G，连接 ．
①若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长
考点5相似三角形的实际应用
46．（2023·江西·中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直
角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 ，
， 在同一水平线上， 和 均为直角， 与 相交于点 ．测得
，则树高 m．
第 18 页 共 25 页47．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动
体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可
见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力
臂 ，阻力臂 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
48．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所
示， 表示塔的高度， 表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人眼到地面的高度， 、 、
在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知 米， 米， 米， 米，
人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为
米．
49．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝
旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
50．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在
灯光下的影长 米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
第 19 页 共 25 页（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
51．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得 地与树 相距10米，眼睛 处观测树 的顶端 的仰角为 ：
方案二：如图（2），测得 地与树 相距10米，在 处放一面镜子，后退2米到达点 ，眼睛 在镜
子 中恰好看到树 的顶端 ．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树 的高度．（结果保留整数， ）
52．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位
于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动
测量纪念碑的高度
主题
第 20 页 共 25 页实物
图和
测量
示意
图
如图，纪念碑 位于有台阶的平台 上，太阳光下，其顶端 的影子落在点
测量 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的影子落在点 处，位于点 处
说明 的观测者眼睛所在位置为点 ，点 在一条直线上，纪念碑底部点 在观
测者的水平视线上．
测量
数据
备注 点 在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子 的长和标杆 的长相等，可得 ，请说明理由．
(2)求纪念碑 的高度．
(3)小红通过间接测量得到 的长，进而求出纪念碑 的高度约为 ．查阅资料得知，纪念碑的实
际高度为 ．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出
一条即可）．
第 21 页 共 25 页考点6位似与位似图形
53．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在 的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将 以
点O为位似中心放大后得到 ，则 与 的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
54．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
已知点 的坐标分别为 ．若 的长为3，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
55．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图， 与 是位似图形，点 为位似中心．已知
，则 与 的相似比为（ ）
A． B． C． D．
56．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中， 与 位似，位似中心是
原点O，已知 ，则 的对应点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第 22 页 共 25 页57．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ，
，以原点 为位似中心，在第三象限画 与 位似，若 与 的相似比为
，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
58．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ， ， ，
，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
59．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点
．若点 的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
60．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图， 与 位似，位似中心是点O，若 ，则
与 的周长比是（ ）
第 23 页 共 25 页A． B． C． D．
61．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面
时，在点光源 的照射下形成的投影是 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
62．（2025·广东·中考真题）如图，把 放大后得到 ，则 与 的相似比是 ．
63．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把 以原点 为位似中心放大，得到
．若点 和它的对应点 的坐标分别为 ， ，则 与 的相似比为
．
64．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 的顶点 的
坐标为 ．以点 为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧；以点
为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧……按照以上规律作图，
点 的坐标为 ．
第 24 页 共 25 页65．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系 ， 的顶点和 均为格点（网格线的交点）．已知点A和 的坐标分别为 和 ．
(1)在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将 放大得到 ，使得点A的对应点为 ，请在所给的网格图中画出
．
第 25 页 共 25 页
