文档内容
第一单元 角『期末复习精编讲义』（培优版）
【解析版】
（思维导图+知识梳理+15个考点讲练+5个奥数拓展+真题演练 共65题）
同学你好，该份讲义用于苏教版新教材三年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全
面，非常适合培优拔尖使用。资料包含：
1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标；
2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点；
3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴
题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍
4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！
5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选 20题历年常考、易错、压轴类题型，
难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。
导图指引 梳理脉络...................................................................................................................................3
知识梳理 温故知新...................................................................................................................................4
知识点一 线段、直线、射线.........................................................................................................................................4
知识点二 角的认识............................................................................................................................................................4
知识点三 角的度量............................................................................................................................................................5
知识点四 画指定度数的角..............................................................................................................................................5
考点讲练 真题汇总...................................................................................................................................6
高频考点一 线段的初步认识.........................................................................................................................................6
高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离........................................................................................................7
高频考点三 线段、直线、射线的认识及特征........................................................................................................8
高频考点四 数图形（线段、直线、射线)...............................................................................................................8
高频考点五 用直尺画线段..............................................................................................................................................9
高频考点六 用尺规画线段...........................................................................................................................................10
高频考点七 角的初步认识及辨认.............................................................................................................................13高频考点八 角的大小比较...........................................................................................................................................14
高频考点九 数图形（数角）.......................................................................................................................................15
高频考点十 直角、钝角、锐角的认识及特征......................................................................................................16
高频考点十一 平角、周角的认识及特征...............................................................................................................17
高频考点十二 角的分类及换算..................................................................................................................................18
高频考点十三 用量角器画角.......................................................................................................................................19
高频考点十四 用三角尺画角.......................................................................................................................................21
高频考点十五 角度的计算...........................................................................................................................................22
奥数拓展 拔尖冲刺.................................................................................................................................23
奥数拓展一 线段的初步认识.......................................................................................................................................23
奥数拓展二 线段、直线、射线的认识及特征......................................................................................................24
奥数拓展三 数图形（线段、直线、射线).............................................................................................................27
奥数拓展四 数图形（角)..............................................................................................................................................28
奥数拓展五 角度的计算................................................................................................................................................31
优选真题 实战演练.................................................................................................................................32
【基础夯实 知识巩固】................................................................................................................................................32
【拓展提高 能力拔尖】................................................................................................................................................37知识点一 线段、直线、射线
1、线段
（1）定义：直线上两个端点之间的有限部分，有明确的长度。
（2）特征：有两个端点、可以测量长度、形状是直的。
（3）性质：两点之间，线段最短。
2、直线
（1）定义：把线段的两端无限延伸，得到的没有端点、无限长的线。
（2）特征：没有端点、不能测量长度、无限延伸、形状是直的。
3、射线
（1）定义：把线段的一端无限延伸，得到的只有一个端点、无限长的线。
（2）特征：有一个端点、不能测量长度、向一端无限延伸、形状是直的。
【易错点拨】
（1）区分端点数量：线段2个端点、直线0个端点、射线1个端点。
（2）长度测量误区：只有线段能测量长度，直线和射线无限长，不能用尺子测量。
（3）实际场景识别：生活中没有真正的直线和射线，需结合特征抽象（如手电筒发出的光抽
象为射线，笔直的公路抽象为线段，而非直线）。
（4）避免“直线比射线长”的错误认知：二者都是无限长，无法比较长度，只能通过端点和
延伸方向区分。
知识点二 角的认识
1、角的定义：由一点引出的两条射线所组成的图形，这个点叫做角的顶点，两条射线叫做角
的两条边。
2、角的特征：有1个顶点、2条边（边是射线，可无限延伸）、角的大小与边的长短无关，
与两条边张开的程度有关。
3、角的表示方法：
（1）用角的符号“∠”加三个大写字母表示（顶点字母在中间，如∠ABC）。
（2）用角的符号“∠”加顶点字母表示（如∠B，需保证顶点处只有一个角）。
（3）用角的符号“∠”加数字表示（如∠1、∠2，需在图中标注数字）。
4、角的分类（按张开程度）：
（1）角分为锐角、直角、钝角三类。（2）锐角、钝角的特点：锐角比直角小，钝角比直角大。
（3）每个三角尺上都有一个直角。所有直角的大小相等。
5、用三角尺上的直角判断一个角是不是直角的方法：
（1）将三角尺的顶点与要判断的角的顶点重合、三角尺上一条直角边与角的一条边重合；
（2）看三角尺上直角的另一条边与角的另一条边是否重合，如果重合，这个角就是直角，如
果没有重合，这个角就不是直角。
【易错点拨】
（1）角的边的本质：角的两条边是射线（可无限延伸），不是线段，不能说“角的边长2厘
米”。
（2）角的大小判断：与边的张开程度有关，张开越大角越大，张开越小角越小，与边的长短
无关。
知识点三 角的度量
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
1
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的 看作1度，
360
那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角
度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等
于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以
弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为
rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
知识点四 画指定度数的角
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，
45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画
角高频考点一 线段的初步认识
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北唐山·期末）下图中线段上有A、B、C、D、E五个点，
图中一共有多少条线段？（ ）
A．7条 B．8条 C．9条 D．10条
【答案】D
【思路引导】根据题意，线段有2个端点，有限长，可以度量。同一直线上有5个点，任意两点都可以连
成一条线段，以此答题即可。
【规范解答】根据分析可知：
下图中线段上有A、B、C、D、E五个点，线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，图中一共有
10条线段。
故答案为：D
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·甘肃天水·期末）以不在同一条直线上的4个点为端点，
最多可以画（ ）条线段。
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【思路引导】线段是指两端都有端点，不可延伸，它是有限长的，两个端点间的距离就是这条线段的长度；
假设不在同一条直线上的四个点分别为A、B、C、D。分别过AB、AC、AD、BC、BD、CD均可以画一条线段，
则一共可以画6条线段。
【规范解答】由分析可知：
以不在同一条直线上的4个点为端点，最多可以画6条线段。
故答案为：C
高频考点二 两点间线段最短与两点间的距离
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北唐山·期末）下面关于“线”的说法正确的有（
）。①如图，聪聪从家到学校，走②号路最近。
②射线有一个端点，不能无限延伸。
③ 是直线
A．①② B．①③ C．②③
【答案】B
【思路引导】两点之间的所有连线中，线段最短；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸。直线没
有端点，它可以向两端无限延伸。据此解答。
【规范解答】①两点之间的所有连线中，线段最短，所以聪聪从家到学校，走②号路最近。该说法正确。
②射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸。该说法错误。
③由图可知，这个图形是直线。该说法正确。
综上所述，正确的说法有①③。
故答案为：B
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·天津河北·期末）下面关于直线、射线和线段说法正确的
是（ ）。
A．一条直线长5米。 B．线段能向两端无限延伸。
C．两点间所有连线中线段最短。 D．射线有1个端点，不能无限延伸。
【答案】C
【思路引导】直线没有端点，可向两端无限延伸，长度不可测量；射线有一个端点，可向一端无限延伸，
长度不可测量；线段有两个端点，长度固定，不可延伸，两点之间线段最短。据此分析解答即可。
【规范解答】A．一条直线长5米。此选项错误，因为直线无限延伸，长度不可测量。
B．线段能向两端无限延伸。此选项错误，因为线段有两个端点，不能延伸。
C．两点间所有连线中线段最短。此选项正确，根据定义两点之间线段最短。
D．射线有1个端点，不能无限延伸。此选项错误，因为射线可向一端无限延伸。
说法正确的是选项C中的说法。
故答案为：C
高频考点三 线段、直线、射线的认识及特征
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北邢台·期末）小刚在纸上画了一条长5厘米9毫米的（
）。
A．射线 B．直线 C．线段【答案】C
【思路引导】直线没有端点，向两端无限延伸，无法测量长度。 射线只有一个端点，向一端无限延伸，
无法测量长度。 线段有两个端点，有固定的长度，可以测量长度。据此根据直线、射线和线段的特点选
择即可。
【规范解答】根据题意可知，小刚所画的线是有具体长度的，即长5厘米9毫米，所以小刚画了一条长5
厘米9毫米的线段。
故答案为：C
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·甘肃庆阳·期末）下图中的射线可以记作（ ）。
A．射线AB B．射线BA C．A D．B
【答案】B
【思路引导】根据射线的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可知射线不光包括
端点，也包括它一旁的部分，读射线时应从端点读起，据此解答。
【规范解答】根据分析：图中的射线可以读作射线BA。
故答案为：B
高频考点四 数图形（线段、直线、射线)
31．（25-26三年级上·河北邢台·期末） 左图中一共有
（ ）条线段。
A．5 B．10 C．15
【答案】C
【思路引导】线段有两个端点，可以度量长度，如下图，以端点A为其中一个端点，可以分别与其余5个
端点形成线段；以端点B为其中一个端点，向右可以分别与其余4个端点形成线段；以端点C为其中一个
端点，向右可以分别与其余3个端点形成线段；以端点D为其中一个端点，向右可以分别与其余2个端点
形成线段；以端点E为其中一个端点，向右可以与F形成线段。据此解答。
【规范解答】5＋4＋3＋2＋1＝15（条）
题中图形一共有15条线段。选项C正确。
故答案为：C
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 数一数。图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。
【答案】 1 8 6
【思路引导】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无
限长；直线无端点，无限长；图中有1条直线；以每个点为端点的射线有2条，4个点就有2×4＝8（条）
射线；单个的线段有3条，由两条线段组成的线有2条，由三条线段组成的线段有1条，共有3＋2＋1＝6
（条）；据此解答。
【规范解答】2×4＝8（条）
3＋2＋1
＝5＋1
＝6（条）
图中有1条直线，8条射线，6条线段。
高频考点五 用直尺画线段
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北秦皇岛·期末）画一画，填一填。
（1）请在图中画出线段AB，直线BC，射线AC。
（2）如果过点B画直线，可以画出（ ）条直线。
（3）在射线AC上取一点D，使线段AD的长为2厘米。
【答案】（1）见详解
（2）无数
（3）见详解
【思路引导】（1）线段有两个端点，长度是有限的，不能向两端无限延长，据此连接AB两点即可画出线
段AB；直线没有端点，可以向两端无限延长，将直尺的边沿与点B、C重合，沿直尺的边缘画出过点B、C
的直线即为直线BC；射线只有一个端点，从点A出发，经过C点画射线AC即可。
（2）由于过一点画直线，直线的方向不固定，所以，沿不同的方向，可以画无数条直线。（3）将直尺与
射线AC重合，0刻度线与点A重合，在直尺2厘米刻度处标上点D，即画出长为2厘米的线段AD。据此解
答。
【规范解答】（1）（3）（2）如果过点B画直线，可以画出（无数）条直线。
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·内蒙古乌海·期末）画一画。
（1）过A、B两点画一条直线，在直线AB上画一条长为2厘米的线段AD，再用圆规在直线AB上作线段
DE，使AD＝DE。
（2）画出射线CA。
【答案】（1）（2）图见详解
【思路引导】（1）直线AB：直线没有端点，可向两端无限延伸。用直尺连接点A和点B，并向A、B两侧
延长（画出超出A、B的直线部分）；点A与直尺的0刻度线对齐，在直线AB上量出长为2厘米的线段，
点上点D，线段AD长2厘米；将圆规有针尖的脚固定在线段AD的端点A上，另一只脚固定在线段AD的端
点D上，拿起圆规并固定两脚的距离，然后将圆规有针尖的脚固定在线段AD的端点D上，转动圆规，使另
一只脚在平面上画弧，与直线AB相交，在交点处点上点E，线段DE长2厘米，AD＝DE；
（2）射线CA：射线有1个端点（端点是C），向端点A的方向无限延伸。据此画出射线CA。
【规范解答】（1）（2）作图如下：
高频考点六 用尺规画线段
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·青海西宁·期末）已知有三个点A、B、C；（1）画出直线AC；
（2）画出射线AB，并用刻度尺在这条射线上截取1厘米5毫米长的线段AD；
（3）画出线段CB，再用圆规在线段CB上作线段CE，使CE＝AD。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）见详解
【思路引导】（1） 直线AC：直线没有端点，可向两端无限延伸。用直尺连接点A和点C，并向A、C两侧
延长（画出超出A、C的直线部分）。
（2） 射线AB：射线有1个端点（端点是A），向B的方向无限延伸。据此画出射线AB。用刻度尺的0刻
度对齐点A，在射线AB上找到距离A点1厘米5毫米的位置，标记这个位置为点D，连接AD，即可作出线
段AD。
（3） 线段CB：用直尺连接点C和点B，得到线段CB。
用圆规量取线段AD的长度（圆规一脚放在A点，另一脚放在D点）。保持圆规的张开幅度不变，将圆规的
一脚放在点C上，以这个长度在线段CB上画弧，弧与线段CB的交点就是点E，此时线段CE的长度就等于
AD的长度，即CE＝AD，据此解答。
【规范解答】根据分析可知：
（1）画出直线AC，如图所示：
（2）画出射线AB，并用刻度尺在这条射线上截取1厘米5毫米长的线段AD，如图所示：（3）画出线段CB，再用圆规在线段CB上作线段CE，使CE＝AD，如图所示：
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·甘肃张掖·期末）按要求做一做。
(1)用圆规比较线段AB与线段AD的长度，可以得出AB( )AD。（填“＞”“＜”或“＝”）
（保留作图痕迹）
(2)用圆规在直线l上作线段EF，使得EF的长度是线段AB长度的2倍。（保留作图痕迹）
【答案】(1)＜
(2)图见详解
【思路引导】（1）根据题意，用圆规比较两条线段长短，先用圆规一只脚放在A点上，调整另一只脚与B
点重合，圆规两脚间的长度就是AB的长度，这时转动圆规，看另一只脚，如果另一只脚与D点重合，则
AB＝AD，如果在D点外面，则AB＞AD，如果在D点里面，则AB＜AD；
（2）用圆规的一只脚固定在A点，调整另一只脚与B点重合，圆规两脚间的距离就是AB的长度。然后在
直线l上任意取一点E，让圆规的一只脚对准E点，转动圆规在直线l上画一小段弧线，此时得到了一个交
点。圆规两脚间的长度不变，然后重新用圆规的一只脚对准在这个交点上，转动圆规在直线l上再画一小
段弧线，此时又得到了一个交点，这个交点就是点F。E、F两点之间的距离就是线段AB长度的2倍。据此
解答即可。
【规范解答】（1）用圆规比较线段AB与线段AD的长度，可以得出AB＜AD。
（2）
高频考点七 角的初步认识及辨认
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，数一数一共有（ ）个
角。
A．3 B．5 C．6 D．4
【答案】C
【思路引导】观察图形可知，单独的角有3个，由两个单独的角组成的角有2个，由三个单独的角组成的
角有1个，据此解答。
【规范解答】3＋2＋1
＝5＋1
＝6（个）
所以图中一共有6个角。
故答案为：C
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北廊坊·期末）数一数下图分别有几个角。
( )个角 ( )个角
【答案】 6 5
【思路引导】角有两条直直的边和一个公共端点，这两条直直的边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，由此数出图中角的数量即可。
【规范解答】3＋2＋1
＝5＋1
＝6（个）
，数出单个的角有3个，由2个单个的角组成的角有2个，由3个单个的角组成的角有1个，一
共有6个角。
，数出一共有5个角。
高频考点八 角的大小比较
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·西藏林芝·期末）下面说法中正确的有（ ）个。
（1）一个角的两条边越长，这个角就越大。
（2）角的两条边张开得大，角就大；角的两条边张开得小，角就小。
（3）三角尺上的三个角中，最大的一个角是直角。
（4）在锐角、直角、钝角中，钝角最大，锐角最小。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】角的大小跟两边张开的大小有关，跟边的长短无关。
角的大小与两条边张开的大小有关，两条边张开的越大，角就越大。
三角尺上的三个角中，有2个锐角和一个角是直角，所以在三角板上，直角最大的。
钝角＞直角＞锐角，即，钝角最大，直角第二，锐角最小。据此选择。
【规范解答】（1）一个角的两边延长，这个角不变。原说法错误；
（2）角的大小与两条边张开的大小有关，两条边张开的越大，角就越大；原说法正确；
（3）在三角板上，直角最大的,原说法正确；
（4）钝角＞直角＞锐角，在锐角、直角、钝角中，钝角最大，锐角最小；故此项正确。
所以，以上说法中正确的有3个。
故答案为：C
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·甘肃白银·期末）下图中涂色部分是由时针和分针组成
的角。图( )中的角是直角。图( )中的角最大。图②中的角是( )角。
【答案】 ① ③ 锐
【思路引导】题目给出的三张时钟图片，在钟表里时针和分针组成了不同的角，在3点整和9点整时，分
针与时针形成90度的角，再结合图中时针与分针形成的时间进行判断角度。
【规范解答】图①时针与分针之间有三个大格，在9点整的位置，故图①为直角；
三个图中图③的时针和分针张开的角度最大，所以图③的角最大；
图②中时针与分针之间有两个大格，直角是三个大格，图②的角度小于图①的直角，比直角小的角为锐角，
则图②为锐角。
图①中的角是直角。图③中的角最大。图②中的角是锐角。
高频考点九 数图形（数角）
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·河北唐山·期末）下图中有5个角。( )（判断
对错）
【答案】×
【思路引导】由图可知，单独的小角有3个，由2个小角组成的大角一共有2个，由3个小角组成的大角
有1个，直接把它们全部加起来即可算出一共有多少个角。
【规范解答】3＋2＋1
＝5＋1
＝6（个）
即图中一共有6个角。原题说法错误。
故答案为：×
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·天津津南·期末）图中，有( )个直角，(
)个钝角，( )个锐角。【答案】 4 2 2
【思路引导】直角：像三角板上的直角一样，是方方正正的角，图中左边的4个角都是直角，共4个；
钝角：比直角“大”的角（张开的口比直角宽），图中右侧有2个角是钝角，共2个；
锐角：比直角 “小” 的角（张开的口比直角窄），图中右侧有2个角是锐角，共2个。
【规范解答】图中，有4个直角，2个钝角，2个锐角。
高频考点十 直角、钝角、锐角的认识及特征
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北承德·期末）如图所示，∠1＝∠2，∠4＝120°。
(1)∠1＝( )°，∠3＝( )°。
(2)图中有( )个锐角，( )个直角，( )个钝角。
【答案】(1) 60 30
(2) 3 3 3
【思路引导】（1）根据题意，明确直角是90°，平角是180°，∠4＝120°，∠1＋∠4＝180°，求出∠1
＝180°－120°＝60°，∠1＋∠3＝90°，∠3＝90°－60°＝30°。
（2）角可以分为：锐角、直角、钝角、平角、周角；锐角是指大于0°而小于90°的角；直角是指等于
90°的角；钝角是指大于90°而小于180°的角；以此答题即可。
【规范解答】（1）∠4＝120°
∠1＋∠4＝180°
∠1＝180°－120°＝60°
∠1＋∠3＝90°
∠3＝90°－60°＝30°
（2）∠1＝∠2＝60°
∠2＋∠3＝60°＋30°＝90°
∠2＋∠3＋∠5＝180°∠5＝180°－60°－30°＝120°－30°＝90°
∠1＋∠2＋∠3组成一个钝角；∠2＋∠5组成一个钝角，∠4是一个钝角。
图中锐角有∠1、∠3、∠2，3个锐角，3个直角，3个钝角。
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·河北唐山·期末）丽丽是上午时针和分针成直角时从家
出发去图书馆的，在下午时针和分针成直角时返回家。你知道丽丽是上午什么时候出发，下午什么时候到
家的吗？画一画，并把时间填写在括号里。
【答案】见详解
【思路引导】直角的度数为90度。上午和下午的钟表的时针和分针都成直角，且整时出发，整时返回，说
明分针指向的都是12。当钟表的时针指向9，分针指向12，时针和分针成直角，即9时整；当钟表的时针
指向3，分针指向12，时针和分针成直角，即3时整，据此解答。
【规范解答】如下所示：
高频考点十一 平角、周角的认识及特征
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北承德·期末）如图，将一张长方形纸折叠，已知∠1＝
30度，求∠2是多少度。【答案】75度
【思路引导】根据题意，仔细观察图可知，已知∠1＝30度，平角是180度，折叠后∠3＝∠2，∠2＝
（180－∠1）÷2，以此代入数据，列式计算即可。
【规范解答】根据分析可知：
（180－30）÷2
＝150÷2
＝75（度）
答：∠2是75度。
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北邢台·期末）下面说法正确的是（ ）。
A．直线比射线长 B．平角就是一条直线 C．周角等于360° D．角越大，边越长
【答案】C
【思路引导】直线没有端点，无限长，射线有一个端点，向另一端无限延长；平角是由一条射线绕着它的
端点旋转，当终边和始边在同一条直线上，方向相反时所形成的角，其角度为180°；周角等于360°；角
的大小与边的长短无关，与角的张口有关，张口越大，角就越大，据此分析每个选项选出正确的即可。
【规范解答】A．直线和射线都无限长，无法比较长度，选项说法错误；
B．具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，平角不是一条直线，选项说法错误；
C．周角等于360°，选项说法正确；
D．角的大小和边的长短无关，选项说法错误。
说法正确的是周角等于360°。
故答案为：C
高频考点十二 角的分类及换算
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（24-25四年级上·浙江衢州·期中）一个三角板上最大的角是（ ）。
A．锐角 B．钝角 C．直角
【答案】C
【思路引导】大于0°小于90°的角叫作锐角，直角的度数等于90°，大于90°小于180°的角叫作钝角。
由题意得，一副三角板里有两个三角板（如下图）。一个三角板的三个角分别是90°，45°，45°，另一个三角板的三个角分别是90°，60°，30°，所以一
个三角板上最大的角是直角。
【规范解答】由分析得，一个三角板上最大的角是直角。
故答案为：C
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （24-25三年级下·山东济宁·期末）如图，∠1＝47°，∠2＝( )
°。
【答案】47
【思路引导】由图可知，∠1和中间的角组成了一个直角，直接用90°减去∠1的度数即可算出中间的角
的度数。中间的角和∠2组成了一个直角，直接用90°减去中间的角的度数即可算出∠2的度数。
【规范解答】90°－∠1＝90°－47°＝43°
∠2＝90°－43°＝47°
故∠2＝47°。
高频考点十三 用量角器画角
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·河北邢台·期末）先以A为顶点画一个50°的角，再以
B为顶点画一个80°的角。
【答案】见详解【思路引导】根据题意，把量角器的中心点与点A重合，量角器零刻度线与线段AB重合，找到50°的位
置，画出角的另一边，再把B点与量角器的中心点重合，按照同样的方法画出80°角的另一边，以此画图
即可。
【规范解答】根据分析画图如下：
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（24-25三年级下·山东烟台·期末）请过A点画出直线a的平行线；从A点起，
画出直线a的垂直线段与直线a相交与B点；以AB线段为边画出一个60°的角与直线a相较于C点，并标
注。已知AB长3厘米、BC长4厘米、AC长5厘米，这组平行线之间的距离是（ ）厘米。
【答案】作图见详解；3
【思路引导】（1）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画
一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后
沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。
（2）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角
尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂
直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
（3）用量角器画角的步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与
角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，
所组成的图形就是要画的角。
（4）两条平行线之间的距离：一条直线上的任意一点到另一条直线所作的垂直线段的长度，叫做两条平
行线间的距离。
【规范解答】由图可知，线段AB与直线a垂直且AB长3厘米，所以这组平行线之间的距离是3厘米。
高频考点十四 用三角尺画角
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)）（25-26三年级上·河北邢台·期末）在48°、75°、128°、105°、136°、
150°的角中，用一副三角尺能拼出其中的( )个角。
【答案】3
【思路引导】一副三角尺中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，据此找出
能用一副三角尺直接拼出的角即可。
【规范解答】30°＋45°＝75°
60°＋45°＝105°
60°＋90°＝150°
90°＋45°＝135°
90°＋30°＝120°
90°＋90°＝180°
综上可知，在48°、75°、128°、105°、136°、150°中，能用一副三角尺直接拼出的角是75°、
105°、150°。即用一副三角尺能拼出其中的3个角。
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级上·四川眉山·期末）从角的顶点画一条射线，按要求把原
来的钝角分一分。
（1）分成两个锐角。
（2）分成一个直角和一个锐角。【答案】（1）见详解
（2）见详解
【思路引导】（1） 要把一个钝角分成两个锐角，只需从角的顶点向两边之间的某个方向画出一条射线，
使得这条射线与两条边分别夹成的角都小于直角即可。
（2）画一条射线，使得其中一个角是直角，另一个角为锐角；可先用三角板的直角的顶点与图中角的顶
点对齐，直角的一条边对准图中角的一条边，再沿另一条直角边画一条射线。这样，其中一个角正好是直
角，另一个角是锐角。
【规范解答】根据分析画图如下：
（1）分成两个锐角。
（画法不唯一）
（2）分成一个直角和一个锐角。
高频考点十五 角度的计算
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （23-24四年级上·河北邢台·期中）求∠1、∠2的度数。
【答案】∠1＝50°，∠2＝40°
【思路引导】因为平角的度数是180°，图中∠1和130°角组成平角，所以∠1＋130°＝180°，据此可
求出∠1的度数。
因为直角的度数是90°，且∠1、∠2和90°角组成平角，所以∠1＋∠2＋90°＝180°，据此可求出∠2
的度数。
【规范解答】∠1＝180°－130°
＝50°
∠2＝180°－90°－∠1＝90°－50°
＝40°
∠1＝50°，∠2＝40°。
【变式训练】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （2025三年级上·全国·专题练习）下面由一副三角尺拼成的角中，最大
的是（ ）。
A． B． C．
【答案】A
【思路引导】45°三角尺 ：包含45°、45°、90°三个角。30°－60°三角尺 ：包含30°、60°、90°三
个角。A选项是90°和45°角的组合，相加得出结果；B选项是30°和45°角的组合，相加得出结果； C
选项是90°和30°角的组合，相加得出结果。再将三个选项进行比较，即可知道答案。
【规范解答】A. 90°＋45°＝135°
B. 30°＋45°＝75°
C. 90°＋30°＝120°
135°＞120°＞75°
故答案为：A
奥数拓展一 线段的初步认识
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 数一数，下图中有多少条线段？
【答案】42条
【思路引导】直线上两个点和两个点之间的部分就是线段。线段两端都有端点，不可延长，可以度量。六
边形的边有6条；两个三角形，每条边上6条，据此解答即可。
【规范解答】6＋6＋6＋6＋6＋6＋6＝42（条）
答：图中有42条线段。【考点剖析】熟练掌握对线段的认识是解题关键。
【变式训练1】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 数一数，下图中有多少条线段？
【答案】24条
【思路引导】如图，把这个图形分成两条线段来看，分别数出AB段和BC段的线段条数，相加得到总数。
【规范解答】如图所示：
AB线段上有7个点，那么其上一共有线段6+5+4+3+2+1=21（条）；
BC上一共有线段2+1=3（条）；
21+3=24（条）
答：图中有24条线段。
【考点剖析】本题考查的是图形计数的问题，一条线段被分成n段，可以数出1+2+3+⋯+n条线段。
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 下面有五个点，在每两点之间画一条线段，一共画了( )条线段。
【答案】10
奥数拓展二 线段、直线、射线的认识及特征
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级·全国·单元复习）下图中的2个点、3个点、4个点、5个
点，分别最多可以连出几条线段？
你发现了什么规律？你能直接说出6个点最多可以连出几条线段吗？如果1路公交车有10个站点，单程需
要准备几种不同的车票？（可以先画图，再解答）【答案】1条；3条；6条；10条规律见详解；15条；45种
【思路引导】根据题意，先在各个图中画出所有线段；可以发现第一个点可以和剩下的所有点画出线段，
第二个点可以和除了第一个点剩下所有的点画出线段，第三个点可以和除了第一、二个点剩下所有的点画
出线段…，据此找出规律即可。
【规范解答】
2个点：1条
3个点：1＋2＝3（条）
4个点：1＋2＋3＝6（条）
5个点：1＋2＋3＋4＝10（条）
因此，图中的2个点、3个点、4个点、5个点，分别最多可以连出1条、3条、6条、10条线段。
可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋…＋（点的数
量－1）1＋2＋3＋4＋5＝15（条）所以6个点最多可以连出15条线段。
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（种）
答：图中的2个点、3个点、4个点、5个点，6个点分别最多可以连出1条、3条、6条、10条、15条线段；
发现了平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋…＋（点的数量
－1）；单程需要准备45种不同的车票。
【考点剖析】解题关键是平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3
＋…＋（点的数量－1）。
【变式训练1】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （23-24四年级上·浙江杭州·期末）如果一条直线上有n个端点，就有
（ ）条线段，就有（ ）条射线。（借助下面的图画一画）
【答案】n（n－1）÷2；2n
画图见详解
【思路引导】一条直线上有2个端点时，有1条线段，（2×2）条射线；一条直线上有3个端点时，有（1
＋2）条线段，（2×3）条射线；一条直线上有4个端点时，有（1＋2＋3）条线段，（2×4）条射线……当有n个端点时，线段的条数就是（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1，射线的条数就是用端
点个数乘2。据此解答即可。
【规范解答】（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋3＋2＋1把第一个式子和最后一个数相加得到n，第
二个式子和倒数第二个数相加得到n，依次类推一共有（n－1）÷2个n，即n（n－1）÷2；射线的条数用
端点个数乘2，即2n。即如果一条直线上有n个端点，就有（n（n－1）÷2）条线段，就有（2n）条射线。
数线段的条数画图如下：
【考点剖析】能够明白线段的个数是用端点的个数减去1后的数一直加到1的和，射线的个数是用端点个
数乘2是解决本题关键。
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 如图，平面上分别有2个点、3个点、4个点、5个点……连一连，写出最
多可以得到多少条线段。
平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系：
【答案】见详解
【思路引导】线段有两个端点，所以两个点可以画一条线段，据此在题图上画出线段，然后再分析点的数
量与线段的条数之间的关系即可。
【规范解答】
2个点连线的数量：1 条
3个点连线的数量：1＋2＝3（条）
4个点连线的数量：1＋2＋3＝6（条）
5个点连线的数量：1＋2＋3＋4＝10（条）
可以发现平面上点的数量与可以得到的线段的条数之间的关系是：线段的条数＝1＋2＋3＋……＋（点的
数量－1）
【考点剖析】本题的解题关键是根据已知图形中点与线段条数的关系，推理出结论进行解答。奥数拓展三 数图形（线段、直线、射线)
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备（ ）种不同的车票。
A．45 B．55 C．65 D．20
【答案】A
【思路引导】根据题意可知，一共10个汽车站，从第一站到其它各站有9种单程车票，同理从第二个站到
其他站有8种单程车票，第三站到其他站有7种单程车票，从第四站到其他站有6种单程车票……依次类
推，由此求解。
【规范解答】9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
＝（9＋8＋7）＋（6＋5＋4）＋（3＋2＋1）
＝24＋15＋6
＝45（种）
则如果1路公交车有10个汽车站，单程需要准备45种不同的车票。
故答案为：A
【变式训练1】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级下·江苏泰州·期中）一列从娄堰开往上海的和谐号城际
动车沿途共有5个站点（包括娄堰，上海这两个站点），从姜堰到上海，这列动车共需要准备（ ）种
不同的单程二等座车票。
A．5 B．10 C．25 D．30
【答案】B
【思路引导】已知动车沿途共有5个站点，可以将5个站点看作一条线段上的5个点；
从第1个站点出发，可前往后面的4个站点，需准备几种车票；
从第2个站点出发，可前往后面的3个站点，需准备几种车票；
从第3个站点出发，可前往后面的2个站点，需准备几种车票；
从第4个站点出发，可前往后面的1个站点，需准备几种车票；
最后相加即可求解。
【规范解答】根据分析：
从第1个站点出发，可前往后面的4个站点，需准备4种车票；
从第2个站点出发，可前往后面的3个站点，需准备3种车票；
从第3个站点出发，可前往后面的2个站点，需准备2种车票；
从第4个站点出发，可前往后面的1个站点，需准备1种车票；
4＋3＋2＋1＝10（种）
这列动车共需要准备10种不同的单程二等座车票。
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26六年级下·全国·课后作业）不在同一条直线上的5个点可以连成( )条线段，10个点可以连成( )条线段。
【答案】 10 45
【思路引导】同一平面内，不在同一直线上的5个点可以连成5×4÷2=10条线段，10个点可以连成
n(n−1)
10×9÷2=45条线段，n个点可以连成n×(n−1)÷2= 条线段。
2
【规范解答】根据分析可得：
不在同一条直线上的5个点可以连成（10）条线段，10个点可以连成（45）条线段。
奥数拓展四 数图形（角)
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 下图中有多少个小于180的角？
【答案】29个
【思路引导】如图，A点处有15个符合要求的角，B点处有3个符合要求的角，D、E、F、G、H点处各有2
个符合要求的角，C点处有1个符合要求的角，相加得到总数。
【规范解答】如图所示：
(5+4+3+2+1)+(2+1)+5×2+1
=15+3+10+1
=29（个）
答：图中有29个小于180°的角。
【考点剖析】本题考查的是几何计数问题，数角的话，可以从每一个点入手，判断每一个点处的角的个数
分别是多少。
【变式训练1】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 下列图形中，有多少个小于180的角？【答案】（1）10个；（2）15个
【思路引导】第（1）问，可以先数单独的角，再数两两组合的角，再数三个组合起来的角，依此类推；
第（2）问，分别数出每一个点处的角的数量，相加得到总数。
【规范解答】（1）这个图中含有四个基本角①、②、③、④，如下图所示，下面我们对角进行分类：
只含一个基本角的角有4个，即①、②、③、④；
含两个基本角的角有3个，即①②、②③、③④；
含三个基本角的角有2个，即①②③、②③④；
含四个基本角的角有1个，即①②③④；
综上，上述图形中一共有角4+3+2+1=10（个）。
（2）我们把这个图形中的角分成6个区域来数，如下图所示的6个区域：
①、②两图各有角1+2=3（个）；
③、④两图中各有角2个；
⑤中有角4个；⑥中有角1个；
综上，上述图中有角3×2+2×2+4+1=15（个）；
答：图（1）有10个角，图（2）有15个角。
【考点剖析】本题考查的是几何计数问题，其中图（1）中数角的方法与数线段的方法类似。
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级下·江苏·周测）图形锁是一种常见的手机屏幕锁，它就
是在九宫格上设置一笔画成的图案，最少需要连续4个点，最多连续9个点。
(1)小月妈妈的手机屏幕锁是一个图形锁，这个图形锁有2个直角，1个锐角，小月妈妈的手机屏幕锁可能是( )。（填序号）
① ② ③
(2)设计一个图形锁，使它既有锐角，也有直角，还有钝角。请你在图中画一画。
【答案】(1)③
(2)
【思路引导】（1）选择题分析
核心任务是逐一核对三个图形锁的角的数量与类型，匹配“2个直角、1个锐角”的条件，关键在于精准识
别每个折点处的角的类型，排除不符合数量要求的选项。
1.对图形①：梳理所有折点，数出直角、锐角的数量，判断是否为“2直1锐”。
2.对图形②：同理梳理折点，统计角的类型和数量，对比条件。
3.对图形③：重复上述步骤，最终锁定符合条件的图形。
（2）作图题分析
核心要求是设计一笔画的九宫格图形锁，需同时满足三个条件：包含锐角、直角、钝角，且是连续4－9个
点的一笔画。
1.确定构图思路：利用九宫格的横竖线形成直角，斜线形成锐角，折线夹角形成钝角。
2.规划点的连接路径：保证一笔画连续，折点处能分别呈现三种角的类型，且点的数量在4－9个之间。
【规范解答】（1）1）选择题详解
图形①： 逐一观察折点，可数出0个直角、2个锐角，不符合“2个直角、1个锐角”的要求，
排除。图形②： 检查所有折点，能找到1个直角、2个锐角，不符合“2个直角、1个锐角”的要求，
排除。
图形③： 梳理折点后，发现包含2个直角、1个锐角，完全匹配题目给出的角的数量和类型条
件，符合要求。
结论：小月妈妈的手机屏幕锁可能是③。
（2）作图原理：九宫格的横竖线垂直相交天然形成直角，斜线连接相邻点形成锐角，延长折线的夹角可
形成钝角，且需保证一笔画连续。
注：画法不唯一，只要满足“一笔画、连续4－9个点、含锐直钝三种角”即可，以下为直观示意图：
奥数拓展五 角度的计算
【典例精讲】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级下·全国·课后作业）乐乐用量角器度量一个角时，角的一
边与外圈30°刻度线重合，另一边与内圈50°刻度线重合。这个角的度数是多少？
【答案】
100°
【思路引导】观察量角器可知：量角器内外圈刻度和是180°，先根据另一边与内圈50°刻度线重合算出
这条边对应外圈刻度，再求出两个外圈刻度差，即是角的度数。
【规范解答】内圈50°对应的外圈度数是：180°－50°＝130°
这个角的度数是：130°－30°＝100°。
答：这个角的度数是100°
【变式训练1】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) 一张长方形的纸折起来以后如图所示。其中∠1＝50°，∠2＝( )。
【答案】65°/65度【思路引导】如图：
根据折叠过程可知∠3＝∠2，又因为∠3＋∠2＋∠1等于一个平角，平角＝180°，用180°减去∠1的度
数，再除以2就可以求出∠2的度数。
【规范解答】（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
一张长方形的纸折起来以后如图所示。其中∠1＝50°，∠2＝65°。
【考点剖析】解题关键是理解∠3＝∠2，再用平角减去∠1的度数，即可得∠3和∠2的和，再除以2。
【变式训练2】(⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️(cid:3)⭐️）(cid:3) （25-26三年级下·江苏扬州·期中）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4＝
∠5，那么∠1和∠2都是( )°，∠3、∠4和∠5都是( )°。图中∠2、∠3和∠4拼成一个(
)角。
【答案】 45 60 钝
【思路引导】∠1和∠2共同组成一个直角，直角的度数是90°，且∠1＝∠2，所以可以用除法求出这两
个角的度数。∠3、∠4和∠5共同组成一个平角，平角的度数是180°，且∠3＝∠4＝∠5，同样用除法求
出这三个角的度数。∠2、∠3和∠4的度数相加，再根据角的分类判断是什么角。
【规范解答】90°÷2＝45°，所以∠1和∠2都是45°；180°÷3＝60°，∠3、∠4和∠5都是60°。
∠2＋∠3＋∠4＝45°＋60°＋60°＝165°，该角大于90°小于180°，所以这个角是钝角。
【基础夯实 知识巩固】
1．（25-26三年级上·山东菏泽·期末）如图所示，两根木条AC与BD重叠在一起。已知AC>BD，那么AB与CD相比较，正确的是（ ）。
A．ABCD C．AB=CD
【答案】B
【思路引导】木条AC＝AB＋BC，木条BD＝BC＋CD，木条AC和BD中都加有同一个BC，因为AC＞BD，所以
AB＞CD，据此解答。
【规范解答】AC>BD，AC＝AB＋BC，BD＝BC＋CD，BC＝BC，那么AB＞CD。
故答案为：B
2．（25-26三年级上·河北邢台·期末）如图中，线段、射线、直线的数量分别是（ ）。
A．3；12；3 B．3；6；3 C．12；12；3
【答案】A
【思路引导】本题主要考查线段、直线、射线的概念和性质。直线上两个点和它们之间的部分叫线段，这
两个点叫线段的端点；直线上的一点和它一旁的部分叫射线，这点叫射线的端点；性质：直线向两方无限
延伸，无法度量长度，经过两点有且只有一条直线，而两条直线相交只有一个交点；射线只能向一方无限
延伸，无法度量长度；线段不能向任何一方无限延伸，能度量长度，两点之间线段最短。
【规范解答】线段有3条；
每个点延伸2条射线，共有6个点相交，所以射线有：2×6=12（条）
直线有3条；
所以线段、射线、直线的数量分别是3条，12条，3条。
故答案为：A
3．（23-24四年级上·河南信阳·期末）把两个锐角拼在一起，拼成的角不可能是（ ）。
A．锐角 B．直角 C．平角 D．钝角
【答案】C
【思路引导】锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°且小于180°，平角等于180°，据此分析每
个选项找出不能用两个锐角拼成的角即可。
【规范解答】A．假设两个锐角都是1°，1°＋1°＝2°，2°＜90°，可以拼成锐角；B．假设两个锐角都是45°，45°＋45°＝90°，可以拼成直角；
C．最大的锐角是89°，89°＋89°＝178°，178°＜180°，不可以拼成平角；
D．假设两个锐角都是70°，70°＋70°＝140°，90°＜140°＜180°，可以拼成钝角。
拼成的角不可能是平角。
故答案为：C
4．（25-26三年级上·河南周口·期末）下图中的线，( )是线段，( )是直线，(
)是射线。
【答案】 ③ ① ④⑤
【思路引导】直线是由无数个点构成，两端都没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度的一条直线。
射线指由线段的一端无限延长所形成的射线，射线有且仅有一个端点，无法测量长度（它无限长）。线段
是指两端都有端点，不可延伸，有别于直线、射线。据此解答即可。
【规范解答】图中的线，③是线段，①是直线，④、⑤是射线。
5．（25-26三年级上·内蒙古通辽·期末）拿出一副三角尺，拼出下图中的角，是( )。（填锐角、
直角、钝角）
【答案】钝角
【思路引导】三角尺上最大的角是直角，锐角比直角小，钝角比直角大。由图可知，用一副三角尺拼出图
中的角，这个角比直角大，所以这个角是钝角。
【规范解答】由分析可知，拿出一副三角尺，拼出图中的角，是钝角。
6．（25-26三年级上·河北邢台·期末）下图中，三角板上的度数分别是∠1＝( )°，∠2＝(
)°，∠3＝( )°。
【答案】 60 90 30
【思路引导】根据题意，明确一副三角板的角分别是多少度，这是常见的30°、60°、90°三角板，其中
直角为90°，另两个锐角分别为30°和60°，以此答题即可。【规范解答】根据分析可知：
下图中，三角板上的度数分别是∠1＝60°，∠2＝90°，∠3＝30°。
7．（25-26三年级上·吉林松原·期末）小明画了一条18厘米长的直线。( )（判断对错）
【答案】×
【思路引导】直线是无限延伸的，没有起点和终点，因此没有长度。题干中说“18厘米长的直线”是错误
的，因为直线不能被测量长度。
【规范解答】根据分析可知，小明画了一条18厘米长的直线。该说法错误。
故答案为：×
8．（25-26三年级上·青海西宁·期末）如图，这个图中一共有3个角。( )（判断对错）
【答案】×
【思路引导】根据题意，角是由一个点引出两条直线所组成的图形，这个点就是角的顶点，两条线就是角
的边。从下往上数，第一条线分别与第二、三、四条线组成3个角，第二条线与第三、四条线组成2个角，
第三条线与第四条线组成1个角，一共有6个角。以此答题即可。
【规范解答】根据分析可知：
3＋2＋1
＝5＋1
＝6（个）
所以这个图中一共有6个角。题干说法错误。
故答案为：×
9．（25-26三年级上·河北邢台·期末）在直线m上有A、B、C、D四个点，以点B为端点的射线有几条？
以点C为端点的射线有几条？用字母表示出来。【答案】2条，BA、BC（或BD）；2条，CA（或CB）、CD
【思路引导】射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；由此解题即可。
【规范解答】由分析可知，
以点B为端点的射线有2条，以点C为端点的射线有2条；
答：以点B为端点的射线有2条，分别是BA、BC（或BD）；以点C为端点的射线有2条，分别是CA（或
CB）、CD。
10．（25-26三年级上·西藏林芝·期末）画一画，填一填。
（1）以图中锐角顶点处为端点，画一条射线，使其变成一个直角。
（2）以图中锐角顶点处为端点，画一条射线，使其变成一个钝角。
（3）看一看，数一数，图中现在一共有（ ）个角。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）6
【思路引导】（1）把三角尺的直角顶点与这个角顶点重合，直角边与这个角下面的边重合，沿着三角尺
另一条直角边，从顶点开始画线，即可画出一个直角。
（2）钝角比直角大，以图中这个角的顶点处为端点，以图中下方的边为钝角的一条边，在（1）中直角边
左侧画一条射线，即可画出一个钝角。
（3）从一个点引出两条射线所围成的图形叫角，根据角的定义，逐一数出图中的角即可。据此解答。
【规范解答】（1）（2） （画法不唯一）
（3）如下图，①和②、③、④能分别形成角，②和③、④能分别形成角，③和④能形成角，一共有3＋2
＋1＝6（个）角。
【拓展提高 能力拔尖】
1．（25-26三年级上·河南周口·期末）如图，乐乐家到公园有3条路，走第（ ）条路近些。
A．① B．② C．③
【答案】B
【思路引导】根据题意，明确两点间直线最短。从图中可以看出，第②条路是“乐乐家”到“公园”之间
较为直接的路线，线段最短，因此选第②条路。以此选择即可。
【规范解答】根据分析可知：
如图，乐乐家到公园有3条路，走第②条路近些。
故答案为：B
2．（24-25三年级下·河北沧州·期末）下午3时至4时，钟面上时针和分针的夹角出现了1次直角，大
约在3时（ ）。
A．16分至30分 B．31分至45分 C．46分至59分【答案】B
【思路引导】在3点整时，时针和分针是直角。但题目问的是3点到4点之间出现的另一次直角。分针走
得快，时针走得慢，分针会慢慢追上时针并超过它，在这个过程中会再次形成直角。观察发现这个时间大
约在3点32分左右，所以大约在31分到45分之间。
【规范解答】
A． 至 ，分针走得快，时针走得慢，时针和分针的夹角由极小逐渐变大，3：30时最
大，但此时夹角依然为锐角，所以此时段不可能出现直角。
B． 至 ，分针走得快，时针走得慢，时针和分针的夹角继续变大，由锐角逐渐变为
钝角，在这个过程中，一定会出现一次直角，大约在3点32分左右。
C． 至 ，分针走得快，时针走得慢，时针和分针的夹角由钝角逐步变为平角后，又
变为钝角，所以此时段不可能出现直角。
故答案为：B
3．（25-26三年级上·辽宁丹东·期末）
(1)图中直角有( )个，锐角有( )个，钝角有( )个。
(2)把∠1、∠2和∠3按从小到大的顺序排列： ( )＜( )＜( )。
【答案】(1) 2 4 3
(2) ∠1 ∠2 ∠3
【思路引导】（1）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，图中凡符合角的概念的全部算上共有9个角，根据各种角的定义数出对应角的个数。
（2）因为∠2是直角，∠3是钝角、∠1是锐角，据此进行排列。
【规范解答】（1）图中直角有2个，锐角有4个，钝角有3个。
（2）把∠1、∠2和∠3按从小到大的顺序排列：∠1＜∠2＜∠3。
4．（25-26三年级上·河北邢台·期末）钟面上，时针和分针成直角时，可能是( )时整；成平角
时是( )时整。
【答案】 3或9 6
【思路引导】直角的度数为90°，平角的度数为180°。由题意得，整时时，分针指向数字12，要想时针
和分针成直角，那么时针可能指向数字3或9，即3时整或9时整时针和分针成直角；要想时针和分针成平
角，那么时针只能指向数字6，即6时整时针和分针成平角。
【规范解答】钟面上，时针和分针成直角时，可能是3或9时整；成平角时是6时整。
5．（25-26三年级上·山东菏泽·期末）如图中有( )条直线，( )条射线，(
)个直角。
【答案】 2 6 4
【思路引导】
直线无端点，长度无限，向两方无限延伸。射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸。三角板中最
大的角是直角，如 。
【规范解答】
根据分析和图中所示：
共2条直线，即直线AB与直线CD，如图①；共6条射线，即以E为端点的射线有6条，如图①；
共4个直角，如图②和图③。
图中有2条直线，6条射线，4个直角。
6．（25-26三年级上·河北邢台·期末）如图，两个三角板拼在一起，求∠1和∠2的度数。
【答案】∠1＝150°；∠2＝135°
【思路引导】根据题意可知，图中的两个三角板分别是直角三角板和等腰直角三角板。直角三角板的度数
为：90°、60°、30°；等腰直角三角板的度数是：90°、45°、45°，∠1是由两个三角板的90°角和
60°角组成，所以∠1＝90°＋60°；∠2和一个三角板的45°角构成平角，平角＝180°，用180°减去
45°等于∠2，据此解答。
【规范解答】∠1＝90°＋60°＝150°
∠2＝180°－45°＝135°
所以∠1＝150°，∠2＝135°。
7．（25-26三年级上·全国·单元测试）如果1路公交车有10个站点，单程需要准备几种不同的车票？
（可以先画图，再解答）
【答案】45种
【思路引导】假设这是10个站点分别为：A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，如下图所示：
分别写出从每个站点出发，有几种车票搭配，如下：
A站点出发有9种车票；B站点出发有8种车票；C站点出发有7种车票；D站点出发：有6种车票；E站
点出发有5种车票；F站点出发有4种车票；G站点出发有3种车票；H站点出发有2种车票；I站点出发有
1种车票；再把票数相加即可。
【规范解答】
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（种）
答：单程需要准备45种不同的车票。8．在下图中按要求完成下面各题。
（1）以A点为顶点，画一个平角，所画出的角是（ ）°，这个角相当于（ ）个直角的度数。
（2）以B点为顶点，画一条与已知直线相交组成80°角的射线，并标注角的度数。
【答案】（1）图见详解；180；2
（2）见详解
【思路引导】（1）平角＝180°且顶点在中间，直角＝90°，据此作图并填空即可。
（2）使量角器的中心和B点重合，零刻度线和直线B重合；在量角器80刻度线的地方点一个点；以B点
为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个80°的角。据此作图即可。
【规范解答】
（1）如图： ，所画出的角是180°，这个角相当于2个直角的度数。
（2）如图： （画法不唯一）
9．（23-24三年级上·黑龙江佳木斯·期末）画出一条长4厘米8毫米的线段，并算一算这条线段总长是
多少毫米。
【答案】图见详解过程；48毫米
【思路引导】根据测量长度的方法，用直尺画一条长4厘米8毫米的线段即可，将线段的起点指向0刻度
线，线段的末端指向4厘米到5厘米之间的第8个小格，依此画图并标上对应的长度；然后再根据1厘米
＝10毫米，将4厘米8毫米换算成毫米数即可。
【规范解答】作图如下：
4厘米8毫米＝40毫米＋8毫米＝48毫米
这条线段总长是48毫米。
10．（25-26三年级上·西藏林芝·期末）画一画，填一填。(1)画出直线AB、射线AC、线段BC。
(2)画好的图中有______条线段，有______条射线。
【答案】(1)见详解
(2) 3 6
【思路引导】（1） 先过点A、B画出无限延伸的直线AB； 再由A向C的方向画出射线AC； 最后连接B、
C画出线段BC。
（2） 画好后，图中能数出下列线段：AB、AC、BC，共3条线段；分别以A、B、C为端点向左右两边各有
1条射线，共6条射线，以此答题即可。
【规范解答】（1）
（2）画好的图中有3条线段，有6条射线。
