文档内容
第 17 讲 相似三角形 答案解析（教师版）
第一部分 知识点梳理
知识点1 相似的有关概念
1.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 a ∶ b ＝ c ∶ d ，那么这四条
线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项.
3.比例的性质
①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc；
②如果 ad ＝ bc (a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
4.黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄
金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比，＝≈0.618.
5.平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
即： 。
知识点2 相似三角形的性质与判定（☆☆☆）
1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比
叫做相似比。
2.性质：
（1）相似三角形的对应角相等；
（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
3.判定：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）三边对应成比例的两个三角形相似。
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（4）两角对应相等的两个三角形相似。
知识点3 相似多边形
1.相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的
比叫做它们的相似比。
2.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多
第 1 页 共 91 页边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。
知识点4 图形的位似
1.位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或
在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。
2.位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图
形对应点的坐标的比 等于 k 或– k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或
相似比。
3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即
是位似中心。
4.画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形
放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个
对应点。
知识点5 相似三角形的应用
1.利用影长测量物体的高度
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比
相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2.利用相似测量河的宽度（测量距离）
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直
线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3.借助标杆或直尺测量物体的高度．
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构
建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
第 2 页 共 91 页第二部分：考点突破
考点1平行线分线段成比例
1．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片 （ ）按如图方式折叠两次再展开，下列
结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知
识点并灵活运用是解题的关键．
由折叠可得： ， ，则 ，那么
，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断
即可．
【详解】解：由折叠可得： ， ，
∴ ，故A正确，不符合题意；
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵ ，
第 3 页 共 91 页∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，故D错误，符合题意，
故选：D．
2．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格
线的交点上，点D、E分别是边 、 与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出 是 的中位线是解题
关键．取格点 、 ，由网格的性质可知， ，得到 ， ，进而证明
是 的中位线，即可求解．
【详解】解：如图，取格点 、 ，
由网格的性质可知， ，
第 4 页 共 91 页， ，
、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
故选：B．
3．（2021·四川甘孜·中考真题）如图，直线 ，直线 与 分别交于点 和点 ．
若 ， ，则 的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式
是解此题的关键．
4．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在 中， 分别交 于点D，E， 交
于点F， ， ，则 的长为（ ）
第 5 页 共 91 页A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】先证得四边形 是平行四边形，得到 ，再利用平行线截线段成比例列式求出 即
可．
【详解】∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是
解题的关键．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形 中， ，点 在 上， 交
于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．3 C．5 D．9
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成
第 6 页 共 91 页比例即可解答．
【详解】解：∵在四边形 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：A．
6．（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O， .若 ， ， .
则 的值为 ．
【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得， ， ，得出 ， ，从
而 .
【详解】 ， ， ，
，
，
，
，
；
第 7 页 共 91 页故答案为： .
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解
决本题的关键.
考点2成比例线段与黄金分割比
7．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足 ，即 与
的比等于 与 的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出 的值。
【详解】解： 线段 ， ， ， 是成比例线段，
，
将 ， ， 代入，
可得： ，
整理得： ，
解得： ，
故选：C．
8．（24-25九年级上·全国·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】D
【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最
大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外
两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．
【详解】解析：A． ， 四条线段不成比例，故A不符合题意；
B． ， 四条线段不成比例，故B不符合题意；
C． ， 四条线段不成比例，故C不符合题意；
第 8 页 共 91 页D． ， 四条线段成比例，故D符合题意．
故选D．
9．（24-25八年级下·福建福州·期中）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形
的 边上取中点 ，以点 为圆心，线段 长为半径作圆，交 的延长线于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，得到矩形 ．根据黄金分割的意义：矩形 满足
，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设 ，根据正方形的
性质可得 ，然后根据黄金分割的意义可得 ，从而可得 ，最后进
行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：设 ，
四边形 是正方形，
，
∴ ．
由题意，根据黄金分割的意义：矩形 满足 ，
∴
．
第 9 页 共 91 页经检验： 是原方程的根，
．
故选：D．
10．（2023·广东·中考真题）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种
0.618法应用了（ ）
A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数
【答案】A
【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：0.618为黄金分割比，所以优选法中有一种0.618法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
11．（2021·四川巴中·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点
P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足 ，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活
中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长
20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（
）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则 ，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴ ，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的
关键．
第 10 页 共 91 页12．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形 中 ，以宽 为边在其内部作正方形
，得到四边形 是黄金矩形，依此作法，四边形 ，四边形 也是黄金矩形．依次以
点E，G，L为圆心作 ， ， ，曲线 叫做“黄金螺线”．若 ，则“黄金螺线”
的长为 ．（结果用 表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式 ．先根据黄金矩形 中 ，
且 ，求出 ，进而求出 ， ，再根据弧长
公式即可求出“黄金螺线” 的长．根据黄金矩形的定义求出 的长，以及熟练掌握弧长的公式是
解题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形 中 ，且 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
，
，
∵四边形 是正方形，
，
，
第 11 页 共 91 页，
∵四边形 是正方形，
，
∴“黄金螺线” 的长为，
．
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，点 把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项
（即点 是线段 的黄金分割点）．如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线
段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割的定义结合已知条件得 ，即
可得出结论．
【详解】解：∵点 把线段 分成两部分，且 为 与 的比例中项，
∴： ，
∴ ，
第 12 页 共 91 页故答案为： ．
14．（2025·江西九江·模拟预测）主持人现站在舞台 的一端 处，在主持节目时，站在舞台的黄金分
割点点 处方可获得最佳美学效果（ ），若舞台 长 米，则 米．（别忽视括号
内的条件哟！）
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割点的相关计算，以及一元一次方程的运用，熟记黄金分割比是解题关键．
由黄金分割比列方程解答即可．
【详解】解：∵点 是舞台 的黄金分割点（ ）， 米，
∴依题意得， ，
解得 ．
故答案为： ．
15．（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优
选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为
上下两部分，其中E为边 的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为
米．
【答案】 /
【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得 ，代入数值得出答案．
【详解】∵点E是AB的黄金分割点，
∴ ．
∵AB=2米，
第 13 页 共 91 页∴ 米．
故答案为：（ ）．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．
考点3相似图形
16．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面
上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化
石的长度分别为 和 ，笔的实际长度为 ，则该化石的实际长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为 ，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】设该化石的实际长度为 ，依题意，
，
解得：
故选：C．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、
乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，
进行判断即可．
第 14 页 共 91 页【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大
小不同，是相似形．
故选D．
18．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角
三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则
两个图形对应边不成比例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应
边成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，
A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似；
B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形．
故选：D．
19．（2025·贵州·中考真题）如图，已知 ，若 ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选C．
第 15 页 共 91 页考点4相似三角形的性质与判定
20．（2025·云南·中考真题）如图，在 中，已知 分别是 边上的点，且 ．若
，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
由 证 ，利用相似三角形对应边成比例，结合 ，得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
故选：A．
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是 和 ，并且它们的周长之和
为 ，那么较小三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为 和 确定相似比，相似三角形的周长比
等于相似比，再根据周长之和为 即可求解．
【详解】解： 两个相似三角形的最长边分别为 和 ，
相似比为 ，
较大三角形与较小三角形的周长比为： ，
第 16 页 共 91 页它们的周长之和为 ，
较小三角形的周长为： ，
故选：B．
22．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的延长线
交 的延长线于点G， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，设 为x可得 ，解之即可．
【详解】∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 为x，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
得 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
23．（2024·重庆·中考真题）如图，在 中，延长 至点 ，使 ，过点 作 ，且
，连接 交 于点 ．若 ， ，则 ．
第 17 页 共 91 页【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证 ，进而得 ， ，再证明
，得 ，从而即可得解．
【详解】解：∵ ，过点 作 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的
判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题
的关键．
24．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形 中， ， 是 边上的三等分点，连接 ， 相交
于点 ，连接 ．若 ， ，则 的值是（ ）
第 18 页 共 91 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．根据矩形的性质，证明 ，得到 ，然后过点 作 ，得到
，根据相似三角形对应边成比例分别求出 的长，进而求出 的长，再利用正切
的定义求解即可．
【详解】解：∵矩形 ， ， 是 边上的三等分点， ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
25．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上，
，则 的面积为（ ）
第 19 页 共 91 页A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关
键．
根据四边形 为正方形，得出 ， ，勾股定理求出 ，
证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，即可求出 的面积．
【详解】解：∵四边形 为正方形，
∵ 为 的中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
26．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形 沿 折叠，使得点 与对角线的交点 重合，
为折痕，则 的值为（ ）
第 20 页 共 91 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这
些知识点是解题关键.
根据折叠得出 ， ，利用相似三角形的判定和性质得出 ，再由正
方形的性质求解即可.
【详解】解：∵正方形 沿 折叠，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D.
27．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形 中，E为边 的中点，连接 ，将 沿
翻折，得到 ，连接 ，则下列结论不正确的是（ ）
第 21 页 共 91 页A． B．
C． 的面积 的面积 D．四边形 的面积 的面积
【答案】D
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点 作 ，
分别交 、 于点 、 ，由折叠的性质得 ，求得 ，推出 ，
由 是 的外角，可求得 ，即可判断选项A；设 ，
，则 ， ，证明 ，利用相似三角形的性质列式求得 ，
求得 ， ， ，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项．
【详解】解：过点 作 ，分别交 、 于点 、 ，
由折叠的性质得 ， ，
∵E为边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∵正方形 ，
∴ ， ，
设 ，
第 22 页 共 91 页∵E为边 的中点，
∴ ，
由折叠的性质得 ， ， ，
∵ ，
∴四边形 和 为矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵ 的面积 ， 的面积 ，
∴ 的面积 的面积，故选项C正确，不符合题意；
∵四边形 的面积等于 的面积 的面积 ，
的面积 ，
∴四边形 的面积 的面积，故选项D不正确，符合题意；
故选：D．
28．（2025·江西·中考真题）如图， 是面积为1的等边三角形，分别取 的中点得到
；再分别取 ， ， 的中点得到 ；…依此类推，则 的面积为（ ）
第 23 页 共 91 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到
，相似比 ， 的面积 ， 的面积 ，总结规律，根据规
律解答即可．
【详解】解： 点 、 、 分别为等边 的边 的中点，
， ， ，
，相似比 ，
的面积为1，
的面积 ，
同理， 的面积 ，
则 的面积 ，
故选：C．
29．（2025·青海·中考真题）如图，在 中， ，且 ， ，则 的值是 ．
第 24 页 共 91 页【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由 ，可得 ，根据相似三角形性
质得 ，然后把 ， 代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
30．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中， ，点D在 边上， ， ，
，则 的值为 ；点E在 的延长线上，连接 ，若 ，则
的长为 ．
【答案】 4 /
【分析】作 ，垂足分别为 ，易得四边形 为矩形，得到
，证明 为等腰直角三角形，得到 ，三线合一得到 ，
第 25 页 共 91 页，证明 ，得到 ，设 ， ，求出
的长，正切的定义求出 ，勾股定理求出 的值，进而求出 的值，证明
，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：作 ，垂足分别为 ，则四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ， ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，由勾股定理，得： ，
∴ （负值舍去），
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
第 26 页 共 91 页∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ；
故答案为：4， ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相
似三角形，是解题的关键．
31．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ， ，点
在边 上， ，连接 ，且 ．点 在 的延长线上，连接 若 ，则
线段 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性
质，延长 交 延长线于点 ，过 作 于点 ，则 ，由三线合一性质可得
，然后证明四边形 是矩形，所以 ， ，又 ，
则可证 ，所以 ，求出 ，然后通过平行线的性质和等角对等边可得
，设 ，则 ， ，最后通过勾股定理求出
第 27 页 共 91 页的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 交 延长线于点 ，过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
第 28 页 共 91 页∴ ，解得： ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
32．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 的长为 ， 是 的中
点， 是 上一点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题
的关键．连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，利用四边形 是菱形，得出
， ， ，得出 ， ，即可证明
，即可计算出 ， ，求出 ，再利用勾股定
理即可求解．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
第 29 页 共 91 页∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
33．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知 中， ， ， ，点M是 内
部一点，连接 、 、 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出 .
在 上取点 ，使 ，构造出 ，得 ，再根据两点之间线段最短得出即当
在 上时， 取最小值.
【详解】解：在 上取点 ，使 ，
第 30 页 共 91 页又∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即当 在 上时， 取最小值，为 .
故答案为 .
34．（2025·上海·中考真题）在平行四边形 中， ， 分别为边 ， 上两点．
(1)当 是边 中点时，
①如图（1），联结 ，如果 ，求证： ；
②如图（2），如果 ，联结 ， 交边 于点 ，求 的值；
(2)如图（3）所示，联结 ， ，如果 ， ， ， ．求 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①延长 交于H，可证明 ，得到 ，则
第 31 页 共 91 页可证明 ，得到 ，则 ；
②如图所示，延长 交于M，由平行四边形的性质得到 ， ，证明
， ，得到 ， ，则
；设 ，则 ， ，进而可得
，即可得到 ；可证明 ， ，设
，则 ，则 ，据此可得答案；
（2）延长 交于M，由平行四边形的性质可得 ， ，证明 ，
，再证明 ，得到 ，求出 ，设
，则由相似三角形的性质可得 ， ，进而可得
；再由 ，得到 ，则 ，解方程即可
得到答案．
【详解】（1）解：①如图所示，延长 交于H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 32 页 共 91 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图所示，延长 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是边 中点，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解；如图所示，延长 交于M，
第 33 页 共 91 页∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 或 （舍去），
∴ ．
第 34 页 共 91 页【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等
腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
35．（2025·四川成都·中考真题）如图，在 中，点 在 边上，点 关于直线 的对称点 落
在 内，射线 交射线 于点 ，交射线 于点 ，射线 交 边于点 ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时，点 在 延长线上，求证： ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若 ， ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当 时，点 在 边上，若 ，求 的值．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）
【分析】（1）由折叠的性质得： ，再结合平行四边形的性质可得 ，
然后根据三角形内角和定理可得 ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ，可证明 ，从而得到
，再由折叠的性质得： ，再根据 ，可得 ，即可
求解；
（3）延长 交于点 ，设 ， ，证明 得出 ，证明
得出 ，证明 得出 ，进而求得 ，根据
第 35 页 共 91 页得出 ，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：（1）由折叠的性质得： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ；
第 36 页 共 91 页（3）解：如图，延长 交于点 ，
设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴
∵ ，即
∴
∴ 即
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
第 37 页 共 91 页∴ 即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的
性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
36．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 ，面积为 ．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积
与 的长 之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
第 38 页 共 91 页【答案】(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中， ，当 时，长方形的面积有最大值为 ；在图4中，
，当 时，长方形的面积有最大值为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出 ，再运用正方形的性质分别证明
， ， ，然后代入数值化简得 ，进
行计算得 ，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明 ，则长方形的面积 ，结合二次函
数的图象性质得当 时，长方形的面积有最大值为 ．，然后证明 ，
，再把数值代入长方形的面积 ，化简得 ，结合二次
函数的图象性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵ ，面积为 ，
∴ ，
第 39 页 共 91 页∴ ．
设正方形的边长为 ，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，
∵
∴
得 ，
即 ，
解得 ．
∵四边形 是正方形
∴ ，
∴
∴ ，
得 ，
即 ，
∴ ．
，
∵
∴ ，
得 ，
即 ，
解得 ．
∵ ，
∴图1的正方形面积较大．
第 40 页 共 91 页（2）解：∵四边形 是长方形
∴ ， ，
∵
∴ ；
得 ，
则 ， ，
∴长方形的面积 ，
∵
∴开口向下，
当 时，长方形的面积有最大值为 ．
在图4中，同理得 ，
得 ，
∴ ， ，
同理得 ，
得 ，
则 ，
∴长方形的面积 ，
∵
∴开口向下，
∴当 时，长方形的面积有最大值为 ．
37．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点 是线段 的中外比点， ， ，求 的长．
第 41 页 共 91 页(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点 把线段 分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点 在第一象限内，反比例函数 的图象分别与矩形 的边 ， 相
交于点 ， ，与对角线 相交于点 ．当 是等腰直角三角形时，探究点 ， ， 是否分别
为 ， ， 的中外比点，并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)当 是等腰直角三角形时，点 ， ， 分别为 ， ， 的中外比点，证明过程见解析
【分析】（1）设 ，根据题意 ，得 ，解分式方程，即可求解；
（2）①作线段 的垂直平分线 ，交 于点 ；②过点 作 ，且 ；③连接 ；
④以点 为圆心， 为半径，画弧，交 于点 ；⑤以点 为圆心， 为半径，画弧，交 于点 ，
点 即为线段 的中外比点．
设 ，根据勾股定理求得 ，继而求得 ， ，分别代入
、 ，即可求证点 为线段 的中外比点；
（3）当 是等腰三角形时，点 、 、 分别为 ， ， 的中外比点，分三种情况讨论：①
当 时，证得 ，设点 ，则 ，根据点 、 在反比例函
数 的图象上，可构建方程 ，解得 ，分别求得 、 、
第 42 页 共 91 页、 、 、 的值，即可求证．设直线 的函数解析式为 ，利用待定系数法求得
直线 的函数解析式为 ，联立方程组，求得点 的坐标，即可求证；②当 ，同
理可证点 ， ， 分别为 ， ， 的中外比点；③当 ，则点 、 分别位于 轴、
轴上，与反比例函数不符．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
根据题意，得： ，即 ，
整理，得： ，解得： ， ，
，
舍去，
．
（2）解：如图所示，点 为所求．
设 ，
根据题意，得： ， ，
，
， ，
， ，
，
第 43 页 共 91 页点 为线段 的中外比点．
（3）解：当 是等腰三角形时，点 、 、 分别为 ， ， 的中外比点，理由如下：
第一种情况：当 ，则 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设点 ，
， ，则 ，
点 、 在反比例函数 的图象上，
得： ，
由①得： ，将其代入②，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
， （舍去），
， ， ，
， ， ，
， ， ，
第 44 页 共 91 页， ，
， ，
， ，
点 、 为 、 的中外比点．
点 在反比例函数 的图象上， ，
，
反比例函数为 ，
，
设直线 的函数解析式为 ，
将点 ， 代入，得： ，
直线 的函数解析式为 ，
联立方程组 ，解得： ，
，
，
点 为 的中外比点．
第 45 页 共 91 页第二种情况：当 ，则 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设点 ，
， ，则 ，
点 、 在反比例函数 的图象上，
得： ，
由①得： ，将其代入②，得： ，
整理，得： ，
解得： ，
， （舍去），
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
点 、 为 、 的中外比点．
第 46 页 共 91 页点 在反比例函数 的图象上， ，
，
反比例函数为 ，
，
设直线 的函数解析式为 ，
将点 ， 代入，得： ，
直线 的函数解析式为 ，
联立方程组 ，解得： ，
，
，
点 为 的中外比点．
第三种情况：当 ，则点 、 分别位于 轴、 轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不
存在．
综上所述，当 是等腰直角三角形时，点 ， ， 分别为 ， ， 的中外比点．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角
形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例
函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题
关键．
38．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
第 47 页 共 91 页（1）如图1，点A， 在直线 上， ， ，垂足分别为A， ，点 在线段 上，且
，垂足为 ．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明： ， ， ，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A， 在直线 上，点 在线段 上，且 ．结论
仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在 中， ， ，点 和点 分别是线段 ， 上的动点，始终满
足 ．设 长为 ，当 时， 有最大值是 ．
【答案】（1） ； ； ； ； ； ；（2）成立，见解析；（3）4，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数
最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）先根据余角性质证明 ，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明 得
出 ，进而即可证明结论；
（2）先证明 ，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明 ，得出 ，
进而完成解答；
第 48 页 共 91 页（3）先根据等腰三角形性质得出 ，证明 ，得出 ，即 ，求
出 ，然后根据二次函数性质求最大值即可．
【详解】证明： ， ， ，
，
，
，
，（同角的余角相等）
∴ ，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
故答案为： ； ； ； ； ； ；
（2）成立，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
．即 ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵设 长为 ，则 ，
∴ ，解得：
第 49 页 共 91 页，
∵ ，
∴当 时， 有最大值 ．
故答案为：4， ．
39．（2025·内蒙古·中考真题）如图， 是一个平行四边形纸片， 是一条对角线， ，
．
(1)如图1，将平行四边形纸片 沿 折叠，点 的对应点落在点 处， 交 于点 ．
①试猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②求 的面积；
(2)如图2，点 ， 分别在平行四边形纸片 的 ， 边上，连接 ，且 ，将平行四
边形纸片 沿 折叠，使点 的对应点 落在 边上，求 的长．
【答案】(1)① ，理由略；②
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角函数，相似
三角形的判定与性质，勾股定理。熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）①由翻折得 ， ，利用四边形 是平行四边形，可证明 ，
，再证明 ，即可求证；
②由 ，得 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，利用等
腰三角形性质得 ，求出 ，可得 ，利用勾
第 50 页 共 91 页股定理求出 ，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，由翻折的性质得
，同（2）可得 ，利用 ，求出 ，可得
，证明 ，得出 ，求出 ，证明
，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：①由翻折得 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
②由 ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 51 页 共 91 页∴ ；
（2）解：过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
由翻折的性质得 ，
同（2）可得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
得 ，
∴ ，
∵平行四边形 中， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
第 52 页 共 91 页解得： ．
40．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线 交x轴于点 ，点B，交y轴于点C．
点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线 上．点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
(2)连接 ，点M是线段 上一动点，连接 ，作射线 ．
①在射线 上取一点F，使 ，连接 ．当 的值最小时，求点M的坐标；
②点N是射线 上一动点，且满足 ．作射线 ，在射线 上取一点G，使 ．连接
， ．求 的最小值；
(3)点P在抛物线 的对称轴上，若 ，则点P的坐标为___________．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
(3) 或
【分析】（1）令 ，则 ，得到 ，根据平移得到 ，进而根据抛物线
过点 ， ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为 ．将解
析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标；
（2）①当点O，M，F三点共线时， 为最小值．对于抛物线 ，令 ，求出
第 53 页 共 91 页，进而可得直线 的解析式为 ．由点F在射线CD上， ，得到 ，从而
可得直线 的解析式为 ．解方程组 即可解答；
②由 ， ，得到 是等腰直角三角形，从而 ．连接 ， ，由两点间
距离公式可得 ， ，从而 ，即可得到 是等腰直角三角形，因此
，从而证得 ，得到 ，进而有 ．证
明 ，根据勾股定理求出 ，即可解答．
（3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点 ，连接 ，得到 是等腰直角三角形，
，即可推出 ．过点A作 于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则
，从而 ，得到 ．根据 的面积求得 ，进而在
中， ，把相关数据代入 ，即可求得 ，从而 ．②
当点P在x轴下方时，由对称性可得 ．即可解答．
【详解】（1）解：对于抛物线 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵点C向右平移2个单位长度，得到点D，
∴ ，
∵抛物线 过点 ， ，
∴ ，解得 ，
第 54 页 共 91 页∴抛物线的解析式为 ．
∵ ，
∴抛物线的顶点E的坐标为 ．
（2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时， 为最小值．
对于抛物线 ，令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
设过点 ， 的直线解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵点F在射线 上， ， ，
∴ ，
∴由点 ， 可得直线 的解析式为 ，
第 55 页 共 91 页解方程组 得 ，
∴当 的值最小时，点M的坐标为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ 轴，即 ，
第 56 页 共 91 页∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
（3）解：①当点P在x轴上方时，
取点 ，连接 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
过点A作 于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
第 57 页 共 91 页即 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当点P在x轴下方时，由对称性可得 ．
综上所述，点P的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的
判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识
是解题的关键．
41．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 为线段 上一动点，点 为射
线 上的一点（点 与点 不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点 与线段 的中点 重合，则 度，线段 与线段 的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 运动过程中，点 在线段 上，且 ，探究线段 与线段
第 58 页 共 91 页的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 运动过程中，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，射线 交射线 于点 ，若
，求 的长．
【答案】（1） ， ；（2） ，理由见解析；（3） 的长为 或 .
【分析】（1）根据菱形的性质证明 为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案；
（2）如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，证明 为等边三角形，可得
， ，求解 ， ，
，可得 ，进一步可得结论；
（3）如图，当 在线段 上，记 与 交于点 ，证明 ，可得 ，设 ，
则 ，可得 ，证明 ，再进一步解答即可；如图，当 在线段 上时，
延长 交 于 ，同理可得： ，设 ，而 ，则 ，
可得 ，证明 ，再进一步可得答案.
【详解】解：（1）∵在菱形 中，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵点 与线段 的中点 重合，
∴ ， ；
（2）如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
第 59 页 共 91 页∴ ， ，
∵点 在线段 上，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，当 在线段 上，记 与 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
第 60 页 共 91 页∴ ，
如图，当 在线段 上时，延长 交 于 ，
同理可得： ， ，
∴ ，
设 ，而 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
综上： 的长为 或 .
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，
含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
42．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在 与 中， 与 相交于点
， ，求证： ；
（2）如图2，将图1中的 绕点 逆时针旋转得到 ，当点 的对应点 在线段 的延长线
上时， 与 相交于点 ：若 ，求 的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，连接 ，求
的面积．
第 61 页 共 91 页【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）利用等边对等角求得 ，再利用 证明 即可；
（2）由题意得 ，得到 ， ， ，作 于点 ，
利用直角三角形的性质结合勾股定理求得 ， ，证明 ，推出
，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设 ，由旋转的性质得 ，则 ，利用三角形内角和定理以及平
角的性质求得 ， ，推出 ，求得
，作 于点 ，求得 ，再求得 ，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，即 ，
∴ ， ， ，
作 于点 ，
第 62 页 共 91 页∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）设 ，
由旋转的性质得 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
第 63 页 共 91 页∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，即 ，
∴ ．
43．（2025·四川南充·中考真题）矩形 中， ，点E是线段 上异于点B的一个
动点，连接 ，把 沿直线 折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为 的中点时，延长 交 于点F，求证： ．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段 上， ．点E在移动过程中，求 的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N在线段 上， ．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当
是以 为斜边的直角三角形时，求 的长．
第 64 页 共 91 页【答案】（ ）详见解析；（ ） ；（ ）
【分析】（1）连接 ，证明 ，即可求证；
（2）根据题意得点 在以 为圆心，10为半径的 的弧上． 连接 ，当点 在线段 上时，
有最小值．根据勾股定理求出 ，即可求解；
（3）过点 作 于 ，交 于点 ，证明 ，可得 ，设 ，
，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到 ， ． ， ，
． 设 ，则 ， ．在 中，根据勾股定理求出 ，即可求
解．
即 的长为5．
【详解】（1）证明：连接 ，
由折叠可得 ， ．
∵四边形 为矩形， ．
∵ 为 的中点， ，
∴ ．
在 与 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴
（2）解： ，点 在移动过程中， 不变．
第 65 页 共 91 页∴点 在以 为圆心，10为半径的 的弧上．
连接 ，
当点 在线段 上时， 有最小值．
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（3）解：过点 作 于 ，交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
设 ， ，
∴ ， ．
∵ ，
第 66 页 共 91 页∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
∴ ， ． ， ， ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ．
解得， ，
即 的长为5．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
44．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于 ，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD
相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
第 67 页 共 91 页【分析】（1）利用 得 ，结合同弧 所对圆周角 ，再根据三角
形外角性质 ，完成证明 ．
（2）先证 得 ，再通过角的等量代换证 ，推出 ，
从而得 ．
（3）利用（2）结论将 周长转化为 ，通过相似三角形 及三角函数、勾股定理求
出 的长，即 周长为 ．
【详解】（1）证明： ，
．
，
，
．
，
．
（2）证明： ，
．
，
，
又 ，
，
，
．
由（1）知， ，
第 68 页 共 91 页又 ，
，
．
，
．
∵ ，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知， ，
的周长为 ．
设 ，则 ．
由（2）可知， ．
又 ，
，
，
，
．
又 ，
，
．
过点C作 ，垂足为P，则 ．
第 69 页 共 91 页四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
，
．
在 中， ，即 ．
，
，
，
．
在 中， ，
，
解得 ，或 （舍去）．
．
的周长为 ．
【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相
似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导．
45．（2025·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图，在 纸片中， ，点D在边 上， ．沿过点D的直线折叠该纸
片，使 的对应线段 与 平行，且折痕与边 交于点E，得到 ，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边 的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点 落在射线 上，且折痕与
边 交于点F，然后展平．连接 交边 于点G，连接 ．
第 70 页 共 91 页①若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长
【答案】（1）四边形 是菱形，理由见解析；（2）① ．理由见解析；②5或
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ，再根据平行线的性质可得
，进而得到 ，由等角对等边推出 ，从而证明
，即可四边形 是菱形；
（2）①由（1）推出 ，由折叠的性质得到 ，结合已知可得 ，
进而推出 ，得到 ，再根据三角形内角和定理即可求出 ，即
可得到 与 的位置关系；②分 是以 为腰 为底的等腰三角形和 是以 为腰
为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长 交 于点H，设 交点为 ，利用三角形
相似的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）证明：① ，理由如下：
由（1）知四边形 是菱形，
∴ ，
由折叠的性质得到 ，
∵ ，
第 71 页 共 91 页∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
解：②∵ ， ， ，
∴ ，
当 是以 为腰 为底的等腰三角形时，如图，延长 交 于点H，设 交点为 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得 ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
第 72 页 共 91 页∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 是以 为腰 为底的等腰三角形时，如图，则 ，
同理得 ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 73 页 共 91 页∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是以 为腰 为底的等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性
质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想
是解题的关键．
考点5相似三角形的实际应用
46．（2023·江西·中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直
角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 ，
， 在同一水平线上， 和 均为直角， 与 相交于点 ．测得
，则树高 m．
第 74 页 共 91 页【答案】
【分析】根据题意可得 ，然后相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 和 均为直角
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
47．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动
体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可
见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力
臂 ，阻力臂 ， ，则 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比
例求得 的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式．
【详解】解： ， ，
，
，
第 75 页 共 91 页，
∵动力臂 ，阻力臂 ，
，
，
的长为 ．
故选：B．
48．（2023·山东潍坊·中考真题）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所
示， 表示塔的高度， 表示竹竿顶端到地面的高度， 表示人眼到地面的高度， 、 、
在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知 米， 米， 米， 米，
人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为
米．
【答案】 /
【分析】如图，过 作 于 ，交 于 ，可得 ，证明 ，可得
，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ，交 于 ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
第 76 页 共 91 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，经检验符合题意；
∴ （米）；
故答案为：
【点睛】本题考查的是相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
49．（2021·吉林·中考真题）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝
旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
【答案】2.7
【分析】根据 ，可得 ，进而得出 即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
50．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆 的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在
第 77 页 共 91 页灯光下的影长 米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是
（ ）
A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，
根据题意得到 ，证明 ，得到 ，由
推出 ，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为 ，连接 并延长交 于点G，
根据题意得到 ，
，
，
，
，
，
米，
，
返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，
故选：D．
51．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
第 78 页 共 91 页方案一：如图（1），测得 地与树 相距10米，眼睛 处观测树 的顶端 的仰角为 ：
方案二：如图（2），测得 地与树 相距10米，在 处放一面镜子，后退2米到达点 ，眼睛 在镜
子 中恰好看到树 的顶端 ．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树 的高度．（结果保留整数， ）
【答案】树 的高度为8米
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题．
方案一：作 ，在 中，解直角三角形即可求解；
方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可．
【详解】解：方案一：作 ，垂足为 ，
则四边形 是矩形，
∴ 米，
在 中， ，
∴ （米），
树 的高度为 米．
方案二：根据题意可得 ，
∵ ，
∴
∴ ，即
解得： 米，
答：树 的高度为8米．
52．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位
第 79 页 共 91 页于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动
测量纪念碑的高度
主题
实物
图和
测量
示意
图
如图，纪念碑 位于有台阶的平台 上，太阳光下，其顶端 的影子落在点
测量 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的影子落在点 处，位于点 处
说明 的观测者眼睛所在位置为点 ，点 在一条直线上，纪念碑底部点 在观
测者的水平视线上．
测量
数据
备注 点 在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)由标杆的影子 的长和标杆 的长相等，可得 ，请说明理由．
(2)求纪念碑 的高度．
(3)小红通过间接测量得到 的长，进而求出纪念碑 的高度约为 ．查阅资料得知，纪念碑的实
际高度为 ．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出
一条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)纪念碑 的高度为 ．
(3)小红的结果误差较大，理由见解析
【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定
和性质是解题关键．
（1）根据平行投影的性质可得 ，即可证明结论；
（2）令 与 的交点为 ，则四边形 和 是矩形，设 ，证明 ，得到
，求出 的值即可；
（3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可．
【详解】（1）解： 太阳光下，其顶端 的影子落在点 处，同一时刻，竖直放置的标杆 顶端 的
影子落在点 处，
第 80 页 共 91 页，
标杆的影子 的长和标杆 的长相等，即 ，
；
（2）解：如图，令 与 的交点为 ，
则四边形 和 是矩形，
， ， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
答：纪念碑 的高度为 ．
（3）解：纪念碑的实际高度为 ，小红求出纪念碑 的高度约为 ，（2）中纪念碑 的高度
为 ，
则小红的结果误差较大，
理由是：纪念碑 位于有台阶的平台 上，点 的位置无法正确定位，使得 的长存在误差，影响
计算结果．
第 81 页 共 91 页考点6位似与位似图形
53．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在 的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将 以
点O为位似中心放大后得到 ，则 与 的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到 以点O为位似中心放大2倍后得到 是解题
的关键；
根据题意可得 以点O为位似中心放大2倍后得到 ，再根据位似图形的性质求解即可.
【详解】解：根据题意可得： 以点O为位似中心放大2倍后得到 ，
∵ ，
∴ 与 的周长之比是 ；
故选：B.
54．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
已知点 的坐标分别为 ．若 的长为3，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角
形的判定与性质是解题的关键．
根据位似图形的性质得到 ，证明 ，即可求解．
第 82 页 共 91 页【详解】解：∵五边形 是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点 的坐标分别为
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
55．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图， 与 是位似图形，点 为位似中心．已知
，则 与 的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据题意得到 ，得出 ，得到 与 的相似比为 ，即可得到答案．
【详解】解： 与 是位似图形， ，
，
，
与 的相似比为 ，
故选：A．
56．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中， 与 位似，位似中心是
原点O，已知 ，则 的对应点 的坐标是（ ）
第 83 页 共 91 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵ 与 位似，位似中心是原点O，
∴位似比为 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故选：B．
57．（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ，
，以原点 为位似中心，在第三象限画 与 位似，若 与 的相似比为
，则点 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相
似比为 ， ，直接利用相似比可得出坐标．
【详解】解：∵ 与 位似，相似比为 ，
第 84 页 共 91 页∴ ，
∵ ，位似中心为原点 ，
∴ ，
故选：B．
58．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形 各顶点的坐标分别为 ， ， ，
，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意 横纵的坐标乘以 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象
限对应点的坐标是
故选：D．
59．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点
．若点 的对应点为 ，则点 的对应点 的坐标为（ ）
第 85 页 共 91 页A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点 的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变
换的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 是位似图形，点 的对应点为 ，
∴ 与 的位似比为 ，
∴点 的对应点 的坐标为 ，即 ，
故选： ．
60．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图， 与 位似，位似中心是点O，若 ，则
与 的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到 △ ， ，进而得出 △ ，根据相似
三角形的性质解答即可．
第 86 页 共 91 页【详解】解： 与△ 位似，
△ ， ，
△ ，
，
与△ 的周长比为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对
应边平行是解题的关键．
61．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面
时，在点光源 的照射下形成的投影是 ，若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵一块面积为 的三角形硬纸板（记为 ）平行于投影面时，在点光源 的照射
下形成的投影是 ， ，
∴ ，
∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为 ，
∵三角形硬纸板的面积为 ，
第 87 页 共 91 页∴ ，
∴ 的面积为 ．
故选：D．
62．（2025·广东·中考真题）如图，把 放大后得到 ，则 与 的相似比是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把 放大后得到 ，则 与
位似，从而得到 与 的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即 ，从
而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键．
【详解】解：把 放大后得到 ，则 与 位似，
与 的相似比为 ，
故答案为： ．
63．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把 以原点 为位似中心放大，得到
．若点 和它的对应点 的坐标分别为 ， ，则 与 的相似比为
．
【答案】 /
【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 是解答此题的关键．
根据坐标与图形的性质进行解答即可．
【详解】解：把 以原点为位似中心缩小得到 ，点 和它的对应点 的坐标分别为 ，
第 88 页 共 91 页，
则 与 的相似比为 ，
故答案为： ．
64．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 的顶点 的
坐标为 ．以点 为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧；以点
为位似中心作 与 位似，相似比为2，且与 位于点 同侧……按照以上规律作图，
点 的坐标为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距
离得出 进而得出 ，求得直线 的解析式，根据 ，即可求
解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 ，
第 89 页 共 91 页∴
解得：
∴
设
∴
解得： （舍去）
∴
故答案为： ．
65．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标
系 ， 的顶点和 均为格点（网格线的交点）．已知点A和 的坐标分别为 和 ．
(1)在所给的网格图中描出边 的中点D，并写出点D的坐标；
(2)以点O为位似中心，将 放大得到 ，使得点A的对应点为 ，请在所给的网格图中画出
．
第 90 页 共 91 页【答案】(1)图见解析；
(2)图见解析
【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是
解题的关键．
（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；
（2）根据点A和点 的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以 即可得到 的坐标，描出
，并顺次连接 即可．
【详解】（1）解：如图所示，点D即为边 的中点，
∵ ，
∴点D的坐标为 ．
（2）解：如图所示， 即为所求作的三角形．
第 91 页 共 91 页
