文档内容
第 18 讲 锐角三角函数
第一部分：知识点梳理
知识点一 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
正弦：sinA= ；
余弦：cosA= ；
正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
知识点二 特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
知识点三 解直角三角形
1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知
元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
①三边关系：a2+b2=c2； ②两锐角关系：∠A+∠B=90°；
③边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ； ④sin2A+cos2A=1．
3.科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
知识点四 解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
第 1 页 共 19 页仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i = ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则i=tanα= ．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
如图，点OA、OB、OC方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向)
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的三角函数sin、cos、tan，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
第 2 页 共 19 页第二部分：考点突破
考点1三角函数的定义
1．（2025·云南·中考真题）如图，在 中， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高 长为10米，斜道 长为30米，则
的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2025·广西·中考真题）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·云南·中考真题）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，有三点 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形 中， ，点 ， 分别在边 ，
上．连接 ，将四边形 沿 翻折，点 ， 分别落在点 ， 处．则 的值是（ ）
第 3 页 共 19 页A．2 B． C． D．
7．（2022·山东滨州·中考真题）在 中， ，则 ．
8．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用公式为：弧田面积 （弦 矢＋矢 ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，
公式中“弦”指圆弧所对弦长 ，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，
“弦”为8，“矢”为2，则 的值为 ．
9．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，点 在 轴上，且满足 ，则 的长为 ．
10．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O， ．
(1)求证： ；
(2)点E在 边上，满足 ．若 ， ，求 的长及 的值．
考点2特殊角的三角函数值
第 4 页 共 19 页11．（2023·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
12．（2025·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
13．（2024·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数
是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
15．（2020·辽宁沈阳·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为
半径画弧交边 于点 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·广东·中考真题）计算 的结果是 ．
17．（2025·北京·中考真题）计算： ．
18．（2025·青海·中考真题）计算：
第 5 页 共 19 页19．（2025·四川南充·中考真题）计算： ．
20．（2025·湖南·中考真题）计算： ．
21．（2025·四川遂宁·中考真题）计算： ．
22．（2025·四川凉山·中考真题）计算：
23．（2024·西藏·中考真题）计算： ．
考点3三角函数与解直角三角形
24．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在 中， ， 以点A 为圆心， 小于 的长为
半径作弧分别交 ， 于点 M，N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于点 P，作射线 ，交 于点 D， 过点 D作 交 于点 E， 若 则 的
长为 （ ）
A． B． C． D．4
第 6 页 共 19 页25．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 为 上的点，
且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ， ，过点A作直线
，点 是直线 上一动点，连结 ，过点 作 ，连结 使 ．当 最短时，
则 的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
27．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形 中，点E，F，M分别在 ， ， 边上，
分别交对角线 、线段 于点G，H，且 是 的中点．若 ，则
的长为 ．
28．（2025·陕西渭南·三模）如图， 为正六边形 的一条对角线，过点 作 于点 ，
若正六边形的边长为 ，则 的长为 ．
29．（2025·云南昆明·三模）如图，分别以线段 的两个端点为圆心，大于 为半径面弧，交于 ，
两点，作直线 ，在 上取点 （点 不在线段 上），连接 ， ，已知 ，
第 7 页 共 19 页，则 的长为 ．
30．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，则点 对应点的坐标为 ．
31．（2025·天津·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ．
（1）线段 的长为 ；
（2） 为 的中点， 为 的中点， 为 上一点，若 ，则线段 的长为
．
32．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上运动（不与点A、D重
合）， ，点F在射线 上，且 ，连接 ，交 于点G，连接
．下列结论：① ；② ；③ 的面积最大值是2；④若
，则点G是线段 的中点．其中正确结论的序号是 ．
第 8 页 共 19 页33．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口 位于岛 的北偏西 方向，灯塔 在岛 的正东方向，
，一艘海轮 在岛 的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上， ．
(1)求岛 与港口 之间的距离；
(2)求 ．
（参考数据： ， ， ）
34．（2025·安徽滁州·三模）如图是一种机器零件的左视图的大致图形，测得 ，
， ， ，求点 到直线 之间距离 的长．（结果精确到
0.1，参考数据： ）
35．（2025·陕西·中考真题）如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与
相交于点 ， 为⊙ 的直径， 与 相交于点 ， ．
第 9 页 共 19 页(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
36．（2025·山东烟台·中考真题）如图， 内接于 ， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ， 时，求 的长及 的半径．
考点4三角函数的实际应用
37．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达海拔高度为 米
的点 处．测得山峰顶端 的仰角为 ．则 、 两点之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
38．（2025·山东东营·中考真题）如图为一节楼梯的示意图， ， ， 米．现要
在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
第 10 页 共 19 页A． B． C． D．
39．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测
得潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
40．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高 ，坡面 的坡度为 ，
则 的长为（ ）
A． B． C．5m D．
41．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取一点 ，在 处测得
， ，则树 的高约为 （结果精确到 ．参考数据： ，
）．
42．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测
第 11 页 共 19 页到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为 ，从点A观测点P的仰角为
，则A处到B处的距离为 ．
43．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描
仪（线段 ）的竖直高度2.7米，某人（线段 ）身高为1.8米，扫描仪测得 ，那么该人与扫
描仪的水平距离为 米．（备用数据： ， ， ，精确到 米）
44．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端 ， 的距离不易测量，某科技小组需要用
无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面 的点 处．从 点测得 点的俯角为 ，测得
点的俯角为 （ ， ， 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为 （结果
保留根号）．
45．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度 （斜面坡度
是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比），堤坝高 ，则迎水坡面 的长度是 ．
46．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 的长都为 ，当
时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到 ，参考依据： ，
， ）
第 12 页 共 19 页47．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽
度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭
望台正对岸A处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ，
， ， 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为 米．（参考数据： ，
， ）
48．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱 和 分别垂直地面水平线 于点
， ， 分米， ．在点 ， 之间的晾衣绳上有固定挂钩 ， 分米，一件连衣裙
挂在点 处（点 与点 重合），且直线 ．
(1)如图1，当该连衣裙下端点 刚好接触到地面水平线 时，点 到直线 的距离 等于12分米，求
该连衣裙 的长度；
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩 处再挂一条长裤（点 在点 的右侧），
若 ，求此时该连衣裙下端 点到地面水平线 的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考
数据： ， ， ）
49．（2025·青海·中考真题）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了
其秘密：当支架与地面形成 夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了
智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成 夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的
夹角均为 ．
第 13 页 共 19 页环节二：数学抽象
如图：已知线段 与 交于点 ， ， 与直线 分别交于点 ， ， ，
， ， ，求 的长度．（结果精确到0.1，参考数据：
， ， ）
【模型求解】
【问题总结】
交叉点 距顶端 的长度即 为______ 时，支架与地面形成 夹角，这样更贴合作物的生长规律．
50．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计
示意图如图②所示，已知 ，该地冬至正午太阳高度角 为 ．如果你是建筑设计师，
请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，
需将活动中心沿 方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据： ．结果保留小数点后一位）
51．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人
机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的 处，工作人员所乘小船在 处测得无人机的
仰角为 ，当工作人员沿正前方向划行 米到达 处，测得无人机的仰角为 ，求无人机离湖面的高
度（结果不取近似值）
第 14 页 共 19 页52．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路
a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点
D．经测得景点C位于景点B的北偏东 方向上，位于景点A的北偏东 方向上，景点B位于景点D
的南偏西 方向上．已知 ．
(1)求 的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
53．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角 中， ， ， 的对边长分别为 ， ， ，则有 ．这是解
三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局
部平面示意图，现需要知道湖中 ， 两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该
小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
第 15 页 共 19 页测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点 ；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 ， ；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 ， ．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算 ， 两岛间的距离．
（参考数据： ， ， ）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算 ， 两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用
的数学知识．
54．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之
间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为 ，然后沿 方向
飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为 ．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精
确到0.1米；参考数据： ， ， ， ）
55．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．
如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段 和 表示，彩带用线段 表示．工作人员在点
A处测得点C的俯角为 ，测得点D的仰角为 ．已知 ，求 的长（精确到 ）．
参考数据： ， ， ， ， ，
．
第 16 页 共 19 页56．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 的高度（如
图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， 依次在同一条水平直线上， ，
，且 ．在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为 ，在 处测得世纪钟建筑顶
部 的仰角为 ， ．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 的高度（结果取整数）．
参考数据： ， ．
57．（2025·湖北·中考真题）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼 处看乙楼顶部 的仰角为 到
地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据： ）
第 17 页 共 19 页58．（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度 ，在A处用高为1.6米
的测角仪 测得摩天轮顶端C的仰角 ，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C
的仰角 ．求摩天轮 的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据： ， ， ， ， ，
）
59．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口 位于港口 的北偏西 方向，港口 位于港口 的北偏
东 方向，港口 位于港口 的北偏东 方向．一艘海轮从港口 出发，沿正北方向航行．已知港口
到航线的距离为 ，求港口 到航线的距离．（参考数据： ．）
60．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．
如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米
的B处，乙无人机位于A的南偏西 方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正
西方向上，B位于C的北偏西 方向上．（参考数据： ， ， ， ）
第 18 页 共 19 页(1)求 的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿 往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2
倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两
无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
第 19 页 共 19 页
