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第 18 讲 锐角三角函数 答案解析(教师版）
第一部分：知识点梳理
知识点一 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
正弦：sinA= ；
余弦：cosA= ；
正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
知识点二 特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
知识点三 解直角三角形
1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知
元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
①三边关系：a2+b2=c2； ②两锐角关系：∠A+∠B=90°；
③边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ； ④sin2A+cos2A=1．
3.科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
知识点四 解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
第 1 页 共 62 页仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2.坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i = ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则i=tanα= ．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
如图，点OA、OB、OC方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向)
4.解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的三角函数sin、cos、tan，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
第 2 页 共 62 页第二部分：考点突破
考点1三角函数的定义
1．（2025·云南·中考真题）如图，在 中， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴在 中， ，
故选：D．
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高 长为10米，斜道 长为30米，则
的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解： 长为10米，斜道 长为30米，
∵
根据题意得： ，
∴
故选：D
3．（2025·广西·中考真题）在 中， ，则 （ ）
第 3 页 共 62 页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ．
故选：B
4．（2024·云南·中考真题）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，有三点 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上，由 ， ， ，证明
第 4 页 共 62 页，可得 ．
【详解】解：如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的
辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
6．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形 中， ，点 ， 分别在边 ，
上．连接 ，将四边形 沿 翻折，点 ， 分别落在点 ， 处．则 的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 交 于点F，设 ，则 ，利用勾股定理求得
，由折叠得到 ， 垂直平分 ，则 ，由
第 5 页 共 62 页代入求得 ，则 ，所以 ，于是
得到问题的答案．
【详解】解：连接 交 于点F，
设 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴
∵将四边形 沿 翻折，点C，D分别落在点A，E处，
∴点C与点A关于直线 对称，
∴ ， 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线
是解题的关键．
7．（2022·山东滨州·中考真题）在 中， ，则 ．
第 6 页 共 62 页【答案】
【分析】根据 ，得 ，结合 解答即可．
本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．
【详解】解：根据 ，得 ，
故 ．
故答案为： ．
8．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用公式为：弧田面积 （弦 矢＋矢 ），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，
公式中“弦”指圆弧所对弦长 ，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，
“弦”为8，“矢”为2，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作 交 于 ，
交圆弧于 ，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出 ， ，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作 交 于 ，交圆弧于 ，
由题意： ，
设 ，由 ，
∴ ，
∵ ， 为半径，
第 7 页 共 62 页∴ ，
在 中，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系 中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，点 在 轴上，且满足 ，则 的长为 ．
【答案】 或 / 或
【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到 轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用
及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算 的长
度．
【详解】解： 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
是等腰直角三角形，
．
①当点 在点 下方时， ，
,
第 8 页 共 62 页②当点 在点 上方时， ，
,
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
10．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O， ．
(1)求证： ；
(2)点E在 边上，满足 ．若 ， ，求 的长及 的值．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟
练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．
（1）直接根据矩形的判定证明即可；
（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得 ， ．进而可得 ，再根据等腰三
角形的判定得到 ，过点O作 于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求
得 ， ， ，然后利用正切定义求解即可．
【详解】（1）证明：因为四边形 是平行四边形，且 ，
所以四边形 是矩形．
第 9 页 共 62 页所以 ；
（2）解：在 中， ， ，
所以 ，
因为四边形 是矩形，
所以 ， ．
因为 ，所以 ．
过点O作 于点F，则 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ．
考点2特殊角的三角函数值
11．（2023·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题
的关键．
第 10 页 共 62 页12．（2025·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求
解．
【详解】解：
故选：A．
13．（2024·天津·中考真题） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据 代入即
可求解.
【详解】 ，
故选：A.
14．（2023·四川德阳·中考真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为 ，则这个正多边形的边数
是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正多边
形的边心距，由 可得 ，可得 ，而 ，可得 为等边三角形，从而
可得答案．
【详解】解：如图，A为正多边形的中心， 为正多边形的边， ， 为正多边形的半径， 为正
第 11 页 共 62 页多边形的边心距，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴多边形的边数为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
15．（2020·辽宁沈阳·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为
半径画弧交边 于点 ，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
第 12 页 共 62 页【答案】C
【分析】先根据矩形的性质可得 ，再根据圆的性质可得 ，然
后利用余弦三角函数可得 ，从而可得 ，最后利用弧长公式即可得．
【详解】 四边形ABCD是矩形， ，
由圆的性质得：
在 中，
则 的长为
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、弧长公式、余弦三角函数等知识点，利用余弦三角函数求出
是解题关键．
16．（2025·广东·中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：0．
17．（2025·北京·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进
第 13 页 共 62 页行加减计算即可．
【详解】解：
．
18．（2025·青海·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌
握运算法则是解题的关键．
分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算．
【详解】解：
．
19．（2025·四川南充·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算
法则是解本题的关键．
原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
20．（2025·湖南·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂
和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．
第 14 页 共 62 页【详解】解：
．
21．（2025·四川遂宁·中考真题）计算： ．
【答案】3
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三
角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
22．（2025·四川凉山·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
分别计算零指数幂和负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
23．（2024·西藏·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计
算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
第 15 页 共 62 页【详解】解：
．
考点3三角函数与解直角三角形
24．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在 中， ， 以点A 为圆心， 小于 的长为
半径作弧分别交 ， 于点 M，N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交
于点 P，作射线 ，交 于点 D， 过点 D作 交 于点 E， 若 则
的长为 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的
判定与性质，解直角三角形，由尺规作图分析出 是角平分线并得到 为等腰三角形是解决本题的
关键．
可先由尺规作图得到 为 的角分线，再根据角平分线的性质可得 ，再由两条垂线
可得直线平行，由平行线的性质即内错角相等，可得 ，则有 ，再结合角B的正
切值求解边长即可求解 ．
【详解】解：由作图过程可知，射线 为 的角平分线，
所以 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 为等腰三角形，
第 16 页 共 62 页所以 ，
在 中，
所以 ，
由勾股定理可得， ，
所以 ．
故选：B ．
25．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形 中， 为 的中点， 为 上的
点，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌
握相关知识．
过点D作 于G，过点F作 于H，由正方形的性质得到
；由线段中点的定义得到 ，由勾股定理求出
，解直角三角形可得 ；可证明 ，解
得到 ，由三线合一定理得到 ，则 ；解 得到 ，
第 17 页 共 62 页，则 ，在 中，由勾股定理得 ，即可解题．
【详解】解：如图所示，过点D作 于G，过点F作 于H，
∵四边形 是边长为2的正方形，
∴ ；
∵ 为 的中点，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
在 中， ，
，
第 18 页 共 62 页∴ ，
在 中，由勾股定理得 ．
故选：B．
26．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ， ， ，过点A作直线
，点 是直线 上一动点，连结 ，过点 作 ，连结 使 ．当 最短时，
则 的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】在点A的右侧取一点G，使得 ，连结 ， ，过点F作 于点H，先根据
相似三角形的判定与性质，推得 都是定值，点F在射线 上运动，从而得到当 时，
最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得 和 的长，最后根据相似三角形的性质，即
可求得答案．
【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得 ，连结 ， ，过点F作 于
点H，
直线 ， ，
，
， ，
，
，
，
第 19 页 共 62 页，
， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
和 都是定值，
点F在射线 上运动，
当 时， 最短（如图2所示），
延长 ， 相交于点N，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
第 20 页 共 62 页，
，
，
解得 ，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
解得 ，
当 最短时，则 的长度为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾
股定理等知识，探究线段 最短时的几何图形是解题的关键．
27．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形 中，点E，F，M分别在 ， ， 边上，
分别交对角线 、线段 于点G，H，且 是 的中点．若 ，则
的长为 ．
【答案】
第 21 页 共 62 页【分析】如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，求解 ，证明 是 的中位
线，可得 ， ， ，证明四边形 是平行四边形，可得
，而 ， ，求解 ，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接 ，交 于 ，过 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第 22 页 共 62 页故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数
的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
28．（2025·陕西渭南·三模）如图， 为正六边形 的一条对角线，过点 作 于点 ，
若正六边形的边长为 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角以及解直角三角形，掌握正六边形的性质、直角三角形的边角关系是
正确解答的关键．根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系得出 ，解
即可求解．
【详解】解： 六边形 是正六边形，
，
由于 是正六边形的对角线，由对称性可知， ，
在 中， ， ，
．
故答案为： ．
29．（2025·云南昆明·三模）如图，分别以线段 的两个端点为圆心，大于 为半径面弧，交于 ，
两点，作直线 ，在 上取点 （点 不在线段 上），连接 ， ，已知 ，
，则 的长为 ．
第 23 页 共 62 页【答案】
【分析】本题考查的知识点是尺规作图作垂直平分线、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算，
解题关键是熟练掌握尺规作图作垂直平分线．
由题意得出直线 是线段 的垂直平分线，即可推出 ，由解直角三角形的相关计算即可得解．
【详解】解：依题得：直线 是线段 的垂直平分线，
，
．
故答案为： ．
30．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针
旋转 ，则点 对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
过 作 轴于点 ，则 ， ， ，然后通过 ，
，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，过 作 轴于点 ，则
第 24 页 共 62 页，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由题意得， ， ，
∴ ， ，
∴点 对应点的坐标为 ，
故答案为： ．
31．（2025·天津·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ．
（1）线段 的长为 ；
（2） 为 的中点， 为 的中点， 为 上一点，若 ，则线段 的长为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定等等，熟知
矩形的性质与勾股定理是解题的关键．
（1）求出 ，再利用勾股定理即可求出答案；
（2）过点M作 于H，由矩形的性质得到 ， ，证
第 25 页 共 62 页明 ，得到 ， ，则可证明 ，可得
，则 ；由勾股定理得 ，则
，解直角三角形求出 的长，进而可求出 的长．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图所示，过点M作 于H，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
在 中，由勾股定理得 ，
第 26 页 共 62 页∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
32．（2025·四川眉山·中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E在边 上运动（不与点A、D重
合）， ，点F在射线 上，且 ，连接 ，交 于点G，连接
．下列结论：① ；② ；③ 的面积最大值是2；④若
，则点G是线段 的中点．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】过 作 ，交 的延长线于点 ，证明 为等腰直角三角形，推出
，进而得到 ，证明 ，推出 为等腰直角三角形，进而得到
，进而得到 ，判断①；延长 至点 ，使 ，连接 ，证
明 ，再证明 ，得到 ，判断②；设 ，则：
， ，将 的面积转化为二次函数求最值，判断③；设 ，得
到 ，在 中，由勾股定理，求出 的值，判断④即可．
第 27 页 共 62 页【详解】解：过 作 ，交 的延长线于点 ，则： ，
∵正方形 ，边长为4，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
第 28 页 共 62 页∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故②错误；
设 ，则： ， ，
∴ 的面积 ，
∴当 时， 的面积最大为2；故③正确；
∵ ，
∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点G是线段 的中点；故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解
直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
33．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口 位于岛 的北偏西 方向，灯塔 在岛 的正东方向，
，一艘海轮 在岛 的正北方向，且 、 、 三点在一条直线上， ．
(1)求岛 与港口 之间的距离；
第 29 页 共 62 页(2)求 ．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据 作
辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，证明 ，得出 ，结合 ，
，求出 ，再在 中利用三角函数即可求解；
（2）在 中，利用三角函数求出 ，利用 ，得出 ，则可求出
，再在 中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
得： ，
在 中，由 ，
得 ．
答：岛 与港口 之间的距离为 ；
第 30 页 共 62 页（2）解：在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．
34．（2025·安徽滁州·三模）如图是一种机器零件的左视图的大致图形，测得 ，
， ， ，求点 到直线 之间距离 的长．（结果精确到
0.1，参考数据： ）
【答案】点 到直线 之间的距离 的长约为37.7cm．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，考查计算能力，关键是构建直角三角形．
如图，过点 作 于点 ，则 ，过点C作 于点 ，则
，构建直角三角形，然后根据直角三角形的性质进行解答即可．
【详解】解：如图，分别过点 作 交 的延长线于点 ，
作 于点 ，
第 31 页 共 62 页则四边形 是矩形，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
，
，
，
放点 到直线 之间的距离 的长约为37.7cm．
35．（2025·陕西·中考真题）如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，
与 相交于点 ， 为⊙ 的直径， 与 相交于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ， ，即 ，可得 ，进一
步证明 ，可得 ；
（2）求解 ，设 的半径为 ，结合 ，可得 ，可得： ，
第 32 页 共 62 页，求解 ，证明 ，可得 ，进一步可
得答案.
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ， ，而 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 33 页 共 62 页∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定
与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
36．（2025·山东烟台·中考真题）如图， 内接于 ， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ， 时，求 的长及 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) ； 的半径为
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题
的关键；
（1）连接 并延长交 于点 ，连接 ，根据已知得出 ，根据圆周角定理得出
，进而等量代换可得 即 ，即可得证；
（2）证明 ，即可得出 ，过点 作 于点 ，得出 ，进而
求得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴
第 34 页 共 62 页∴
又∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是直径
∴
∴ 即
∴ 是 的切线；
（2）∵
∴
∴
∵
∴ ，
又∵ ，
∴
解得：
如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
第 35 页 共 62 页∴
∴
又∵
∴
∴ 的半径为
考点4三角函数的实际应用
37．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为 米，一位登山者到达海拔高度为 米
的点 处．测得山峰顶端 的仰角为 ．则 、 两点之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
由题意得四边形 是矩形，则 ，那么 ，再解 即可．
【详解】解：由题意得，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
由题意得， ，
∴ ，
第 36 页 共 62 页∴ ，
故选：B．
38．（2025·山东东营·中考真题）如图为一节楼梯的示意图， ， ， 米．现要
在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为 的长，利用正切定义求
得 即可求解．
【详解】解：在 中， ， 米，
∴ （米），
∴地毯的长度为 米．
故选：B．
39．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数
学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面 的点M处测
得潮汐塔顶端A的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为
（点 在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）
（结果精确到 ．参考数据： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的
第 37 页 共 62 页辅助线是解题的关键．
延长 交 于点C，根据题意得 ，然后在 中，利用锐角三角
函数的定义求出 的长，从而求出 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的
长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长 交 于点C．
由题意得 ．
在 中， ，
，
．
在 中， ，
，
．
故选B．
40．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地一座建筑物的截面图的高 ，坡面 的坡度为 ，
则 的长为（ ）
A． B． C．5m D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据坡度求得 ，解 即可求解，求得
是解题的关键．
【详解】解：∵坡面 的坡度为 ，
∴ ，
第 38 页 共 62 页∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：B．
41．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树 的高度，在水平地面上取一点 ，在 处测得
， ，则树 的高约为 （结果精确到 ．参考数据： ，
）．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键．
在 中，由 即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
∴在 中， ，
故答案为： ．
42．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测
到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为 ，从点A观测点P的仰角为
，则A处到B处的距离为 ．
【答案】
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
第 39 页 共 62 页43．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描
仪（线段 ）的竖直高度2.7米，某人（线段 ）身高为1.8米，扫描仪测得 ，那么该人与扫
描仪的水平距离为 米．（备用数据： ， ， ，精确到 米）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点 作 于点 ，由题意，得 ，线
段的和差求出 的长，解 ，求出 的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于点 ，则： 米，
∵ 米，
∴ 米，
在 中， ，
∴ 米；
故答案为： ．
44．（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端 ， 的距离不易测量，某科技小组需要用
无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面 的点 处．从 点测得 点的俯角为 ，测得
点的俯角为 （ ， ， 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为 （结果
保留根号）．
第 40 页 共 62 页【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角
函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点 作 于点 ，则 ，求出
， ，利用 ，得出 ，
，相加即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
45．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡 的斜面坡度 （斜面坡度
是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比），堤坝高 ，则迎水坡面 的长度是 ．
【答案】 / 米
第 41 页 共 62 页【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记勾股定理是解题的关
键．
根据坡度的概念求出 ，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵坡 的斜坡坡度 ，
∴ ，而 ，
即 ，
解得， ， 经检验符合题意，
由勾股定理得， （米），
故答案为： ．
46．（2025·四川眉山·中考真题）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 的长都为 ，当
时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到 ，参考依据： ，
， ）
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点 作
，解 ，求出 的长即可．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
在 中， ， ，
∴ ；
第 42 页 共 62 页故人字梯顶端离地面的高度是 ；
故答案为： ．
47．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽
度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点 处测得瞭
望台正对岸A处的俯角为 ，测得瞭望台顶端 处的俯角为 ，已知瞭望台 高12米（图中点 ，
， ， 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽 为 米．（参考数据： ，
， ）
【答案】74
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题
关键．
根据题意可得 ，则
，再通过解直角三角形求得 和 ，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：由题知 ,
∴ ,
在 ，
∴ ,
∴ ,
在 中， ,
∴ ,
∴ ．
故答案为：74．
48．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱 和 分别垂直地面水平线 于点
， ， 分米， ．在点 ， 之间的晾衣绳上有固定挂钩 ， 分米，一件连衣
裙 挂在点 处（点 与点 重合），且直线 ．
第 43 页 共 62 页(1)如图1，当该连衣裙下端点 刚好接触到地面水平线 时，点 到直线 的距离 等于12分米，求
该连衣裙 的长度；
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩 处再挂一条长裤（点 在点 的右侧），
若 ，求此时该连衣裙下端 点到地面水平线 的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考
数据： ， ， ）
【答案】(1)14分米
(2)2分米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
（1）可证明四边形 是矩形，得到 ；在 中，利用勾股定理求出 的长，进而求
出 的长即可得到答案；
（2）过点E作 于H，延长 交 于T，则四边形 是矩形，可得 ；解
求出 的长，进而求出 的长，据此求出 的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， 分米， 分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
答：该连衣裙 的长度为14分米；
（2）如图所示，过点E作 于H，延长 交 于T，
第 44 页 共 62 页∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ；
在 中， 分米， ， ，
∴ 分米，
分米，
∴ 分米，
∴ 分米，
分米，
∴ 分米；
答：此时该连衣裙下端 点到地面水平线 的距离约为2分米．
49．（2025·青海·中考真题）数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了
其秘密：当支架与地面形成 夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了
智能遮阳篷．
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成 夹角？
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的
夹角均为 ．
环节二：数学抽象
如图：已知线段 与 交于点 ， ， 与直线 分别交于点 ， ， ，
， ， ，求 的长度．（结果精确到0.1，参考数据：
， ， ）
【模型求解】
第 45 页 共 62 页【问题总结】
交叉点 距顶端 的长度即 为______ 时，支架与地面形成 夹角，这样更贴合作物的生长规律．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过 作 于 ，根据等腰三角形的性质可得
，结合 可得答案；最后由 即可得到答案.
【详解】解：数学抽象：如图，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
问题总结：∵ ， ，
∴ .
50．（2025·贵州·中考真题）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计
示意图如图②所示，已知 ，该地冬至正午太阳高度角 为 ．如果你是建筑设计师，
请结合示意图和已知条件完成下列任务．
第 46 页 共 62 页任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，
需将活动中心沿 方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据： ．结果保留小数点后一位）
【答案】任务一： ，任务二：该活动中心移动了2米；
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用；
任务一：如图，过 作 于 ，结合题意可得：四边形 为矩形， ，可得
， ，求解 ，进一步可得答案；
任务二：如图，过 作 的平行线，过 作 的平行线，两线交于点 ， 交于点 ，过 作
于 ，可得 ，四边形 为矩形， ，求解
，进一步可得答案.
【详解】解：任务一：如图，过 作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
任务二：如图，过 作 的平行线，过 作 的平行线，两线交于点 ， 交于点 ，过 作
于 ，
第 47 页 共 62 页∴ ，四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴该活动中心移动了2米.
51．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人
机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的 处，工作人员所乘小船在 处测得无人机
的仰角为 ，当工作人员沿正前方向划行 米到达 处，测得无人机的仰角为 ，求无人机离湖面的
高度（结果不取近似值）
【答案】无人机离湖面的高度为 米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点 作 于点 ，
设 ，根据题意得出 ， ，在 中，根据 ，列出方程，解方
程，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
依题意
第 48 页 共 62 页设 ，
在 中，
∴ ，
∵
∴ ，
在 中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为 米
52．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路
a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点
D．经测得景点C位于景点B的北偏东 方向上，位于景点A的北偏东 方向上，景点B位于景点D
的南偏西 方向上．已知 ．
(1)求 的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）由题意可得 ， ．从而得出
，根据 即可求解．
（2）根据 ，得出 ．由（1）得 ．则 ，故
．在 中，解直角三角形求出 ， ，从而求出 ．再根据
，求出 ，即可求解．
第 49 页 共 62 页【详解】（1）解：如图，由题意可得 ， ．
．
．
（2）解： ，
．
由（1）得 ．
．
又 ，
．
在 中， ， ，
，
．
．
，
．
．
∴景点C与景点D之间的距离为 ．
53．（2025·广东·中考真题）综合与实践
【阅读材料】
如图，在锐角 中， ， ， 的对边长分别为 ， ， ，则有 ．这是解
三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
第 50 页 共 62 页【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局
部平面示意图，现需要知道湖中 ， 两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该
小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点 ；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 ， ；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 ， ．
【问题解决】
（1）请你利用【阅读材料】中的结论计算 ， 两岛间的距离．
（参考数据： ， ， ）
【评价反思】
（2）设计其他方案计算 ， 两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用
的数学知识．
【答案】（1） ；（2）见解析
第 51 页 共 62 页【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．
（1）利用三角形内角和定理求出 ，根据题意可得 ，代入数据求出
的长，即可解答；
（2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
由题意得， ，
又∵ ，
∴ ，
答： ， 两岛间的距离为 ．
（2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）．
测量过程：
步骤1：如图，在空旷地找一点 ，使得 是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得 的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得 ， ．
计算过程：
过点 作 ，则 ，
∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
第 52 页 共 62 页∴ ．
答： ， 两岛间的距离为 ．
54．（2025·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之
间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为 ，然后沿 方向
飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为 ．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精
确到0.1米；参考数据： ， ， ， ）
【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得， ，
米，分别解 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ， 米，
在 中， 米；
在 中， 米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
55．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．
如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段 和 表示，彩带用线段 表示．工作人员在
点A处测得点C的俯角为 ，测得点D的仰角为 ．已知 ，求 的长（精确到
）．参考数据： ， ， ， ， ，
．
【答案】
第 53 页 共 62 页【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作 ，垂足为点E，则四边形
为矩形，可得 ，解 求出 的长，再解 求出 的长即可得到答案．
【详解】解：过点A作 ，垂足为点E．
∵线段 和 都与地面垂直，
∴四边形 为矩形，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ，
．
答： 的长为 ．
56．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑 的高度（如
图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 ， ， 依次在同一条水平直线上， ，
，且 ．在 处测得世纪钟建筑顶部 的仰角为 ，在 处测得世纪钟建筑顶
部 的仰角为 ， ．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 的高度（结果取整数）．
参考数据： ， ．
第 54 页 共 62 页【答案】世纪钟建筑 的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长 与 相交于点 ，在Rt 和 中，分别
求得 和 ，再根据 ，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 与 相交于点 ，
根据题意，可得 ，
有 ， ， ， ， ，
在Rt 中， ，
，
在 中， ，
．
，
．
．
．
第 55 页 共 62 页答：世纪钟建筑 的高度约为 ．
57．（2025·湖北·中考真题）如图，甲、乙两栋楼相距30m，从甲楼 处看乙楼顶部 的仰角为 到
地面的距离为18m，求乙楼的高．（参考数据： ）
【答案】乙楼的高为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形 为矩形， ， ， ，则 ，
， ，然后解 求出 ，再由 即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得，四边形 为矩形， ， ，
∴ ， ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
答：乙楼的高为 ．
58．（2025·四川遂宁·中考真题）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度 ，在A处用高为1.6米
的测角仪 测得摩天轮顶端C的仰角 ，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C
的仰角 ．求摩天轮 的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据： ， ， ， ， ，
第 56 页 共 62 页）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形
得四边形 都是矩形，则 ， ，然后分别在 中，
，在 中， ，代入数值化简得 ，解得 ，
即可作答．
【详解】解：延长 交 于 ，则有 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
同理得四边形 都是矩形，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
第 57 页 共 62 页整理得 ，
在 中， ，
即 ，
∴
整理得 ，
∴ ，
解得 ，
则 ．
59．（2024·江苏南京·中考真题）如图，港口 位于港口 的北偏西 方向，港口 位于港口 的北偏
东 方向，港口 位于港口 的北偏东 方向．一艘海轮从港口 出发，沿正北方向航行．已知港口
到航线的距离为 ，求港口 到航线的距离．（参考数据： ．）
【答案】港口 到航线的距离约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题．设 交航线于点 ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，由锐角三角函数定义求出 、 的长，设 ，再由锐角三角
函数定义求出 ，则 ，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可．
【详解】解：如图，设 交航线于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
第 58 页 共 62 页则 ，
由题意知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
答：港口 到航线的距离约为 ．
60．（2025·重庆·中考真题）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．
如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米
的B处，乙无人机位于A的南偏西 方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正
第 59 页 共 62 页西方向上，B位于C的北偏西 方向上．（参考数据： ， ， ， ）
(1)求 的长度（结果保留小数点后一位）；
(2)甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿 往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2
倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两
无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？
【答案】(1) 千米
(2) 千米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定， 正确作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键。
（1）过点A作 于E，过点B作 于F，由题意得， ，解 得到
千米， 千米，证明四边形 是矩形， 得到 千米， 千
米，得到 千米，再利用勾股定理即可求出 的长；
（2）当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 千米．过点M作 于T，由
题意得， ，解 得到 千米， 千米，则
千米，设 千米，则 千米， 千米，解 得到 千米，
千米，则 千米，由勾股定理得 ，解
方程即可得到答案。
【详解】（1）解：如图所示，过点A作 于E，过点B作 于F，
第 60 页 共 62 页∴ ，
由题意得， ，
在 中， 千米，
千米，
∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ 千米，
答： 的长度约为 千米；
（2）解：如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足 千米．过点M作
于T，
由题意得， ，
在 中， 千米，
千米，
∴ 千米，
第 61 页 共 62 页设 千米，则 千米， 千米，
在 中， 千米，
千米，
∴ 千米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （此时大于 的长，舍去），
∴ 千米，
答：甲无人机飞离B处 千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．
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