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第 16 讲 直角三角形
第一部分：知识点梳理
知识点一 直角三角形
1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2.性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
A
m
D
b
c
C B a
3.判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（3）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4.直角三角形的面积公式： (c为斜边上的高，m为斜边长).
知识点二 勾股定理
1.文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
2.变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2， c=√a2+b2,a=√c2-b2,b=√c2-b2.
【易错点】
（1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾
股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
（2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，
求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
B
c（弦）
a
（勾）
A
C
b（股）
第 1 页 共 62 页知识点三 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
2.勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为
勾股数.
3.常见的勾股数：
3，4，5； 6，8，10； 5，12，13；
7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；
勾股数的扩展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
第二部分：考点突破
考点1直角三角形的两个锐角互余
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，
根据三角形内角和定理求出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，
根据等边对等角得出 ，再结合 根据三角形内角和定理求出
，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
第 2 页 共 62 页∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中与 互余的角是 ，共有4个，
故选：C．
2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度，
∴ ．
故选：D．
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三角形的两锐角
互余即可求出 ．
【详解】解：延长 ，与 交于点 ，
第 3 页 共 62 页∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题
的关键．
4．（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于点A，连
接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出
，有圆的切线定理可得出 ，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵以 为直径的 与 相切于点A，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
第 4 页 共 62 页5．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点
的对应点分别为 ，延长 交 于点 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得 ，结合 ，即可得证 ，
再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析 不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段
的运算得出A和C选项是错误的．
【详解】解：记 与 相交于一点H，如图所示：
∵ 中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴
∵
∴在 中，
∴
故D选项是正确的，符合题意；
设
∴
∵
∴
∴
第 5 页 共 62 页∵ 不一定等于
∴ 不一定等于
∴ 不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵ 不一定等于
∴ 不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴
∴
故C选项不正确，不符合题意；
故选：D
6．（2020·湖南岳阳·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线， ，则
．
【答案】70
【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质
等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可
解得 的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 ，可证明
，即可获得答案．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ．
故答案为：70．
7．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ，则 ．
第 6 页 共 62 页【答案】 /10度
【分析】由 ， ，求得 ，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形
的两锐角互余求得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线性质，熟记直角三角形的性质、线段垂直平分
线性质是解题的关键．
考点2含30度角的直角三角形
8．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度 ， ，则
中柱 （D为底边中点）的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质以及勾股定理．由等腰三角形的性质
求得 的长，由含30度直角三角形的性质得到 ，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ ，
∵ ，
第 7 页 共 62 页∴ ，
∵ ，即 ，
解得 ，
故答案为： ．
9．（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， ．若点D在直线 上（不
与点A，B重合），且 ，则 的长为 ．
【答案】6或12
【分析】本题考查了含 的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，分①点D在线
段 时，②点D在线段 延长线上时， ③点D在线段 延长线上时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
①点D在线段 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②点D在线段 延长线上时，
第 8 页 共 62 页∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
③点D在线段 延长线上时，
此时 ，即 ，故不符合题意，舍去，
综上， 的长为6或12．
10．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 ，
，E为垂足，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设 ，根据含
30度的直角三角形的性质，得到 ，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等
于底边比，得到 ，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，等角的正弦值相等，得到
第 9 页 共 62 页，求出 的长，进而求出 的长即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∵ 平分 ， ，
∴点 到 的距离相等均为 的长， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，线段 与 轴正方向夹角为 ，且
，若将线段 绕点 沿逆时针方向旋转 到线段 ，则此时点 的坐标为（ ）
第 10 页 共 62 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关
键．过点 作 轴于点B，求出 ，解直角三角形得到 的长度即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 轴于点B．
将线段 绕点O沿逆时针方向旋转 到线段 ，
，
．
在 中，
，
．
根据勾股定理，得 ，
点 的坐标为 ．
故选：C．
12．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片 中， ，点 分别在边
上，且 ，将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，则 （ ）
第 11 页 共 62 页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理与折叠， 直角三角形的性质，由折叠可得 ，
，即可得到 ，再分别在 和 利用 直角三角形的性质和勾
股定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 12 页 共 62 页故选：D．
13．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在 中， ，点D，E都在边
上， ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 绕点A逆时针旋转 得到 ，取 的中点G，连接 、 ，由
， ，可得出 ，根据旋转的性质可得出 ，结合
可得出 为等边三角形，进而得出 为直角三角形，求出 的长度以及证明全
等找出 ，设 ，则 ，在 中利用勾股定理可得出
，利用 ，可求出x以及 的值，此题得解．
【详解】解：将 绕点A逆时针旋转 得到 ，取 的中点G，连接 、 ，如图所示：
过点A作 于点N，如图，
∵ ， ，
∴ ， ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
第 13 页 共 62 页∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程
是解题的关键．
14．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，点E是 边上的动点，
连接 ， ，过点A作 于点F．设 ， ，则y与x之间的函数解析式为（不考虑
自变量x的取值范围）（ ）
第 14 页 共 62 页A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三
角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作 ，交 延长线于H，则 ，
根据菱形的性质和平行线的性质得到 ， ， ，进而利用
含30度角的直角三角形的性质 ，证明 得到 ，然后代值整理即可
求解．
【详解】解：如图，过D作 ，交 延长线于H，则 ，
∵在菱形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
（法二：同理， ， ，
第 15 页 共 62 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．）
15．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处，
与 相交于点E，此时 恰为等边三角形，若 ，则 cm．
【答案】12
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质
等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；
根据等边三角形的性质可得 ，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得
，结合三角形的外角性质可得 ，进而得到 ，再利用30度
角的直角三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 16 页 共 62 页∴ ，
∴ ；
故答案为：12．
16．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，垂足为F．若
， ，则 的面积为 ．
【答案】 /0.375
【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识
点是解题的关键．过点F分别作 ，垂足为M，N，连接 ，则 ，先根
据平行线间的距离处处相等得出 ，继而得出 ，通过解直角三角形得出
，即可求解．
【详解】解：过点F分别作 ，垂足为M，N，连接 ，则 ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
第 17 页 共 62 页∴ ，
∵ ，垂足为F， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形 中， 为 边上一点， ，将 沿
折叠得 ，连接 ， ，若 平分 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过 作 于点 ， 于点 ， ，由四边形 是矩形，
得 ， ，证明四边形 是矩形，通过角平分线的性质证得四边形
是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．
【详解】如图，过 作 于点 ， 于点 ，
第 18 页 共 62 页∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
由折叠性质可知： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理， 所对直角边是斜边的一半，角平分
线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
18．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， ， ，点 在 上，过点
作 交 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得 ，进而证明 得 ，再证明
，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，设 ，则 ，再由含 角的
直角三角形的性质得 ，然后由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
（等边对等角）．
第 19 页 共 62 页，
， （两直线平行，同位角相等）．
，
（等角对等边）．
，
．
又 ，
四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
（2）解：设 ，
，
在 中， ，
（在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．
（勾股定理），
，解得 ， （舍去），
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的
直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
19．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上，
，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；
（1）根据垂直的定义可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据已知条件可
得 ，即可证明结论；
第 20 页 共 62 页（2）根据 可得 ， ，即得 ，进而可得四边形 是平
行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得 ，即可
得到结论.
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.
考点3直角三角形斜边中线
20．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 边中点，
菱形 的周长为28，则 的长等于（ ）
第 21 页 共 62 页A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A
【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，由菱形四边相等，对角线垂直，可得
， ，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解： 菱形 的周长为28，
， ，
在 中， 为 边中点，
，
故选A．
21．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在 中， ，将 沿 方向向右平移至
处，使 恰好过边 的中点D，连接 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题
的关键．
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合 ，得 ，由 平移得到 ，
根据平移对应线段相等，可知 ，进而得 ．
【详解】在 中， ， 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
第 22 页 共 62 页∵ 沿 方向向右平移至 ，
∴ ，
故选：B．
22．（2024·青海·中考真题）如图，在 中，D是 的中点， ， ，则 的
长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到 等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在 中， ，D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 等边三角形，
∴ ．
故选：A．
23．（2024·四川广元·中考真题）如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，点B，C的对应点
分别为点D，E，连接 ，点D恰好落在线段 上，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得 ，
， ，推出 是等腰直角三角形， ，过点A作 于点H，得到
第 23 页 共 62 页，利用勾股定理求出 的长．
【详解】解：由旋转得 ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
过点A作 于点H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
24．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在 中， ， ， ， ，
点 是 边的中点，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理可先求得 的长度，根据直角三角形的斜边上的中线与斜边的数量关系，可求得
的长度，根据三角形的中位线定理可求得答案．
【详解】∵ ，
∴ 为直角三角形．
∴ ．
∵点 为 的斜边 的中点，
∴ ．
∵ ， ，
第 24 页 共 62 页∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、直角三角形的性质、三角形的中位线定理，牢记勾股定理、直角三角
形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）、三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于
三角形的第三边，并且等于第三边的一半）是解题的关键．
25．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 在线段
的延长线上，且 ，若 ， ，则 的长是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形
的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得 ，再根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半可得 ，然后根据 求解即可得．
【详解】解：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
26．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若
，则 的长为 m．
第 25 页 共 62 页【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题
的关键．根据 ，得出 为直角三角形，根据直角三角形的性质得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ 为直角三角形，
∵E是斜梁 的中点，
∴ ．
故答案为：4．
27．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，D是 边上
的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得 ，由垂
线段最短可得，当 时， 有最小值，则此时点D为 的中点，则由直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得 ．
【详解】解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ，
由垂线段最短可知，当 时， 有最小值，
∵ ，
∴当 时，点D为 的中点，
∴此时 ，
故答案为： ．
28．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形 中， ，面积为60，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作 ，交边 于点E，连接 ，则 ．
第 26 页 共 62 页【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求
出 的长度．根据菱形的面积公式结合 的长度即可得出 、 的长度，在 中利用
勾股定理即可求出 的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ （负值已舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，CO＝3 （舍去）．
∵AE⊥BC， ，
∴ ．
故答案为： ．
29．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线，
为 中点，连接 ．若 ， ，则 ．
第 27 页 共 62 页【答案】
【分析】连接 ，过E作 于F，设 ， ，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰
三角形的性质证得 ， ， ，进而利用三角形的外
角性质和三角形的中位线性质得到 ， ，证明 ，利用相似三
角形的性质和勾股定理得到 ；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明
得到 ，进而得到关于x的一元二次方程，进而求解即可．
【详解】解：连接 ，过E作 于F，设 ， ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，又 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，则 ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
第 28 页 共 62 页则 ；
∵ 是 的一条角平分线，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
∴ ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 （负值已舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位
线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定
的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
30．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿 折
叠得到 ，连接 ．若 于点 ， ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ， 与 交于 ，与 交于 ，设 ， ， ，结合折叠
的性质得到 ，易得到 是直角三角形，进而得到 是 的中位线，可得
四边形 是平行四边形，求出 ，求得 ，进面求出 ，再利用相似三角形的性质
第 29 页 共 62 页得到 和 的关系，设 ，则 ，利用 来求解．
【详解】解：如图，连接 ， 与 交于 ，与 交于 ，
设 ， ．
，
．
将 沿 折叠得到 ，
．
在 中可得： ，
，
∴ ，
将 沿 折叠得到 ，
， ，
为等腰直角三角形， 为 边上中线，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 是直角三角形，
， ，
垂直平分 ，
即 ．
，
．
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线，
，
即 ，
四边形 是平行四边形，
第 30 页 共 62 页∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，
．
在 和 中
，
，
∴ ，
设 ，则 ，
，
∴
，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质，平行四边形的判定及性质，三
角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解相关知识是解答关键．
31．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，
，则 的长为 ．
第 31 页 共 62 页【答案】
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出 ，进而求出 ，然后在 中利用勾股定理求出 ，
最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】解：在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F是AE的中点，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题
32．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间
的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型
如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的
中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为
．
第 32 页 共 62 页【答案】
【分析】根据当 、 、 三点共线，距离最小，求出BE和BD即可得出答案．
【详解】如图当 、 、 三点共线，距离最小，
∵ ， 为 的中点，
∴ ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点间的距离线段最短，判断
出距离最短的情况是解题关键．
33．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ， ， ，分别以点
A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线 分别交 于点D，
E，连接
(1)求 的长；
(2)求 的周长．
【答案】(1)
(2)
第 33 页 共 62 页【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半
定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关
键．
（1）由题意得 是线段 的垂直平分线，故点D是斜边 的中点．据此即可求解；
（2）根据 、 的周长 即可求解；
【详解】（1）解：由作图可知， 是线段 的垂直平分线，
∴在 中，点D是斜边 的中点．
∴ ．
（2）解：在 中， ．
∵ 是线段 的垂直平分线，
∴ ．
∴ 的周长 ．
34．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图1，在 中， ， ，将 绕点 顺
时针旋转角 得到 ，此时点 落在 的延长线上．
(1)求 的大小；
(2)设 ，求 关于 的函数关系式；
(3)如图2，连接 ， 为 的中点，连接 ，证明：直线 ．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质结合已知条件，得出 是等腰直角三角形，即可求解；
（2）过点 作 于点 ，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，表示出 ，进而
列出关系式；
第 34 页 共 62 页（3）连接 ，根据已知以及旋转的性质可得 ，证明 得出
，进而可得 ，即可证明 ，即可得证
【详解】（1）解：由旋转可得 ，
又∵点 落在 的延长线上， ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
（3）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，由旋转可得 ，
∴ ，
∴ ，
第 35 页 共 62 页∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的与判定，函数关系，含30度角的直角三角形
的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
35．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；
(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；
②求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②见解析
【分析】（1）先证明 得到 ， ，根据直角三角形斜边中线性质得到
，根据等边对等角证明 ，进而可证明 ；
（2）①延长 到点 ，使 ，连接 ，延长 到 ，使 ，连接 并延长交 于
点 ．先证明 ，得到 ， ，进而 ， ．证明
得到 ，然后利用三角形的中位线性质得到 ，则
，进而证明 即可得到结论；
第 36 页 共 62 页②根据 得到 即可得到结论．
【详解】（1）证明：在 和 中，
， ， ，
，
， ．
是 斜边 的中点，
，
，
，
．
，
，
．
；
（2）解：① ；
理由如下：延长 到点 ，使 ，连接 ，延长 到 ，使 ，连接 并延长交
于点 ．
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
．
，
．
在 和 中，
， ， ，
，
第 37 页 共 62 页．
是 中点， 是 中点，
是 中位线，
．
，
，
．
，
．
故答案为： ；
②证明： ∵ ，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三
角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联
系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
考点4勾股定理
36．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形 中，点 在边 上， ，连接 ，若 ，
，则 的长为（ ）
第 38 页 共 62 页A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理
求出 的长，进而得到 的长，推出 的长，进而求出 的长，再利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D.
37．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船
从B点出发由西向东航行10 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A
的距离为（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接 ，此题易得 ，得 ，再利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：连接 ，
第 39 页 共 62 页由已知得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （ ），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
38．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，将
沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可知， ， ，再根据菱形的性质，得出 ，从
而求出 ，则 ，即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知， ， ，
在菱形 中， ，
， ，
，
，
，
第 40 页 共 62 页，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知
识，掌握菱形的性质是解题关键．
39．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆
绳长 ，向前荡起到最高点 处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点
处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂
点为 ，由勾股定理得到 ，进而得出 ，证明 ，得到
，进而求出 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂点为 ，
由题意可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
第 41 页 共 62 页在 和 中，
，
，
，
，
即小丽在 处时距离地面的高度是 ，
故选：A．
40．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点P是边 上任意一
点，过点P作 ， ，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度
不大，设计很新颖，解题的关键是求 的最小值转化为其相等线段 的最小值．连接 ，根据矩形的
性质可知： ，当 最小时，则 最小，根据垂线段最短可知当 时，则 最小，再根
据三角形的面积为定值即可求出 的长．
【详解】解： 中， ， ， ，
，
连接 ，如图所示：
第 42 页 共 62 页∵ 于点 ， 于点 ， ，
∴ ，
四边形 是矩形，
，
当 最小时，则 最小，根据垂线段最短可知当 时，则 最小，
∴此时 ．
故选：B．
41．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一
段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大
意：如图， 在 中， 里， 里， 里，则 的面积是（ ）
A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
【答案】C
【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突
破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点 作 ，利用勾股定理求出 的长，再利用三角形
的面积公式求出 的面积即可．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
第 43 页 共 62 页设 里，则 里，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
在 中， （里 ，
的面积 （平方里），
故选：C
42．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问
户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是
多少？（1丈 尺，1尺 寸）若设门的高和宽分别是 尺和 尺．则下面所列方程组正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是 尺和 尺，根据“已知矩形
门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，
正确列出方程组是解此题的关键．
【详解】解：设门的高和宽分别是 尺和 尺，
由题意得： ，
故选：D．
43．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分
别以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
第 44 页 共 62 页，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定
理．利用勾股定理求得 的长，再证明 ，作 于点 ，求得 ，利用
，求得 ，再利用勾股定理求得 ，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
由作图知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
则 ，
第 45 页 共 62 页∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的周长是 ，
故选：A．
44．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分
别为m， ．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础
题型．由题意可知，中间小正方形的边长为 ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正
方形的面积为 ．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为 ，
∴ ，即 ①，
∵ ，
∴ ②，
① ②得 ，
∴大正方形的面积 ，
故选：B．
第 46 页 共 62 页45．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题） 是直角三角形， ， ，则 的长为
．
【答案】2或
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键
根据直角三角形的性质，我们需要分情况讨论哪个角是直角，从而求出 的长度．
【详解】解：在 中，当 ，如图
，
．
， ，
，
解得 或 （舍去）；
在 中，当 ，
， ，
．
故答案为∶2或 ．
46．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，则其斜边的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
根据勾股定理即可求解．
第 47 页 共 62 页【详解】解：∵一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，
∴斜边为 ，
故答案为： ．
47．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知 是 的角平分线， ， 分别是 和
的高， ， ，则点E到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到 的距离等于点D到 的距离
的长度，然后根据勾股定理求出 ，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵ 是 的角平分线， ， 分别是 和 的高， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
设点E到直线 的距离为x，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题
的关键．
48．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，
则梯子顶端的高度h为 m．
第 48 页 共 62 页【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，根据长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，进行
列式计算，即可作答．
【详解】解：∵长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，
∴ ，
故答案为： ．
49．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点B的
坐标为 ．点E在边 上．将 沿 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为 ．则点E
的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形
变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设 ，可得 ，在 中，利
用勾股定理可求出 ，根据翻折的性质得出 ， ， ，设 ，在
中利用勾股定理可求出a值，即可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，如图，设 与y轴交于点G，
，
第 49 页 共 62 页∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∵将 沿 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为 ，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴点E的坐标为 ，
故答案为：
50．（2025·山东·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点 为边 上异
第 50 页 共 62 页于 的一点，以 ， 为邻边作 ，则线段 的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是
解题的关键．
由勾股定理可得 ，设 与 交于点O，过O作 于点 ，由四边形作 是平行四
边形得 、 ，根据垂线段最短可得当 时，即P与 重合时，
最小；再运用三角函数求得 ，进而求得 即可解答．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
如图，设 与 交于点O，过O作 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 、
∴当线段 长最小，则线段 的长最小，
由垂线段最短可得： 时，即P与 重合时， 最小；
第 51 页 共 62 页∵ ，
∴ ，解得： ．
∴线段 长最小为 ．
故答案为： ．
51．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边
作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，……按照
此规律继续下去，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根
据面积的变化找出变化规律“ ”是解题的关键．根据题意求出面积标记为 的正方形的边
长，得到 ，同理求出 ，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，
第 52 页 共 62 页∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
∵正方形 的边长为2，
，
∴面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形边长为 ，
则 ，
面积标记为 的正方形的边长为 ，
则 ，
第 53 页 共 62 页……，
，
则 的值为： ，
故答案为： ．
52．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 进行测量
规划使用，如图，点 处是它的两个门，且 ，要修建两条直路 ， 与 相交于点
（两个门 的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得 米， 米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 地上再修一条 米长
的直路，这条直路的一端在门 处，另一端 在已经修建好的路段 或花园的边界 上，并且另一端
与点B处的距离不少于 米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
【答案】(1)这两条路 与 等长，且它们相互垂直；
(2)如果另一端点 在花园边界 上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析．
【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握
知识点的应用是解题的关键．
（ ）由四边形 是正方形，则 ， ，证明 ，故有
， ，又 ，则 ，从而求解；
（ ）由（ ）得 ， ，由勾股定理得出 ，由 ，即
，得到 ，则有 ，然后分另一端点 在路段 上和另一端
点 在花园边界 上时两种情况分析即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
第 54 页 共 62 页∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴这两条路 与 等长，且它们相互垂直；
（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：
由（ ）得 ， ，
∵ 米， 米，
∴ 米， 米， 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵在 中有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如果另一端点 在路段 上，
则在 中， ，
∴此种情况不成立；
如果另一端点 在花园边界 上时，
设 ，则在 中，有 ，
∴ ，
第 55 页 共 62 页∴ ，
∵ ，
∴能修建成这样的一条直路．
考点5勾股定理的逆定理
53．（24-25八年级下·广西河池·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．13，12，5 B．3，3，4 C．3，6，4 D．4，8，5
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理判定直角三角形的计算，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边
长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件．
【详解】解：选项A、 最大边为13，验证： ，满足勾股定理，能构成直角
三角形；
选项B、最大边为4，验证： ，不满足勾股定理；
选项C、最大边为6，验证： ，不满足勾股定理；
选项D、最大边为8，验证： ，不满足勾股定理；
综上，只有选项A符合条件，
故选：A．
54．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设 的三边分别为 ，满足下列条件的 中，不是直
角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根
据题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，
可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．
第 56 页 共 62 页【详解】解：A. 由 ，可得 ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ，
， ， ， 不是直角三
角形，故本选项符合题意；
C. 由 ，可得 ，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ，
设 ，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
55．（24-25八年级下·安徽池州·期末） 的三条边是 ， ， ，下列条件不能判断 是直角三
角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及角度比例关系、勾股定理逆定理及边比例关系的判断．
【详解】解：选项A：设 ， ， ．由三角形内角和为 ，得
，解得 ．此时 ，不是直角，故不能判断为直角三角形．
选项B：由 得 ．结合内角和 ，代入得 ，
即 ，故 ，能判断为直角三角形．
选项C：由 变形为 ，符合勾股定理逆定理，说明 为斜边，对应 为直角，能判
断为直角三角形．
选项D：设三边为 、 、 ，验证得 ，满足勾股定理
逆定理，能判断为直角三角形．
综上，只有选项A不能判断△ABC为直角三角形．
故选：A．
第 57 页 共 62 页56．（2025·吉林长春·中考真题）如图， 的对角线 、 相交于点 ．
求证： 是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．
先由勾股定理逆定理得到 ，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．
【详解】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
57．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，连接 ．求四边形 的面积．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理，四边形的面积以及勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 ， ，
满足 ，那么这个三角形就是直角三角形．直接根据勾股定理求出 的长，在 中，由勾
股定理的逆定理即可判断三角形的形状，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解： ， ， ，
，
第 58 页 共 62 页（负值已舍）；
在 中， ， ， ，
， ，
，
是直角三角形，且 ，
四边形 的面积 ．
58．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平行四边形 中，对角线 相交于点
，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，先由平行四边形性质得到
，在 中，由勾股定理的逆定理可知 是直角三角形，且 ，再由平
行四边形性质得到 ， ，在 中，由勾股定理求线段长即可得
到答案．熟记平行四边形性质、勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：在平行四边形 中， ，
在 中， ，则 ， ，
，
则由勾股定理的逆定理可知 是直角三角形，且 ，
在平行四边形 中， ， ，
在 中， ， ， ，则由勾股定理可得 ，
，
第 59 页 共 62 页故答案为： ．
59．（24-25八年级下·河南信阳·期末）随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新
能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区
新建新能源汽车充电桩． 为充电桩， 和 分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在
中， 交 于点 ．求证： 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理．
直接根据勾股定理求出 的长，再利用勾股定理可得出 的长，根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
在 中， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
60．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，矩形 是某公园的荷花观赏池，对角线 为观赏浮桥，
点E为公园的小门， ， 为两条小路，图中阴影部分为草坪．测得 米， 米，
米， 米．
第 60 页 共 62 页(1)求 的长；
(2)求草坪的面积．
【答案】(1) 的长为20米
(2)草坪的面积为600米2
【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先求出 米， ，然后利用勾股定理求解即可；
（2）首先证明出 是直角三角形，且 ，然后利用 代数求解即可．
【详解】（1）∵四边形 是矩形
∴ 米，
∴ 米
∴ 的长为20米；
（2）如图所示，连接
∵四边形 是矩形
∴ 米
∵ 米
∴
∴ 是直角三角形，且
∴
=
第 61 页 共 62 页米2
答：草坪的面积为600米2．
第 62 页 共 62 页
