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第 16 讲 直角三角形
第一部分：知识点梳理
知识点一 直角三角形
1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2.性质：
（1）直角三角形两个锐角互余；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
A
m
D
b
c
C B a
3.判定：
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（3）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4.直角三角形的面积公式： (c为斜边上的高，m为斜边长).
知识点二 勾股定理
1.文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．
2.变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2， c=√a2+b2,a=√c2-b2,b=√c2-b2.
【易错点】
（1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾
股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
（2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，
求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
B
c（弦）
a
（勾）
A
C
b（股）
第 1 页 共 16 页知识点三 勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.
2.勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为
勾股数.
3.常见的勾股数：
3，4，5； 6，8，10； 5，12，13；
7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；
勾股数的扩展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
第二部分：考点突破
考点1直角三角形的两个锐角互余
1．（2025·陕西·中考真题）如图，在 中， ， ， 为 边上的中线，
，则图中与 互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024·海南·中考真题）设直角三角形中一个锐角为x度（ ），另一个锐角为y度，则y与x
的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，直线 ， 于点E．若 ，则 的度
数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山西·中考真题）如图，已知 ，以 为直径的 交 于点D，与 相切于点A，
第 2 页 共 16 页连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，点
的对应点分别为 ，延长 交 于点 ，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·湖南岳阳·中考真题）如图，在 中， 是斜边 上的中线， ，则
．
7．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线交
于点 ，交 于点 ，则 ．
考点2含30度角的直角三角形
8．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度 ， ，则
中柱 （D为底边中点）的长为 ．
第 3 页 共 16 页9．（2024·新疆·中考真题）如图，在 中， ．若点D在直线 上（不
与点A，B重合），且 ，则 的长为 ．
10．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 ，
，E为垂足，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，线段 与 轴正方向夹角为 ，且
，若将线段 绕点 沿逆时针方向旋转 到线段 ，则此时点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片 中， ，点 分别在边
上，且 ，将 沿 折叠，使点A落在边 上的点F处，则 （ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在 中， ，点D，E都在边
上， ．若 ，则 的长为（ ）
第 4 页 共 16 页A． B． C． D．
14．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形 中， ， ，点E是 边上的动点，
连接 ， ，过点A作 于点F．设 ， ，则y与x之间的函数解析式为（不考虑
自变量x的取值范围）（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，把平行四边形纸片 沿对角线 折叠，点B落在点 处，
与 相交于点E，此时 恰为等边三角形，若 ，则 cm．
16．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形 中，点E在边 上， ，垂足为F．若
， ，则 的面积为 ．
17．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形 中， 为 边上一点， ，将 沿
折叠得 ，连接 ， ，若 平分 ， ，则 的长为 ．
第 5 页 共 16 页18．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在 中， ， ，点 在 上，过点
作 交 于点 ，延长 到点 ，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ，求 的长．
19．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上，
，且 ， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
考点3直角三角形斜边中线
20．（2015·江苏徐州·中考真题）如图，菱形 中，对角线 、 相交于点 ， 为 边中点，
菱形 的周长为28，则 的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
21．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在 中， ，将 沿 方向向右平移至
处，使 恰好过边 的中点D，连接 ，若 ，则 （ ）
第 6 页 共 16 页A．3 B．2 C．1 D．
22．（2024·青海·中考真题）如图，在 中，D是 的中点， ， ，则 的
长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
23．（2024·四川广元·中考真题）如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，点B，C的对应点
分别为点D，E，连接 ，点D恰好落在线段 上，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．
24．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在 中， ， ， ， ，
点 是 边的中点，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
25．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 在线段
的延长线上，且 ，若 ， ，则 的长是 ．
26．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱 ，E，F分别是斜梁 ， 的中点．若
，则 的长为 m．
第 7 页 共 16 页27．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰 中， ， ，D是 边上
的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
28．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形 中， ，面积为60，对角线AC与BD相交于点
O，过点A作 ，交边 于点E，连接 ，则 ．
29．（2024·四川成都·中考真题）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为
中点，连接 ．若 ， ，则 ．
30．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿 折
叠得到 ，连接 ．若 于点 ， ，则 的长为 ．
31．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，
，则 的长为 ．
第 8 页 共 16 页32．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间
的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型
如图， ，点 ， 分别在射线 ， 上， 长度始终保持不变， ， 为 的
中点，点 到 ， 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 的最小值为
．
33．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在 中， ， ， ，分别以点
A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线 分别交 于点D，
E，连接
(1)求 的长；
(2)求 的周长．
34．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图1，在 中， ， ，将 绕点 顺
时针旋转角 得到 ，此时点 落在 的延长线上．
(1)求 的大小；
(2)设 ，求 关于 的函数关系式；
(3)如图2，连接 ， 为 的中点，连接 ，证明：直线 ．
第 9 页 共 16 页35．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰 中， ， ，点 ， 分别
在 ， 上， ，连接 ， ，取 中点 ，连接 ．
(1)求证： ， ；
(2)将 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出 与 的位置关系：___________________；
②求证： ．
考点4勾股定理
36．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形 中，点 在边 上， ，连接 ，若 ，
，则 的长为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
37．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船
从B点出发由西向东航行10 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A
的距离为（ ）
第 10 页 共 16 页A． B． C．20 D．
38．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形 中， ，点 在边 上，连接 ，将
沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
39．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆
绳长 ，向前荡起到最高点 处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点
处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
40．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点P是边 上任意一
点，过点P作 ， ，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
41．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一
段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大
意：如图， 在 中， 里， 里， 里，则 的面积是（ ）
第 11 页 共 16 页A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里
42．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问
户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是
多少？（1丈 尺，1尺 寸）若设门的高和宽分别是 尺和 尺．则下面所列方程组正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
43．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分
别以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
44．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦
图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分
别为m， ．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
45．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题） 是直角三角形， ， ，则 的长为
．
46．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，则其斜边的长为
．
47．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知 是 的角平分线， ， 分别是 和
第 12 页 共 16 页的高， ， ，则点E到直线 的距离为 ．
48．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为 ，
则梯子顶端的高度h为 m．
49．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，点B的
坐标为 ．点E在边 上．将 沿 折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为 ．则点E
的坐标为 ．
50．（2025·山东·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点 为边 上异
于 的一点，以 ， 为邻边作 ，则线段 的最小值是 ．
51．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜边
作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，……按照
此规律继续下去，则 的值为 ．
第 13 页 共 16 页52．（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园 进行测量
规划使用，如图，点 处是它的两个门，且 ，要修建两条直路 ， 与 相交于点
（两个门 的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得 米， 米，根据实际需要，某小组同学想在四边形 地上再修一条 米
长的直路，这条直路的一端在门 处，另一端 在已经修建好的路段 或花园的边界 上，并且另一
端 与点B处的距离不少于 米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
考点5勾股定理的逆定理
53．（24-25八年级下·广西河池·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．13，12，5 B．3，3，4 C．3，6，4 D．4，8，5
54．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设 的三边分别为 ，满足下列条件的 中，不是直
角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
55．（24-25八年级下·安徽池州·期末） 的三条边是 ， ， ，下列条件不能判断 是直角三
角形的是（ ）
A． B．
第 14 页 共 16 页C． D．
56．（2025·吉林长春·中考真题）如图， 的对角线 、 相交于点 ．
求证： 是菱形．
57．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，连接 ．求四边形 的面积．
58．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平行四边形 中，对角线 相交于点
，则 的长为 ．
59．（24-25八年级下·河南信阳·期末）随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新
能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义．如图，某社区
新建新能源汽车充电桩． 为充电桩， 和 分别为两侧充电线伸出后的最长距离．已知在
中， 交 于点 ．求证： 是直角三角形．
60．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，矩形 是某公园的荷花观赏池，对角线 为观赏浮桥，
点E为公园的小门， ， 为两条小路，图中阴影部分为草坪．测得 米， 米，
米， 米．
第 15 页 共 16 页(1)求 的长；
(2)求草坪的面积．
第 16 页 共 16 页
