文档内容
2023年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算：
A． B． C． D．1
2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为
A． B．
C． D．
3．（3分）下列各点在函数 图象上的是
A． B． C． D．
4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一
期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中
9000000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级
500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中 50名同学进行研学目的地意
向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的
学生人数为
第1页（共34页）A．100 B．150 C．200 D．400
6．（3分）如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 为边 的中点，连结
．若 ， ，则
A．2 B． C．3 D．4
7．（3分）若关于 的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则 的值
为
A．4 B．8 C．12 D．16
8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它
是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为
25，小正方形面积为1，则
第2页（共34页）A． B． C．4 D．
9．（3分）如图4，抛物线 经过点 、 ，且 ，有下列
结论：
① ；
② ；
③ ；
④若点 ， ， ， 在抛物线上，则 ．
其中，正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（3分）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点， 、 是半径为1的 上两动点，且 ， 为弦 的中点．当 、
两点在圆上运动时， 面积的最大值是
第3页（共34页）A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）不等式 的解集是 ．
12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：
160，163，160，157，160．这组数据的众数为 ．
13．（3 分）如图，点 在直线 上， 是 的平分线，若 ，则
的度数为 ．
14．（3分）若 、 满足 ，则 ．
15．（3分）如图，在平行四边形 中， 是线段 上一点，连结 、 交于点
．若 ，则 ．
16．（3 分）定义：若 ， 满足 ， 且 为常数），则称点
为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ；
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则 的取值范围 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（9分）计算： ．
第4页（共34页）18．（9分）解二元一次方程组： ．
19．（9分）如图，已知 与 相交于点 ， ， ，求证： ．
20．（10分）如图，在 中， ，点 为 边上任意一点（不与点 、
重合），过点 作 ， ，分别交 、 于点 、 ，连结 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求点 到 的距离．
21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地
计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树
的数量比原计划增加了 ，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求
全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”
班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗
10 12 10
人数（人
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1） ；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 ；
第5页（共34页）（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准
备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同
学中有男生的概率．
23．（10分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值和一次函数的表达式；
（2）已知 为反比例函数 图象上的一点， ，求点 的坐标．
24．（10分）如图，已知 是 的外接圆， ， 是圆上一点， 是
延长线上一点，连结 ， ，且 ， ．
（1）求证：直线 是 是的切线；
（2）若 ， 的半径为3，求 的长．
第6页（共34页）25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达的位置△ 的位置，那么
可以得到：
， ， ；
， ， ．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不
变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；
（2）如图2，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转
到达扇形纸板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位
于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此
时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
第7页（共34页）26．（13分）已知 ， ， ， 是抛物线 为常数）上的两点，
当 时，总有 ．
（1）求 的值；
（2）将抛物线 平移后得到抛物线 ．
当 时，探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求 的取值范围；
②设抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为点 ，
外接圆的圆心为点 ．如果对抛物线 上的任意一点 ，在抛物线 上总存在一
点 ，使得点 、 的纵坐标相等．求 长的取值范围．
第8页（共34页）2023年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（3分）计算：
A． B． C． D．1
【分析】直接合并同类项得出答案．
【解答】解： ．
故选： ．
2．（3分）下面几何体中，是圆柱的为
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
【解答】解： ．选项中的几何体是圆锥体，因此选项 不符合题意；
．选项中的几何体是球体，因此选项 不符合题意；
．选项中的几何体是圆柱体，因此选项 符合题意；
．选项中的几何体是四棱柱，因此选项 不符合题意；
故选： ．
3．（3分）下列各点在函数 图象上的是
A． B． C． D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．
【解答】解： ．当 时， ，
第9页（共34页）点 不在函数 图象上；
．当 时， ，
点 不在函数 图象上；
．当 时， ，
点 不在函数 图象上；
．当 时， ，
点 在函数 图象上；
故选： ．
4．（3分）从水利部长江水利委员会获悉，截止2023年3月30日17时，南水北调中线一
期工程自2014年12月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约90亿立方米．其中
9000000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值
时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解： ．
故选： ．
5．（3分）乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源．某校准备组织初一年级
500名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中 50名同学进行研学目的地意
向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示．估计初一年级愿意去“沫若故居”的
学生人数为
第10页（共34页）A．100 B．150 C．200 D．400
【分析】用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．
【解答】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为 （人 ，
故选： ．
6．（3分）如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 为边 的中点，连结
．若 ， ，则
A．2 B． C．3 D．4
【分析】由菱形的性质得到 ， ， ，由勾股定理求出
的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出 的长．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ，
， ，
， ，
，
为边 的中点，
第11页（共34页）．
故选： ．
7．（3分）若关于 的一元二次方程 两根为 、 ，且 ，则 的值
为
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】首先根据根与系数的关系得出 ，再根据 ，求得 ， ，进一步
得出 求得答案即可．
【解答】解： 一元二次方程 的两根为 ， ，
，
，
解得 ， ，
．
故选： ．
8．（3分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它
是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为
25，小正方形面积为1，则
A． B． C．4 D．
第12页（共34页）【分析】根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出 的值．
【解答】解：设大正方形的边长为 ，直角三角形的短直角边为 ，长直角边为 ，
由题意可得： ， ， ，
解得 ， ， ，
，
故选： ．
9．（3分）如图4，抛物线 经过点 、 ，且 ，有下列
结论：
① ；
② ；
③ ；
④若点 ， ， ， 在抛物线上，则 ．
其中，正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得 ，由
抛物线的对称轴位置得 ，由抛物线与 轴的交点位置得 ，再根据二次函数的性质
和图象分别判断即可得出答案．
【解答】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
，故①正确；
第13页（共34页）抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
抛物线经过点 ，
，
，
当 时， ，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，
，
，故③正确；
点 ， 到对称轴的距离比点 ， 到对称轴的距离近，
，故④的结论错误．
故选： ．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别交于 、
两点， 、 是半径为1的 上两动点，且 ， 为弦 的中点．当 、
两点在圆上运动时， 面积的最大值是
第14页（共34页）A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】判断三角形 和三角形 都是等腰直角三角形，由题得，当 、 、 共
线时， 最大，求出 、 ，根据面积公式计算即可．
【解答】解：作 ，连接 、 、 ，
， ，
，
为等腰直角三角形，
由 得，点 、 ，
，
为等腰直角三角形，
， ，
由题得，当 、 、 共线时， 最大，
为中点，
，
，
第15页（共34页）．
故选： ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）不等式 的解集是 ．
【分析】根据不等式的基本性质，左右两边同时加上1，就可求出 的取值范围．
【解答】解：解不等式 得， ．
12．（3分）小张在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：
160，163，160，157，160．这组数据的众数为 16 0 ．
【分析】根据众数的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据中160出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为160，
故答案为：160．
13．（3 分）如图，点 在直线 上， 是 的平分线，若 ，则
的度数为 ．
【分析】根据邻补角定义求得 的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解答】解： ，
，
是 的平分线，
，
故答案为： ．
第16页（共34页）14．（3分）若 、 满足 ，则 1 6 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
【解答】解： ，
，
．
故答案为：16．
15．（3分）如图，在平行四边形 中， 是线段 上一点，连结 、 交于点
．若 ，则 ．
【分析】通过证明 ，可得 ，即可求解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
第17页（共34页）16．（3 分）定义：若 ， 满足 ， 且 为常数），则称点
为“和谐点”．
（1）若 是“和谐点”，则 ；
（2）若双曲线 存在“和谐点”，则 的取值范围 ．
【分析】（1）根据题意得出 ，消去 得到 ，解方程即可求得
；
（ 2 ） 根 据 题 意 得 出 ， ① ② 得 ， 整 理 得
，由 ，得出 ，理得 ，由
，得出 ．
【解答】解：（1） 是“和谐点”，
，
消去 得到 ，
解得 或3，
，
；
故答案为： ；
（2） 双曲线 存在“和谐点”，
，
第18页（共34页）① ②得 ，
，
，
，
整理得 ，
，
．
故答案为： ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演
算步骤．
17．（9分）计算： ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得
出答案．
【解答】解：原式
．
18．（9分）解二元一次方程组： ．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解： ，
① 得： ③，
② ③得： ，
解得： ，
把 代入①中得： ，
解得： ，
第19页（共34页）原方程组的解为： ．
19．（9分）如图，已知 与 相交于点 ， ， ，求证： ．
【分析】由平行线的性质可得 ， ，利用 即可判定 ，
从而得 ．
【解答】证明： ，
， ，
在 和 中，
，
，
．
20．（10分）如图，在 中， ，点 为 边上任意一点（不与点 、
重合），过点 作 ， ，分别交 、 于点 、 ，连结 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求点 到 的距离．
第20页（共34页）【分析】（1）先证四边形 为平行四边形，即可求解；
（2）由勾股定理可求 的长，由面积法可求解．
【解答】（1）证明： ， ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
四边形 为矩形；
（2）解：过点 作 于 ，
在 中， ， ，
，
，
，
点 到 的距离为 ．
21．（10分）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地
计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树
的数量比原计划增加了 ，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？
【分析】设原计划每天种植梨树 棵，则实际每天种植梨树 棵，利用工作时间
工作总量 工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于 的分式方程，
解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种植梨树 棵，则实际每天种植梨树 棵，
第21页（共34页）根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树500棵．
22．（10分）为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求
全班同学人人参与．经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”
班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．
家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗
10 12 10
人数（人
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1） 8 ；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 ；
（3）班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名同学，其中有2名男生．现准
备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同
学中有男生的概率．
【分析】（1）先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得 的值；
（2）用 乘以“拖地”所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）因为被调查的总人数为 （人 ，
所以 ，
故答案为：8；
（2）在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为 ，
第22页（共34页）故答案为： ；
（3）列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
（男1，男 （男1，女 （男1，女
男2
（男2，男 （男2，女 （男2，女
女1
（女1，男 （女1，男 （女1，女
女2
（女2，男 （女2，男 （女2，女
由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果，
所以所选同学中有男生的概率为 ．
23．（10分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 的值和一次函数的表达式；
（2）已知 为反比例函数 图象上的一点， ，求点 的坐标．
【分析】（1）把 代入反比例函数解析式求得 的值，然后利用待定系数法即可求
得一次函数的解析式；
（2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，由 得到
第23页（共34页），即 ，解得 ，即可求得点 的纵坐
标为2或 ，进一步求得点 的坐标．
【解答】解：（1） 点 在反比例函数 的图象上，
，
，
，
又 点 、 都在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）对于 ，当 时， ，
，
，
，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
，
，即 ，
解得 ，
点 的纵坐标为2或 ，
将 或 代入 得 或 ，
第24页（共34页）点 或 ．
24．（10分）如图，已知 是 的外接圆， ， 是圆上一点， 是
延长线上一点，连结 ， ，且 ， ．
（1）求证：直线 是 是的切线；
（2）若 ， 的半径为3，求 的长．
【分析】（1）先由 ，证明 是 的直径，再证明 ，则
，即可证明直线 是 是的切线；
（2）由 ，得 ，则 ，
，所以 ，则 ．
【解答】（1）证明： ，
是 的直径，
，
，
，
第25页（共34页），
，
，
，
，
是 的半径，且 ，
直线 是 是的切线．
（2）解：作 于点 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是 ．
25．（12分）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
第26页（共34页）刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达的位置△ 的位置，那么
可以得到：
， ， ；
， ， ．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不
变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应
角相等 ；
（2）如图2，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转
到达扇形纸板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位
于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此
时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
【分析】【问题解决】
（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①作线段 ， 的垂直平分线，两垂直平分线交于 ，点 为所求；
②由 ， ，可得 ，再用弧长公式可得答案；
【问题拓展】
第27页（共34页）连 接 ， 交 于 ， 连 接 ， ， ， ， ， 求 出
， ，可得 ；
，证明△ 可知阴影部分关于 对称，故重叠
部分面积为 ．
【解答】解：【问题解决】
（1）根据题意， ， ， ； ，
的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：
作线段 ， 的垂直平分线，两垂直平分线交于 ，点 为所求；
② ， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点 经过的路径长为 ，
第28页（共34页）故答案为： ；
【问题拓展】
连接 ，交 于 ，连接 ， ， ， ， ，如图：
点 为 中点，
，
由旋转得 ， ，
在 中， ，
，
在 △ 中，
， ，
；
，
下面证明阴影部分关于 对称：
， ，
，
，
，
，
，
第29页（共34页）△ ，
，
，
， ，
△ ，
阴影部分面积被 等分，
．
两个纸板重叠部分的面积是 ．
26．（13分）已知 ， ， ， 是抛物线 为常数）上的两点，
当 时，总有 ．
（1）求 的值；
（2）将抛物线 平移后得到抛物线 ．
当 时，探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求 的取值范围；
②设抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线 的顶点为点 ，
外接圆的圆心为点 ．如果对抛物线 上的任意一点 ，在抛物线 上总存在一
点 ，使得点 、 的纵坐标相等．求 长的取值范围．
【分析】（1）根据当 时，总有 ，构建方程，求解即可；
（2）①求出抛物线经过 或 时的 的值，可得结论；
第30页（共34页）② 判 断 出 抛 物 线 经 过 或 时 的 值 ， 求 出 的 取 值 范 围 ， 再 根 据
，设 ，构建关系式，求出即 ，可得结论．
【解答】解：（1）由题可知： ， ，
当 时，总有 ，
，
整理得： ，
，
，
，
；
（2）①注意到抛物线 最大值和开口大小不变， 只影响图象左右平移．
下面考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线 过点 时，如图1所示，
此时， ， ，解得 或 （舍 ．
第31页（共34页）当抛物线 过点 时，如图2所示，
此时， ，
解得 或 （舍 ．
综上所述， ；
②同①考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线 过点 时，如图3所示，
此时， ， ，解得 或 （舍 ．
第32页（共34页）当抛物线 过点 时，如图4所示，
此时， ， ，解得 或0（舍 ．
综上所述， ．
如图5，由圆的性质可知，点 、 在线段 的垂直平分线上，
，解得 ， ，
，
．
第33页（共34页），
设 ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，即 ，
，
．
第34页（共34页）
