文档内容
2023年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、
D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，
填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）（2023.南充中考）如果向东走 记作 ，那么向西走 记作
A． B． C． D．
2．（4分）（2023.南充中考）如图，将 沿 向右平移得到 ，若 ，
，则 的长是
A．2 B．2.5 C．3 D．5
3．（4分）（2023.南充中考）某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子
尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的
女鞋尺码是
A． B． C． D．
4．（4分）（2023.南充中考）如图，小兵同学从 处出发向正东方向走 米到达 处，再
向正北方向走到 处，已知 ，则 ， 两处相距
第1页（共36页）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（4分）（2023.南充中考）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳
四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺 寸）．意
思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳
子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为 尺，则可列方程为
A． B．
C． D．
6．（4分）（2023.南充中考）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚
下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好
在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜子的水
平距离为 ，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为
A． B． C． D．
7．（4分）（2023.南充中考）若点 在抛物线 上，则下列各点在抛物
线 上的是
A． B． C． D．
第2页（共36页）8．（4分）（2023.南充中考）如图，在 中， ， ， ．以点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ，画射线 与 交于点 ，
，垂足为 ．则下列结论错误的是
A． B． C． D．
9．（4分）（2023.南充中考）关于 ， 的方程组 的解满足 ，则
的值是
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（4分）（2023.南充中考）抛物线 与 轴的一个交点为 ，若
，则实数 的取值范围是
A． B． 或 C． D． 或
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线
上．
11．（4分）（2023.南充中考）若 ，则 的值为 ．
12．（4分）（2023.南充中考）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无
其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有
个．
13．（4分）（2023.南充中考）如图， 是 的直径，点 ， 分别是弦 ，弧
的中点， ， ，则 的长是 ．
第3页（共36页）14．（4分）（2023.南充中考）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为
和 ，当动力臂由 增加到 时，撬动这块石头可以节省 的力．
（杜杆原理：阻力 阻力臂 动力 动力臂）
15．（4分）（2023.南充中考）如图，直线 为常数， 与 ， 轴分
别交于点 ， ，则 的值是 ．
16．（4分）（2023.南充中考）如图，在等边 中，过点 作射线 ，点 ，
分别在边 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，连接
，已知 ．给出下列四个结论：① 为定值；②当 时，四边形
为菱形；③当点 与 重合时， ；④当 最短时， ．
其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
第4页（共36页）17．（8分）（2023.南充中考）先化简，再求值： ，其中 ．
18．（8 分）（2023.南充中考）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，
．
求证：（1） ；
（2） ．
19．（8分）（2023.南充中考）为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第
二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动： ．物品整理， ．环境
美化， ．植物栽培， ．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科
代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．
（1）已知该班有15人参加 类活动，则参加 类活动有多少人？
（2）该班参加 类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，
若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和 1
名男生的概率．
20．（10分）（2023.南充中考）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求 的值．
21．（10分）（2023.南充中考）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 ，
， ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
第5页（共36页）（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点 在 轴上，若 ，求点 的坐标．
22．（10分）（2023.南充中考）如图， 与 相切于点 ，半径 ， 与
相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
23．（10分）（2023.南充中考）某工厂计划从 ， 两种产品中选择一种生产并销售，
每日产销 件．已知 产品成本价 元 件 为常数，且 ，售价8元 件，每日最
多产销500件，同时每日共支付专利费30元； 产品成本价12元 件，售价20元 件，每
日最多产销300件，同时每日支付专利费 元， （元 与每日产销 （件 满足关系式
．
（1）若产销 ， 两种产品的日利润分别为 元， 元，请分别写出 ， 与 的函
数关系式，并写出 的取值范围；
第6页（共36页）（2）分别求出产销 ， 两种产品的最大日利润． 产品的最大日利润用含 的代数式
表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润 （售价 成本） 产销数量 专利费】
24．（10分）（2023.南充中考）如图，正方形 中，点 在边 上，点 是
的中点，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）将 绕点 逆时针旋转，使点 的对应点 落在 上，连接 ．当点 在边
上运动时（点 不与 ， 重合），判断 的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知 ，当 时，求 的长．
25．（12分）（2023.南充中考）如图1，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，点 在 轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
求点 的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ，过点 的直线（直线 除
外）与抛物线交于 ， 两点，直线 ， 分别交 轴于点 ， ．试探究
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
第7页（共36页）2023年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、
D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，
填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）（2023.南充中考）如果向东走 记作 ，那么向西走 记作
A． B． C． D．
【考点】正数和负数
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：如果向东走 记作 ，那么向西走 记作 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确
什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另
一个就用负表示．
2．（4分）（2023.南充中考）如图，将 沿 向右平移得到 ，若 ，
，则 的长是
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【考点】平移的性质
【分析】根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
第8页（共36页）【解答】解：由平移的性质可知： ，
故选： ．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行且相等是解题
的关键．
3．（4分）（2023.南充中考）某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋60双，对这批鞋子
尺码及销量进行统计，得到条形统计图（如图）．根据图中信息，建议下次进货量最多的
女鞋尺码是
A． B． C． D．
【考点】条形统计图
【分析】利用众数的意义得出答案．
【解答】解：由题意可知，销量最多的是 ，
所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数
众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中
趋势的量．
4．（4分）（2023.南充中考）如图，小兵同学从 处出发向正东方向走 米到达 处，再
向正北方向走到 处，已知 ，则 ， 两处相距
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
第9页（共36页）【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，即可解答．
【解答】解：由题意得： ，
在 中， ， 米，
（米 ，
， 两处相距 米，
故选： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．（4分）（2023.南充中考）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳
四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺 寸）．意
思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳
子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为 尺，则可列方程为
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程
【分析】设长木长为 尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为
尺；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知： ，即可列出相应的
方程．
【解答】解：设长木长为 尺，
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
绳子长为 尺，
绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为： ．
第10页（共36页）故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关
系，列出相应的一元一次方程．
6．（4分）（2023.南充中考）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚
下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好
在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜子的水
平距离为 ，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的应用
【分析】根据镜面反射的性质， ，再根据相似三角形对应边成比例列式求解
即可．
【解答】解：如图：
， ，
，
，
，
，
即 ，
，
故选： ．
第11页（共36页）【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再
运用相似三角形对应边成比例即可解答．
7．（4分）（2023.南充中考）若点 在抛物线 上，则下列各点在抛物
线 上的是
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点 代入 即可求出
，然后将四个选项中的坐标代入 中，看两边是否相等，即可判断该点
是否在抛物线上．
【解答】解： 点 在抛物线 上，
，
把 代 入 得 ， 故 点 和 点 不 在 抛 物 线
上，故 、 不合题意；
把 代入 得 ，故点 不在抛物线 上，故
不合题意；
把 代入 得 ，故点 在抛物线
上， 符合题意；
第12页（共36页）故选： ．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
8．（4分）（2023.南充中考）如图，在 中， ， ， ．以点
为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ，画射线 与 交于点 ，
，垂足为 ．则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—基本作图；勾股定理；角平分线的性质
【分析】由基本作图可判断 ；根据角平分线的性质可判断 ；由三角形的面积公式求出
再根据勾股定理求出 ，可判断 ；求出 的长可判断 ．
【解答】解：由作图可得， 平分 ，
，故选项 不符合题意；
， ，
，故选项 不符合题意；
在 中， ， ，
，
的面积为 的面积 的面积，
，
，
解得 ，
，故选项 符合题意；
，
第13页（共36页），故选项 不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了作图 基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关
键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．（4分）（2023.南充中考）关于 ， 的方程组 的解满足 ，则
的值是
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】幂的乘方与积的乘方；二元一次方程组的解
【分析】根据方程组① ②得， ，即 ，再根据 ，
得 ，所以 ．
【解答】解： 方程组 ，
① ②得， ，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，
能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
10．（4分）（2023.南充中考）抛物线 与 轴的一个交点为 ，若
第14页（共36页），则实数 的取值范围是
A． B． 或 C． D． 或
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 轴的交点
【分析】由抛物线 与 轴有交点，可得 ，故 或
；根据抛物线 与 轴的一个交点为 ， ，知 和
时的函数值异号，故 ，可得 或 ，
即可得到答案．
【解答】解： 抛物线 与 轴有交点，
△ ，即 ，
，
解得 或 ；
抛物线 与 轴的一个交点为 ， ，
，
即 ，
，
解得 或 ，
实数 的取值范围是 或 ，
（备注：没有正确选项，故选
故选： ．
第15页（共36页）【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键
是根据已知列出满足条件的不等式．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线
上．
11．（4分）（2023.南充中考）若 ，则 的值为 ．
【考点】分式的值为零的条件
【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意，得 且 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）
分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．（4分）（2023.南充中考）不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无
其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有
6 个．
【考点】概率公式
【分析】设红球有 个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有 个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的根，
则袋中红球有6个．
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件 的概率 （A） 事件 可能出现的结果数除
以所有可能出现的结果数．
13．（4分）（2023.南充中考）如图， 是 的直径，点 ， 分别是弦 ，弧
的中点， ， ，则 的长是 4 ．
第16页（共36页）【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【分析】根据垂径定理得 ，根据圆周角定理得 ，根据勾股定理得
，根据三角形中位线定理得 ， ，所以
， ．
【解答】解： 点 是弧 的中点，
，
是 的直径，
，
， ，
，
，
点 是弦 的中点，
， ，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和
运用这些定理是解题的关键．
14．（4分）（2023.南充中考）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为
和 ，当动力臂由 增加到 时，撬动这块石头可以节省 10 0 的力．
（杜杆原理：阻力 阻力臂 动力 动力臂）
【考点】反比例函数的应用
【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入 和 求得力的大小即可．
【解答】解：根据“杠杆定律”有 ，
第17页（共36页）函数的解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
因此，撬动这块石头可以节省 ，
故答案为：100．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模
型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
15．（4分）（2023.南充中考）如图，直线 为常数， 与 ， 轴分
别交于点 ， ，则 的值是 1 ．
【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点 和点 的坐标，然后即可计算出
的值．
【解答】解： 直线 ，
当 时， ；当 时， ；
点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ，
， ，
第18页（共36页），
故答案为：1．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明
确题意，求出点 和点 的坐标，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）（2023.南充中考）如图，在等边 中，过点 作射线 ，点 ，
分别在边 ， 上，将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，连接
，已知 ．给出下列四个结论：① 为定值；②当 时，四边形
为菱形；③当点 与 重合时， ；④当 最短时， ．
其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）
【考点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，得 ，故
，判断①正确；由 ，得 ，可得
是等边三角形，即可得 ，判断②正确；当点 与 重合时，
可得 ， ，判断③错误；当 最短时，
， 过 作 于 ， 交 延 长 线 于 ， 设 ， 有
，可求得 ，设 ，则 ， ，
第19页（共36页），有 ，可求出 ， ，在 中，
， ， 故 ， 在 中 ，
，判断④正确．
【解答】解： 将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，
，
，
是等边三角形， ，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，
， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
四边形 为菱形；故②正确；
当点 与 重合时，如图：
第20页（共36页）， ，
，
将 沿 折叠，使点 落在射线 上的点 处，
， ，
，
，故③错误；
当 最短时， ，过 作 于 ，交 延长线于 ，如图：
，
， ， ，
设 ，则 ，
在 △ 中， ，
，
解得 ，
第21页（共36页），
，
，
，
，
，
，
， ，
设 ，则 ， ， ，
，
在 △ 中， ，
，
解得 ，
， ，
在 中， ，
， ，
，
在 中，
，故④正确，
正确的有①②④，
第22页（共36页）故答案为：①②④．
【点评】本题考查等边三角形中的翻折问题，涉及含 角的直角三角形三边的关系，解
题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．（8分）（2023.南充中考）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得
到最简结果，将 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
，
当 时，原式 ．
【点评】此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8 分）（2023.南充中考）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，
．
求证：（1） ；
（2） ．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ， ，求得 ，
根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线的判定定理即可得到
．
【解答】证明：（1） 四边形 是平行四边形，
， ，
第23页（共36页），
在 与 中，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形
的性质是解题的关键．
19．（8分）（2023.南充中考）为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第
二周开展了劳动教育实践周活动．七（1）班提供了四类活动： ．物品整理， ．环境
美化， ．植物栽培， ．工具制作．要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科
代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图（如图）．
（1）已知该班有15人参加 类活动，则参加 类活动有多少人？
（2）该班参加 类活动的学生中有2名女生和2名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，
若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和 1
名男生的概率．
【考点】扇形统计图；列表法与树状图法
【分析】（1）由参加 类活动的人数除以所占百分比得出该班总人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和1名男生的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
第24页（共36页）【解答】解：（1）该班总人数为： （人 ，
参加 类活动有： （人 ，
答：参加 类活动有10人；
（2）把2名女生分别记为 、 （其中 为王丽），2名男生分别记为 、 ，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和1名男生的结果有4种，
刚好抽中王丽和1名男生的概率为 ．
【点评】此题考查的是树状图法以及扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总
情况数之比．
20．（10分）（2023.南充中考）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 为何值，方程总有实数根；
（2）若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求 的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】（1）由判别式△ ，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知 ， ，由 进行变形
直接代入得到 ，求解可得．
【解答】（1）证明： △
第25页（共36页），
方程总有实数根；
（2）解：由题意知， ， ，
，
，整理得 ，
或 ，
解得 或 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的
两根时， ， ．也考查了根的判别式．
21．（10分）（2023.南充中考）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点 ，
， ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点 在 轴上，若 ，求点 的坐标．
第26页（共36页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把
的坐标代入反比例函数解析式求出 的坐标，把 、 的坐标代入所设一次函数解析式
即可求出函数的解析式；
（2）依据题意，结合图象，设出 的坐标，求出 和 的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意，设反比例函数、一次函数分别为 ，
，
点 在反比例函数图象上，
．
反比例函数解析式为 ．
点 在反比例函数图象上，
．
．
．
点 ， 在一次函数 的图象上，
．
第27页（共36页）．
一次函数解析式为 ．
（2）设点 ，由（1）得，直线 交 轴于点 ，
．
在 轴上，
．
又 ，
．
．
点 的坐标为 或 ．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式
三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数
形结合思想的运用．
22．（10分）（2023.南充中考）如图， 与 相切于点 ，半径 ， 与
相交于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【考点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形
【 分 析 】 （ 1 ） 连 接 交 于 点 ， 根 据 切 线 的 性 质 和 圆 周 角 定 理 得
第28页（共36页），进而可以解决问题；
（2）过点 作 于点 ，得 是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股
定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接 交 于点 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点 作 于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
第29页（共36页）设 ，则 ，
，
解得 ，
．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，
解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
23．（10分）（2023.南充中考）某工厂计划从 ， 两种产品中选择一种生产并销售，
每日产销 件．已知 产品成本价 元 件 为常数，且 ，售价8元 件，每日最
多产销500件，同时每日共支付专利费30元； 产品成本价12元 件，售价20元 件，每
日最多产销300件，同时每日支付专利费 元， （元 与每日产销 （件 满足关系式
．
（1）若产销 ， 两种产品的日利润分别为 元， 元，请分别写出 ， 与 的函
数关系式，并写出 的取值范围；
（2）分别求出产销 ， 两种产品的最大日利润． 产品的最大日利润用含 的代数式
表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润 （售价 成本） 产销数量 专利费】
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组；二次函数的应用
第30页（共36页）【分析】（1）根据利润 （售价 成本） 产销数量 专利费即可列出解析式，注意取值
范围．
（2）根据解析式系数 确定增减性，再结合 得取值范围选择合适的值得出最大值．
（3）分类讨论当什么情况下 、 利润一样，什么情况下 利润大于 以及什么情况下
利润小于 即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得 ， ．
， ．
（2） ， 随 的增大而增大，又 ，
当 时， 有最大值，即 （元 ．
．
又 ．对称轴 ．
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， （元 ．
（3）①若 ，即 ，解得 ，
②若 ，即 ，解得 ，
③若 ，即 ，解得 ．
又 ，综上可得，为获得最大日利润：
当 时，选择 ， 产品产销均可；
当 时，选择 种产品产销；
当 时，选择 种产品产销．
答：当 产品成本价为 5.1元时，工厂选择 或 产品产销日利润一样大，当 产品
第31页（共36页）时，工厂选择 产品产销日利润最大，当 时，工厂选择 产品产销日
利润最大．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．
24．（10分）（2023.南充中考）如图，正方形 中，点 在边 上，点 是
的中点，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）将 绕点 逆时针旋转，使点 的对应点 落在 上，连接 ．当点 在边
上运动时（点 不与 ， 重合），判断 的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知 ，当 时，求 的长．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证 ，
根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据折叠的性质可得根据旋转的性质可得， ，再根据直角三角形斜边的中
线的性质可得 ，进一步可得 ，可得 ，再根据正
方形的性质可得 ，进一步可得 ，可证△ 是等腰直角三角形；
（3）延长 交 于点 ，根据三角形外角的性质可得 ，进一步可得
， 根 据 ， 可 得 ， 进 一 步 可 得
， 再 证 明 ， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得
，可得 ，设 ，则 ，根据勾股定理，
，列方程求解即可．
【解答】（1）证明：在正方形 中， ， ，
第32页（共36页）为 的中点，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
根据旋转的性质可得， ，
，
，
， ，
，
，
，
在正方形 中， ，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：延长 交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
，
，
，
第33页（共36页），
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
在正方形 中， ，
设 ，则 ，
根据勾股定理， ，
，
解得 或 （舍去），
．
【点评】本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相
似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中
线的性质，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．
25．（12分）（2023.南充中考）如图1，抛物线 与 轴交于 ，
第34页（共36页）两点，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线上，点 在 轴上，以 ， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形，
求点 的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ，过点 的直线（直线 除
外）与抛物线交于 ， 两点，直线 ， 分别交 轴于点 ， ．试探究
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当 或 为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当 为对角线时，
同理可解；
（3）求出直线 的表达式为： ，得到 ， ，同理可得，
，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为： ，
即 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）设点 的坐标为： ，点 ，
第35页（共36页）当 或 为对角线时，由中点坐标公式得： ，
解得： （舍去）或2，
则点 ；
当 为对角线时，同理可得： ，
解得： ，
则点 的坐标为： ， ， 或 ， ；
（3）是定值，理由：
直线 过点 ，故设直线 的表达式为： ，
设点 、 的坐标分别为： ，点 ，
联立 和 并整理得： ，
则 ， ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
令 ，则 ，即点 ， ，
则 ，
同理可得， ，
则 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和
系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
第36页（共36页）
