文档内容
专题02 数列（解答题12种考法）考法一 数列通项和求和常见方法
【例1-1】（河北省沧州市联考2024届高三上学期10月月考数学试题）已知数列 的前n项和为 ，
且满足 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 ， ，数列 的前n项和为 ，证明： ．【例1-2】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ．
(1)证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数
列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．【变式】
1．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记 为等差数列 的前n项和，已知 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前23项的和 .
2．（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 ， 满足： ， ，
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，
．
(1)求数列 的通项 ；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
考法二 裂项相消常见形式
【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列 中，已知 ， ，记
．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记______，数列 的前n项和为 ，求 ．
在① ；② ；③ 三个条件中选择一个补充在第
（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列，且
公差 ， .
(1)求数列 的通项公式以及前 项和 ；
(2)数列 的前 项和为 ，求证： .【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列 是公比 的等比数列，前三项
和为39，且 成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 ．
2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列 的前 项和为 且 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
4.（2022·浙江·三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，数列 满足 ，
，其中 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．5.（2022·天津南开）已知数列 是公比 的等比数列，前三项和为13，且 ， ， 恰好分别是
等差数列 的第一项，第三项，第五项．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
考法三 分段函数
【例3-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 ，求 .
【变式】
1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题）已知等差数列 的
前 项和为 ，且满足 ， ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023·海南·统考模拟预测）在① 成等比数列，且 ；② ，数列
是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和为 . 是公比为 的等比数列. .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
考法四 插项数列
【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的首项 ， ，
.
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)在 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 .记 为数列
的前n项和，求 .【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)在 相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列 的前2n项和 .
【变式】
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测） 为数列 的前 项和，已知 ，
且 .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插入 项，
所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前100项的和.2．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数 和 之间插入 个实数，使得这 个数构成
递增的等比数列，将这 个数的乘积记作 ，令 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列 的首项为 ，公比为 （ 为正整
数），且满足 是 与 的等差中项；数列 满足 （ ， ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)试确定 的值，使得数列 为等差数列；
(3)当 为等差数列时，对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个新数列 .设 是数列
的前 项和，试求 .考法五 数列中的存在性问题
【例5】23．（2023·广东·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．2．（2023·山东日照·三模）已知数列 满足： .
(1)当 时，求数列 中的第10项；
(2)是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由.
3．（2023·上海嘉定·校考三模）已知数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，点 均
在函数 图象上.
(1)证明：数列 是等比数列；(2)问 中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
考法六 数列与三角函数综合运用
【例6-1】（2020秋·宁夏中卫·高三海原县第一中学校考期中）已知 的三个内角 、 、 的对边分
别为 、 、 ，内角 、 、 成等差数列， ，数列 是等比数列，且首项、公比均为
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．【例6-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【变式】
1.（2022·安徽）已知函数 的最小正周期为6．
(1)已知△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，若 ， ，求 的值；
(2)若 ，求数列 的前2022项和 ．2.（2022·河南）已知数列{ }满足
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ，求数列{ }的前n项和 ，并求 的最大值.
3.（2022·安徽）已知函数 ，
(1)求 的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若 在区间 上的根按从小到大的顺序依次记为 求数列 的通项公式及其前n
项和 ．考法七 数列与统计概率综合
【例7】（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出
“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送
2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是 ，若上
一次获胜则下一次获胜的概率也是 ，若上一次失败则下一次成功的概率是 ．记消费者甲第 次获胜的
概率为 ，数列 的前 项和 ，且 的实际意义为前 次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率 ；
(2)证明： 为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健
身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
每周健身次
1次 2次 3次 4次 5次 6次及6次以上
数
男 4 6 5 3 4 28
女 7 5 8 7 6 17
附： ，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成 列联表，根据小概率值 的独
立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房 健身的概率为 ，去健身房 健身的概率为 ，从第二次起，若
前一次去健身房 ，则此次不去 的概率为 ；若前一次去健身房 ，则此次仍不去 的概率为 .记第
次去健身房 健身的概率为 ，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
2．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 ，其中 能通
过行业标准检测的概率分别为 ，且 是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品 通过行业标准检测的品种数为 ，求 的分布列；
(2)已知新品 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品 中任意抽取一件进
行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过 ．
如果抽取次数的期望值不超过5，求 的最大值．
参考数据：3．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾
客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 ；
从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概
率为 ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 ．
(1)求 的值，并探究数列 的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
考法八 数列中的最值
【例8】（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．【变式】
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ， ， 为数列
的前 项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求使 成立的 的最大值.
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)议 ，当 取得最小值时，求n的取值．3．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列 是公差为2的等差数列，且 是 和 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求使得 成立的最大正整数 的值．
考法九 数列中求参问题
【例9】（2023·全国·统考高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别
为数列 的前 项和．(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【变式】
1．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知正项数列 ，对任意 ，都有
为数列 的前 项和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求实数 的取值范围．
2．（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列 满足 ，
(1)记 ，求证： 为等比数列；(2)设数列 满足： ， ，若不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
3．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）在数列 中， ， 的前 项为 ．
(1)求证： 为等差数列，并求 的通项公式；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
考法十 数列与函数导数综合
【例10-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列 ， 满足， 是等比数列，且 的前 项和 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 ， 的前 项和为 ，证明： .
【例10-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.
【变式】1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，当 时， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说
明理由.
2．（2023·陕西西安·校考三模）已知数列 是等差数列， ，且 、 、 成等比数列．给定
，记集合 的元素个数为 ．
(1)求 、 、 的值；
(2)设数列 的前 项和为 ，判断数列 的单调性，并证明.3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列 ，满足
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
考法十一 新概念数列
【例11】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 是首项为1的等差数列，数列 是公比为2的
等比数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 表示不超过 的最大整数（如： ），求集合
中元素的个数．【变式】
1．（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列 的前 项积为 ，且 .
(1)证明： 是等差数列；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，定义 为不超过 的最大整数，例如 ，
，求 的前 项和 .
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义 ，记 ，求数列 的前20项和 ．考法十二 数列与其他知识的综合
【例12】（2023·江苏无锡·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3的余数.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 在区间 中的项的个数，求数列 前100项的和.2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)集合 ，将集合 的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为 ，求 ．
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差数
列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列 ，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
