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课时跟踪检测（四十九） 5 大技法破解“计算繁而
杂”这一难题
1．过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为
C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．3 D．2
解析：选B ∵直线MF的斜率为，MN⊥l，
∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，
∴△NMF是边长为4的等边三角形，
∴M到直线NF的距离为2.故选B.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与
双曲线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．－＝1
解析：选D 不妨设B(0，b)，由BA＝2AF，F(c,0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，
∴＝.①
又|BF|＝＝4，c2＝a2＋b2，∴a2＋2b2＝16.②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1.
3．已知直线y＝2x＋m与椭圆C：＋y2＝1相交于A，B两点，O为坐标原点．当
△AOB的面积取得最大值时，|AB|＝( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由得21x2＋20mx＋5m2－5＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，
1 1 2 2 1 2
xx＝，
1 2
|AB|＝＝＝.
又O到直线AB的距离d＝，
则△AOB的面积S＝d·|AB|＝≤＝，
当且仅当m2＝21－m2，即m2＝时，△AOB的面积取得最大值．此时，|AB|＝＝.
4．记双曲线C：－＝1的左焦点为F，双曲线C上的点M，N关于原点对称，且∠MFN＝
∠MOF＝90°，则＝( )
A．3＋2 B．4＋2
C．3＋ D．4＋解析：选A 设双曲线的右焦点是F′，由双曲线的对称性和∠MF′N＝90°，得四边形
MFNF′是矩形，∵∠MOF＝120°，∴∠MOF′＝60°，故△MOF′是等边三角形．
∴在Rt△MFF′中，∴∠MFF′＝30°，＝2c，
∴＝c，＝c，
∵－＝2a，∴c－c＝2a，
∴＝＝＋1，
∴＝＝－1＝(＋1)2－1＝3＋2，故选A.
5．椭圆＋y2＝1上存在两点A，B，且A，B关于直线4x－2y－3＝0对称，若O为坐标原
点，则＝( )
A．1 B．
C. D．
解析：选C 由题意直线AB与直线4x－2y－3＝0垂直，设直线AB的方程为y＝－x＋
m.
由消去y整理得x2－2mx＋2m2－2＝0，
∵直线AB与椭圆交于两点，
∴Δ＝(－2m)2－4(2m2－2)＝－4m2＋8>0，
解得－0)经过点M(1,2)，直线l与抛物线交于相异两点A，B，若
△MAB的内切圆圆心为(1，t)，则直线l的斜率为________．
解析：将点M(1,2)代入y2＝2px，可得p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，
由题意知，直线l斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x＝my＋n(m≠0)，
代入y2＝4x，得y2－4my－4n＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4m，yy＝－4n，
1 1 2 2 1 2 1 2
又由△MAB的内切圆心为(1，t)，
可得k ＋k ＝＋＝＋＝0，
MA MB
整理得y＋y＋4＝4m＋4＝0，解得m＝－1，
1 2从而l的方程为y＝－x＋n，所以直线l的斜率为－1.
答案：－1
7．已知直线x＋2y－3＝0与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直
线3x－4y＋1＝0，则此椭圆的离心率为________．
解析：联立得x＝1，y＝1，
∴直线x＋2y－3＝0与3x－4y＋1＝0的交点为M(1,1)，∴线段AB的中点为M(1,1)．
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝2，y＋y＝2，分别把A(x，y)，B(x，y)代入椭圆方程＋
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
＝1(a>b>0)，得两式相减整理，得＝－＝－，
∴a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，∴a＝b＝c，∴e＝＝.
答案：
8.(2021·镇江模拟)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点M与F
关于坐标原点O对称，过F的直线与抛物线交于 A，B两点，使得
AB⊥BM，又A点在x轴上的投影为C，则＋－－＝________.
解析：设A(x，y)，B(x，y)，AB过焦点得xx＝1，又AB⊥BM，得B在以MF为直径的
1 1 2 2 1 2
圆上，
故x＋y＝1，而y＝4x，得1－x＝y＝4x，
2 2
又－＝1＋x－(1＋x)＝x－x＝－x＝＝＝4，又∠ABM＝∠ACM，
1 2 1 2 2
所以AMBC四点共圆，进而得AC＝BC，
故＋－－＝4.
答案：4
9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F为抛物线y2＝4x的焦点，P，Q是椭圆C上的两
个动点，且线段PQ长度的最大值为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若OP⊥OQ，求△OPQ面积的最小值．
解：(1)因为y2＝4x的焦点为(1,0)，
所以椭圆C的右焦点F为(1,0)，即c＝1，
又的最大值为4，因此2a＝4，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，
椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当P，Q为椭圆顶点时，
易得△OPQ的面积为×2×＝，
②当P，Q不是椭圆顶点时，
设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，由得x2＝，
所以＝ ，
由OP⊥OQ，得直线OQ的方程为：y＝－x，
所以＝ ＝ ，
所以S ＝·＝6
△OPQ
＝6＝6，
＝k2＋＋2≥4，当且仅当k2＝1时等号成立，
所以0<≤，所以≤S <，
△OPQ
综上，△OPQ面积的最小值为.
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；
(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4t，yy＝－4，
1 1 2 2 1 2 1 2
所以OA·OB＝xx＋yy＝(ty ＋1)(ty ＋1)＋yy
1 2 1 2 1 2 1 2
＝t2yy＋t(y＋y)＋1＋yy＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
1 2 1 2 1 2
(2)证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得
y2－4ty－4b＝0，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝4t，yy＝－4b，
1 2 1 2
所以OA·OB＝xx＋yy＝(ty ＋b)(ty ＋b)＋yy
1 2 1 2 1 2 1 2
＝t2yy＋bt(y＋y)＋b2＋yy＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
1 2 1 2 1 2
令b2－4b＝－4，得b2－4b＋4＝0，解得b＝2.
所以直线l过定点(2,0)．
