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课时跟踪检测（四十二） 圆的方程、直线与圆的位置
关系
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·江苏部分学校调研)圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：选D 设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则
有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.
2．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0
解析：选A ∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程
经过圆心，
∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，
∴其方程为：＝，
整理，得3x－y－5＝0.故选A.
3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l
的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：选B 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝
－.
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为
等边三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1
C. D．±
解析：选D 根据题意，圆C：x2＋y2－6y＋6＝0即x2＋(y－3)2＝3，其圆心为(0,3)，半径r
＝，直线y＝ax与圆C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则圆心
C到直线y＝ax的距离d＝，则有＝，解得a＝±.5．已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，则b的值为( )
A．－2或2 B．2或4＋2
C．－2或4＋2 D．－4－2或2
解析：选D 由圆(x－2)2＋y2＝1，
可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，
设圆心(2,0)到直线y＝x＋b的距离为d，
则d＝，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝x＋b的最短距离为，所以d－r＝，即－1
＝，解得b＝2或b＝－4－2，故选D.
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2
＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选AC 由题意知C(－2,1)，圆C的半径为，
则＝，解得k＝±1，
则直线l的方程为y＝±x＋1.
D(2,0)，圆D的半径为r＝，
k＝1时，D到直线l的距离为＝>，相离；
k＝－1时，D到直线l的距离为＝<，相交，故选A、C.
7．已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且
∠MPN＝，则实数a的值等于( )
A．2或10 B．4或8
C．6±2 D．6±2
解析：选B 由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝.
在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝，
可得点C到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1.所以＝1，解得a＝4或8.
故选B.
8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－
2，－1)，则m＝________，r＝________.
解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，
解得m＝－2，所以r＝.
答案：－2
9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x－y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点
为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点________．
解析：设点P(x，y)，则x－y＋6＝0.
0 0 0 0
以CP为直径的圆的方程为x(x－x)＋y(y－y)＝0，
0 0
又圆C：x2＋y2＝4，作差可得直线AB的方程为xx＋yy＝4，将y＝x＋6，代入可得(x＋
0 0 0 0y)x＋6y－4＝0，
0
满足⇒
故直线AB过定点.
答案：
10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点
M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直
线l：x＋my＋1＝0对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，解得m＝
－1，所以|MC|2＝13，|MP|＝＝3.
答案：3
11．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
解：(1)由题意知，圆C的半径r＝＝，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.
(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－
2k－1＝0，则＝，
所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求切线的方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.
12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直
径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x，y)，B(x，y)，l：x＝my＋2.
1 1 2 2
由可得y2－2my－4＝0，则yy＝－4.
1 2
又x＝，x＝，故xx＝＝4.
1 2 1 2
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y＋y＝2m，x＋x＝m(y＋y)＋4＝2m2＋4.
1 2 1 2 1 2
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，
故(x－4)(x－4)＋(y＋2)(y＋2)＝0，
1 2 1 2
即xx－4(x＋x)＋yy＋2(y＋y)＋20＝0.
1 2 1 2 1 2 1 2
由(1)知yy＝－4，xx＝4.
1 2 1 2所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M
的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方
程为2＋2＝.
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说
法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为
D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为＋3
解析：选AD 对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆O：x2＋y2＝4，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，两圆作差得4x－2y＋4＝－
4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；
对于C，圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，
则圆心到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，故C错误；
对于D，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的圆心M(－2,1)，半径为1，
所以|EF| ＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．
max
2．设过点P的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8PA＝5AB，则
＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意，设A(x，y)，B(x，y)，直线AB的方程为x＝my－2，由
1 1 2 2
得y2－y＋13＝0，
则y＋y＝，yy＝，又8PA＝5AB，
1 2 1 2
所以8(x＋2，y)＝5(x－x，y－y)，
1 1 2 1 2 1
故8y＝5(y－y)，即y＝y，代入yy＝得：
1 2 1 2 1 1 2
y＝，故y＝×，
又(y＋y)2＝2，
1 2
即y＋y＋2yy＝×＋＝2，
1 2
整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，
又|AB|＝ ＝
2 ，
当m＝2时，|AB|＝；当m＝38时，|AB|＝.
综上|AB|＝.故选A.
3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两
点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接
AN，BN，求证：k ＋k 为定值．
AN BN
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m>0)，则圆C的半径为
m，
又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，
解得m＝，
所以圆C的方程为2＋(y－2)2＝.
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，当直线AB的斜率为0时，易知k ＝k ＝0，即k ＋
AN BN AN
k ＝0.
BN
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整
理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，所以
1 1 2 2
则k ＋k ＝＋＝＋
AN BN
＝＝＝0.
综上可知，k ＋k 为定值．
AN BN
