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课时跟踪检测（四十五） 双曲线
一、基础练——练手感熟练度
1．双曲线－y2＝1的实轴长为( )
A．4 B．2
C．2 D．2
解析：选D 由题知a2＝2，∴a＝，故实轴长为2a＝2，故选D.
2．双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选C 双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，整理得y2＝2x2，
解得y＝±x，故选C.
3．已知双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为x±y＝0，则b＝( )
A．2 B．
C. D．12
解析：选A 因为双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±x，又渐近线方程为y＝±x，所
以＝，b＝2，故选A.
4．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，一条渐近线为y＝x，则双曲线C的方程为
( )
A.－＝1 B．－＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选A 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，所以2b＝4，b＝2，
因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，所以＝⇒a＝2b＝4，
所以双曲线M的方程为－＝1，故选A.
5．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(，2)
C．(1，) D．(1,2)
解析：选C 由题意得双曲线的离心率e＝，
即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.
6．(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到
其渐近线的距离是________．
解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)．C的渐近
线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
答案：(3,0)
二、综合练——练思维敏锐度1．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．离心率相等 B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等 D．焦距相等
解析：选D 由00，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A ，A ，过F作A A 的垂线
1 2 1 2
与双曲线交于B, C两点．若A B⊥A C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
1 2
A．± B．±
C．±1 D．±
解析：选C 由题设易知A (－a,0)，A (a,0)，B，C.∵A B⊥A C，∴·＝－1，整理得a＝b.∵
1 2 1 2
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1.
3．已知双曲线－＝1 的右焦点为 F，P 为双曲线左支上一点，点 A(0，)，则
△APF周长的最小值为( )
A．4(1＋) B．4＋
C．2(＋) D．＋3
解析：选A 设双曲线的左焦点为F′，易得点F(，0)，△APF的周长l＝|AF|＋|AP|＋|
PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周长最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知当A，
P，F′三点共线时取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋)．故选A.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，从双曲线C
的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D 因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，
又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2
－＝1，故选D.
5．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐
近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选B 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲
线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S ＝×a×|DE|＝×a×2b
△ODE
＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故
选B.
6．已知双曲线C：－＝1的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则
双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D 由－＝0可得y＝±x，即渐近线的方程为y＝±x，又一条渐近线l的倾斜角为，
所以＝tan＝.
因为双曲线C的一个焦点(c,0)到l的距离为，
所以＝b＝，
所以a＝1，
所以双曲线的方程为x2－＝1.
7．(2021·黄山一诊)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，
F ，F 为C的焦点，A为双曲线上一点，若|F A|＝2|F A|，则cos∠AF F 等于( )
1 2 1 2 2 1
A. B．
C. D．
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F A|＝
1
2|F A|，且|F A|－|F A|＝2a，所以|F A|＝2a，|F A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2a，所以
2 1 2 2 1
cos∠AF F ＝＝＝，故选C.
2 1
8．(多选)设F ，F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F 作C
1 2 2
的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF |＝|OP|，则下列说法正确的是( )
1
A．|F P|＝b
2
B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为y＝±x
D．点P在直线x＝a上
解析：选ABD 由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
设焦点F (－c,0)，F (c,0)(a>0，b>0，c>0)，
1 2
因为过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
2
所以|F P|＝＝＝b，故A正确；
2
因为|OP|＝＝＝a，所以|PF |＝|OP|＝a，cos∠F OP＝cos(180°－∠F OP)＝－cos∠F OP
1 1 2 2
＝－＝－，
在三角形OPF 中，根据余弦定理可知cos∠F OP＝＝＝－，解得3a2＝c2，即离心率e＝
1 1
或e＝－(舍去)，故B正确；
因为e＝ ＝，解得＝，所以渐近线的方程为y＝±x，故C错误；
因为点P在直线y＝x上，可设P(x，x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝＝x＝a，解得x＝a，
故D正确．
9．已知双曲线C：－＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近
线的交点分别为P，Q，若△POQ为直角三角形，则|PQ|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 对于双曲线C：－＝1，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，由过点F的直线交两渐近线于P，Q，不妨设点P在第一象限，点Q在第
四象限，∠OPQ＝90°，如图所示，
则在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.
又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2，
∴|PQ|＝|OP|＝6.故选C.
10．已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲
线表示双曲线时k的取值范围是________．
解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，
所以k＜－1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，所以0＜k＜1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (0,1)
11．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，
则|PA|＋|PB|＝________.
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|.
因为点P是双曲线与圆的交点，
所以由双曲线的定义知，|PA|－|PB|＝2，①
又|PA|2＋|PB|2＝36，②
联立①②化简得2|PA|·|PB|＝16，
所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2.
答案：2
12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B
两点，O为坐标原点，若S ＝2，则双曲线的离心率e＝________.
△AOB
解析：由题意，知抛物线的准线方程是x＝－1，双曲线的渐近线方程是y＝±x.当x＝－1
时，y＝±，即A，B或A，B.所以S ＝×2××1＝2，即＝2，所以e＝ ＝.
△AOB
答案：
13．已知双曲线C：x2－＝1，过左焦点F 的直线l与双曲线C的左支以及渐近线y＝2x
1
交于A，B两点，若F1A＝AB，求直线l的斜率．
解：由题意知，双曲线C的左焦点F (－3，0)，故设直线l的方程为y
1
＝k(x＋3)，与y＝2x联立，得B，
由F1A＝AB，得A为F B的中点，
1
由中点坐标公式得A.
∵点A在双曲线上，∴2－＝1.
即23k2－56k＋40＝0，解得k＝或k＝2(舍去)．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x，y)，
0 0
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x＝y，①
0 0
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y＝c，
0
所以x＝c，所以点A的坐标为，
0
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.
三、自选练——练高考区分度
1．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条
渐近线的交点分别为B，C.若AB＝BC，则双曲线的离心率是( )
A. B．
C. D．
解析：选C 直线l：y＝－x＋a与渐近线l：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l：bx＋ay＝0
1 2
交于C，A(a,0)，
所以AB＝，BC＝，
因为AB＝BC，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.
2．设F ，F 分别为离心率e＝的双曲线C：－＝1的左、右焦点，A ，A 分别为双曲线C的
1 2 1 2
左、右顶点，以F ，F 为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，若四边形MA NA 的面
1 2 2 1
积为4，则b＝( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：选A 由e＝＝，得＝2，故渐近线方程为y＝2x, 以F ，F 为直径的圆的方程为x2
1 2
＋y2＝c2，联立得y＝±，由双曲线与圆的对称性知四边形MA NA 为平行四边形，不妨设y
2 1 M
＝，则四边形MA NA 的面积S＝2a×＝4，得ac＝，又＝，得a＝1，c＝，b＝2，故选A.
2 1
3．(多选)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F ，F ，下列
1 2结论正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
解析：选AC 对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2,
所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；
设点P的坐标为(x，y)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y
0 0
＝0，
则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；
当动点P在双曲线C的左支上时，|PF |≥c－a＝1，|PF |＝2a＋|PF |＝|PF |＋2，
1 2 1 1
所以＝＝＝≤＝，
当且仅当|PF |＝2时，等号成立，所以的最大值为，D选项错误．故选A、C.
1
