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课时跟踪检测（四十八） 4 大策略找到解题突破口
1．在直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝6y与直线l：y＝kx＋3交于M，N两点．
(1)设M，N到y轴的距离分别为d，d，证明：d 与d 的乘积为定值；
1 2 1 2
(2)y轴上是否存在点P，当k变化时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
解：(1)证明：将y＝kx＋3代入x2＝6y，得x2－6kx－18＝0.
设M(x，y)，N(x，y)，则xx＝－18，
1 1 2 2 1 2
从而dd＝|x|·|x|＝|xx|＝18为定值．
1 2 1 2 1 2
(2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k，k.
1 2
从而k＋k＝＋＝＝.
1 2
当b＝－3时，有k＋k＝0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角
1 2
互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－3)符合题意．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为，点A(3,0)，P是C上的动点，F
为C的左焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形
FPAB面积的最小值．
解：(1)依题意得解得
∴椭圆C的方程是＋＝1.
(2)设P(x，y)(－＜y＜，y≠0，x＞0)，
0 0 0 0 0
设线段AP中点为M，又A(3,0)，
∴AP中点M，直线AP的斜率为，
由△ABP是以AP为底边的等腰三角形，可得BM⊥AP，
∴直线AP的垂直平分线方程为
y－＝－，
令x＝0得B，
∵＋＝1，∴B，
由F(－2,0)，∴四边形FPAB的面积S＝(|y|＋)＝≥5，
0
当且仅当2|y|＝，即y＝±时等号成立，
0 0
四边形FPAB面积的最小值为5.
3．(2021年1月新高考八省联考卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为
F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解：(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时，有c＋a＝＝，所以a＝c－a，解得e＝2.
(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，
设B(x，y)(x＞0，y＞0)易知渐近线方程为y＝±x，
所以∠BAF∈，∠BFA∈，当x>a，x≠2a时，则k ＝，k ＝.
AB BF
设∠BAF＝θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－k ＝tan∠BFA.
BF
因为2∠BAF∈，所以∠BFA＝2∠BAF.
当x＝2a时，由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝，
故∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.
4．已知椭圆W: ＋＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(n,0)的直线与椭
圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．
(1)当n＝0，且直线CD⊥x轴时， 求四边形ACBD的面积；
(2)设n＝1，直线CB与直线x＝4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．
解：(1)由题意，得a2＝4m＝4, 解得m＝1.
所以椭圆W方程为＋y2＝1.
当n＝0及直线CD⊥ x轴时，易得C(0,1)，D(0，－1)．
且A(－2,0)，B(2,0)．
所以|AB|＝4，|CD|＝2，显然此时四边形ACBD为菱形，
所以四边形ACBD的面积为×4×2＝4.
(2)证明：当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x＝1，
代入椭圆W的方程，得C，D，
易得CB的方程为y＝－(x－2)．
则M(4，－)，AM＝(6，－)，AD＝，
所以AM＝2AD，即A，D，M三点共线．
当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
联立方程 消去y，
得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
由题意，得Δ>0恒成立，
故x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
直线CB的方程为y＝(x－2)．
令x＝4，得M.
又因为A(－2,0)，D(x，y)，
2 2
则直线AD，AM的斜率分别为k ＝，
AD
k ＝，所以k －k ＝－＝.
AM AD AM
上式中的分子 3y(x －2)－y(x ＋2)＝3k(x －1)(x －2)－k(x －1)(x ＋2)＝2kxx －5k(x
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1
＋x)＋8k＝2k×－5k×＋8k＝0，
2
所以k －k ＝0.所以A，D，M三点共线．
AD AM5．(2021·福州一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1,0)，过F且垂直于x轴
的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M(－4,0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.
解：(1)由题意可知c＝1，把x＝－1代入椭圆方程可得＋＝1，解得y＝±，
∴＝，又a2＝b2＋1，可得a＝2，b＝，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，由对称性可知：∠FMA＝∠FMB.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
∴k ＋k ＝＋
AM BM
＝
＝.
∵2xx＋5(x＋x)＋8＝－＋8＝0，
1 2 1 2
∴k ＋k ＝0，∴∠FMA＝∠FMB.
AM BM
综上，∠FMA＝∠FMB.
6．(2021·青岛质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，A，B是椭圆上关于原点O对称
的两个动点，当点A的坐标为时，△ABF的周长恰为7.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F作直线l交椭圆于C，D两点，且CD＝λAB(λ∈R)，求△ACD面积的取值范围．
解：(1)当点A的坐标为时，＝ ＝，所以＝3.
由对称性，得＋＝2a，
所以2a＝7－3＝4，得a＝2.
将点代入椭圆方程中，解得b2＝4,
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率不存在时，＝2，
此时S ＝×2×2＝2.
△ACD
当直线AB的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)．
由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.显然Δ＞0，设C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2
则
故＝·＝
·＝
·＝.
因为CD＝λAB (λ∈R)，所以CD∥AB，所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d＝，
所以S ＝××d ＝×
△ACD
＝＝4
＝2 ＝2 ，
因为1＋2k2>1，所以0<＜1，
所以0
