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课时跟踪检测（四十四） 椭圆
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
解析：选AD ∵mx2＋ny2＝1，∴＋＝1，若m＞n＞0，∴0＜＜，∴C是椭圆，且焦点在y
轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝，C是圆，半径为，C错误．若m＝0，n＞0，
∴y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选A、D.
2．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.
3．已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝( )
A．4 B．8
C．16 D．18
解析：选C 椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选
C.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，过F 的直线l交C
1 2 2
于A，B两点，若△AF B的周长为4，则C的方程为( )
1
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A ∵△AF B的周长为4，
1
∴由椭圆的定义可知4a＝4，
∴a＝，∵e＝＝，∴c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为＋＝1，故选A.
5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F ，F ，上顶点为A，若
1 2
∠F AF ＝，则m＝( )
1 2
A．1 B．
C. D．2
解析：选C ∵c＝＝1，b＝m，由∠F AF ＝，得∠F AO＝，
1 2 1
∴tan∠F AO＝＝，解得m＝，故选C.
1
6．已知F ，F 是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF ⊥PF ，且∠PF F ＝60°，则
1 2 1 2 2 1
C的离心率为( )A．1－ B．2－
C. D．－1
解析：选D 由题设知∠F PF ＝90°，∠PF F ＝60°，|F F |＝2c，所以|PF |＝c，|PF |＝c.
1 2 2 1 1 2 2 1
由椭圆的定义得|PF |＋|PF |＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝
1 2
－1.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程
为( )
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，
所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b
＝2，椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
2．设F ，F 分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F P的中点，|OM|＝
1 2 1
3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．5
解析：选A 连接PF ，由题意知，a＝5，在△PF F 中，|OM|＝|PF |＝3，∴|PF |＝6，∴|
2 1 2 2 2
PF |＝2a－|PF |＝10－6＝4.故选A.
1 2
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该
椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方
程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0|C C |＝6，即P在以C (－3,0)，C (3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方
1 2 1 2
程为＋＝1.
答案：＋＝1
10．设 F ，F 是椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一个点，且
1 2
PF ⊥PF ，若△PF F 的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．
1 2 1 2
解析：∵PF ⊥PF ，∴△PF F 为直角三角形，
1 2 1 2
又知△PF F 的面积为9，∴|PF |·|PF |＝9，
1 2 1 2
得|PF |·|PF |＝18.
1 2
在Rt△PF F 中，由勾股定理得|PF |2＋|PF |2＝|F F |2，由椭圆定义知|PF |＋|PF |＝2a，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴(|PF |＋|PF |)2－2|PF ||PF |＝|F F |2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知
1 2 1 2 1 2
b>0，∴b＝3，
∵△PF F 的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
1 2
又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F ，F 分别为椭圆的左、右
1 2
焦点，O是坐标原点，过F 作∠F PF 的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆
2 1 2
的离心率为________．
解析：如图，延长F A交F P于点M，由题意可知|PM|＝|PF |，
2 1 2
由椭圆定义可知
|PF |＋|PF |＝2a，
1 2
故有|PF |＋|PM|＝|MF |＝2a.连接OA，知OA是△F F M的中位
1 1 1 2
线，∴|OA|＝|MF |＝a，
1
由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即c2＝a2，∴e＝＝.
答案：
12．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，上、下顶点分别为A，B，直线AF 与
1 2 2
该椭圆交于A，M两点．若∠F AF ＝90°，则直线BM的斜率为________．
1 2
解析：∵∠F AF ＝90°，
1 2∴a＝b，即椭圆方程为＋＝1.
设M，A，B，且＋＝1，
即n2－b2＝－，
k k ＝·＝＝＝－，
AM BM
又k ＝－1，∴k ＝.
AM BM
答案：
13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(00，由题意知y >0.
Q P
由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝y ，|BQ|＝.
P
因为|BP|＝|BQ|，所以y ＝1，
P
将y ＝1代入C的方程，解得x ＝3或－3.
P P
由直线BP的方程得y ＝2或8.
Q
所以点P，Q的坐标分别为P(3,1)，Q(6,2)；P(－3,1)，Q(6，8)．
1 1 2 2
|PQ|＝，直线PQ 的方程为y＝x，点A(－5,0)到直线PQ 的距离为，
1 1 1 1 1 1
故△AP Q 的面积为××＝；
1 1
|PQ|＝，直线PQ 的方程为y＝x＋，点A到直线PQ 的距离为，
2 2 2 2 2 2
故△AP Q 的面积为××＝.
2 2
综上，△APQ的面积为.
14．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F ，F 分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线
1 2
AF 交椭圆于另一点B.
2
(1)若∠F AB＝90°，求椭圆的离心率；
1
(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F AB＝90°，则△AOF 为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF |，即b＝c.
1 2 2
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F (－c,0)，F (c,0)，
1 2
其中c＝，设B(x，y)．
由AF2＝2F2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B.
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3c2.①又由AF1·AB＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，从而有b2＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
三、自选练——练高考区分度
1．已知椭圆C的焦点为F (－1,0)，F (1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点，若|AF |＝3|
1 2 2 2
BF |，|BF |＝5|BF |，则C的方程为( )
2 1 2
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
∵|AF |＝3|BF |，∴|AB|＝4|BF |.
2 2 2
又|BF |＝5|BF |，|BF |＋|BF |＝2a，
1 2 1 2
∴|BF |＝，∴|AF |＝a，|BF |＝a.
2 2 1
∵|AF |＋|AF |＝2a，∴|AF |＝a，
1 2 1
∴|AF |＝|AF |，∴A在y轴上．
1 2
如图所示，在Rt△AF O中，
2
cos∠AF O＝.
2
在△BF F 中，由余弦定理可得
1 2
cos∠BF F ＝＝，
2 1
根据cos∠AF O＋cos∠BF F ＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1.
2 2 1
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，
且AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. B．(－1,1)
C. D．
解析：选A 如图所示，设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
则四边形AFBF′为矩形，因此|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＋|BF|＝2a，|AF|
＝2csin α，|BF|＝2ccos α，
∴2csin α＋2ccos α＝2a，
∴e＝＝.
∵α∈，∴α＋∈，
∴sin∈，
∴sin∈，
∴e∈.故选A.
3.如图所示，A ，A 是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在椭圆上运动，
1 2且点M不与A ，A 重合，点N满足NA ⊥MA ，NA ⊥MA ，则＝( )
1 2 1 1 2 2
A．2 B．3
C．4 D．
解析：选A 由题意知A (0,3)，A (0，－3)．
1 2
设M(x，y)，N(x，y)，则直线MA 的斜率为k ＝.
0 0 1 1 1 MA1
由NA ⊥MA ，可得NA 的斜率为k ＝－.
1 1 1 NA1
于是直线NA 的方程为y＝－x＋3. ①
1
同理，NA 的方程为y＝－x－3. ②
2
联立①②消去y，得x＝x＝.
1
因为M(x，y)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，从而y－9＝－，所以x＝－，所以＝＝2.故选
0 0 1
A.
