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课时跟踪检测（四十） 直线的倾斜角与斜率、直线的
方程
一、基础练——练手感熟练度
1．直线l的方程为 x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：选A 由直线l的方程为x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－，设直线l的倾
斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－，所以α＝150°.故选A.
2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0
D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
解析：选D 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝，∴tan α＝±，∴所求直线方程为y＝
±x＋2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.
3．在同一平面直角坐标系中，直线l：ax＋y＋b＝0和直线l：bx＋y＋a＝0有可能是(
1 2
)
解析：选B 由题意l ：y＝－ax－b，l ：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，
1 2
－b＜0.选项B符合．
4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则
直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：选A ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
5．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是(
)A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B 直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜
角的取值范围是∪.
6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，
则直线l的横截距为________．
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点
坐标为(1,3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1)．令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距
为－2.
答案：－2
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为( )
A．12 B．9
C．－12 D．9或12
解析：选A 由k ＝k ，得＝，
AB AC
解得k＝12.故选A.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直
线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－.故选
B.
3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
解析：选A ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角
为－＝，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直
线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知
△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：选C 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点
为(1,2)，k ＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.
AB
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是
( )
A.
B.
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1
－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
7．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围
是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，
因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
解析：选CD 直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0，
－1)，选项A错误；
当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，k ＝＝，故k·k ＝－1，故直线l与直线
AB AB
AB垂直，选项D正确．
9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是(
)
A.∪
B.
C.
D.∪
解析：选B 易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a.
因为k ＝＝－，
MA
k ＝＝，
MB
由图可知－a＞－且－a＜，所以a∈.
10．(2021·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距
和最小时，实数a的值是( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选D 当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，
令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.
因为a＞1，所以a－1＞0.
所以t≥5＋2 ＝9.
当且仅当a－1＝，
即a＝3时，等号成立．
11．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；
②当在坐标轴上截距不为0时，
∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，
∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.
答案：2x＋y＝0或 x－y＋6＝0
12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程
为____________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜
率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
13．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
因为y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1，
所以θ为钝角时，应有θ∈；
θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是∪.
答案：∪
14．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的
取值范围是________．
解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－
1)·(a＋3)<0，故－3
