课时跟踪检测（四十一） 两条直线的位置关系
一、基础练——练手感熟练度
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．－
C．－ D．－2
解析：选D 由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l：ax＋2y－1＝0与直线l：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”
1 2
的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两
直线平行的充分不必要条件．
3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
解析：选B 由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为k ＝＝－，所以
AB
直线l的斜率为，因此直线l的方程为y－1＝(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.
4．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已
知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.
5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[－10,10] B．[－10,5]
C．[－5,5] D．[0,10]
解析：选D 由题意得，点P到直线的距离为
＝.
又≤3，即|15－3a|≤15，
解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．
6．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直
线方程为__________．
解析：过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－
2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－，
故所求直线为x－y＝0.
答案：x－y＝0二、综合练——练思维敏锐度
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
解析：选C 直线2x＋y＋m＝0的斜率k＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k＝－，则
1 2
k≠k，且kk≠－1.故选C.
1 2 1 2
2．三条直线l：x－y＝0，l：x＋y－2＝0，l：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值
1 2 3
范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
解析：选C 由l∥l 得k＝5；由l∥l 得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝
1 3 2 3
1，若(1,1)在l 上，则k＝－10.故若l，l，l 能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.
3 1 2 3
3．(多选)已知直线l：2x＋3y－1＝0和l：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l 的距离与到
1 2 1
直线l 的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
2
A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0
解析：选BD 设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，
直线l到直线l 和l 的距离分别为d，d，由题知：d＝，d＝.因为＝，所以＝，即2|m＋2|
1 2 1 2 1 2
＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.
4．若直线l：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝( )
1 2
A．7 B.
C．14 D．17
解析：选B 直线l：x＋3y＋m＝0(m＞0)，
1
即2x＋6y＋2m＝0，
因为它与直线l：2x＋6y－3＝0的距离为，
2
所以＝，求得m＝.
5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程
为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
解析：选D 由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以
M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为
2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，
故选D.6．两条平行线l，l 分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平
1 2
行，则l，l 之间距离的取值范围是( )
1 2
A．(5，＋∞) B．(0,5]
C．(，＋∞) D．(0， ]
解析：选D 当PQ与平行线l，l 垂直时，|PQ|为平行线l，l 间的距离的最大值，为＝，
1 2 1 2
∴l，l 之间距离的取值范围是(0， ]．
1 2
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n
等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－
3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，
于是解得故m＋n＝.
8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是
(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
解析：选C 设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．
则解得即A′(4，－2)，
∴直线A′C即BC所在直线的方程为
y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.
又知点C在直线y＝2x上，
联立解得则C(2,4)，故选C.
9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从
点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的
重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选D 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建
立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，
0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0<t<4)，由对称知
识可得点P关于BC所在直线的对称点P 的坐标为(4，4－t)，点P
1
关于y轴的对称点P 的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知PP 所
2 1 2
在直线就是光线RQ所在直线．由P，P 两点坐标可得PP 所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设
1 2 1 2△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有＝ ，即3t2－4t＝0.所以t＝0
或t＝，因为0<t<4，所以t＝，即|AP|＝，故选D.
10．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 4的直线方程是
__________．
解析：设所求直线方程为x－2y＋λ＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－λ.由题意，得··|
－λ|＝4，解得λ＝±4.故所求直线方程为x－2y±4＝0.
答案：x－2y±4＝0
11．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是
________．
解析：由题意知k≠±1.联立
解得∴∴－1＜k＜0.
答案：(－1,0)
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于
点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，
动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．
由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.
∴|PA|·|PB|≤＝＝＝5，
即|PA|·|PB|的最大值为5.
答案：5
13．已知0＜k＜4，直线l：kx－2y－2k＋8＝0和直线l：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴
1 2
围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析：由题意知直线l，l 恒过定点P(2，4)，直线l 的纵截距为4－k，
1 2 1
直线l 的横截距为2k2＋2，如图，
2
所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8，故面
积最小时，k＝.
答案：
14．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一
定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
∴解得
故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合
时，|PQ|＝|PM|，
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，
∴|PQ|<4，故所证成立．
15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．
解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，
则
解得所以C′(－1,1)．
所以直线AC′的方程为y＝1.
由得直线AC′与直线l的交点为P，此时|AP|＋|CP|取最小值．
(2) 如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，
则
解得所以B′(3,3)．
所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.
由得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，
此时|AQ|－|BQ|取最大值．
