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课时跟踪检测（十） 对数与对数函数
一、基础练——练手感熟练度
1．log 9·log 2＋log ＋log (a>0，且a≠1)的值为( )
2 3 a a
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 原式＝2log 3×log 2＋log ＝2×1＋log a＝3.
2 3 a a
2．函数y＝的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C. D．
解析：选D 由log (2x－1)≥0⇒0<2x－1≤1⇒0且x≠0，解得x>0，所以f(x)的定义域为(0，
＋∞)，故A正确；因为x＋≥2，所以f(x)≤－1，故B错误；因为f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)不是奇函数，故C错误；当x∈(0,1)时，y＝x＋单调递减，y＝log x也单调递减，故
f(x)在(0,1)上单调递增，故D正确．故选A、D.
5．已知a>0，且a≠1，函数y＝log (2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图
a
象上，则f(x)＝________.
解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝log (2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所
a
以α＝，故幂函数为f(x)＝x .
答案：x
6．函数y＝log |x＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．
2
解析：作出函数y＝log x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝
2
log |x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log |x＋1|
2 2的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log |x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间
2
为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数f(x)＝lg(＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f＝( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：选A 由函数f(x)的解析式可得：
f(x)＋f(－x)＝lg(＋2x)＋2＋lg(－2x)＋2＝lg(1＋4x2－4x2)＋4＝4，
∴f(ln 2)＋f＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4.故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝(log x)2－log x2－3，则下列说法正确的是( )
2 2
A．f(4)＝－3
B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f(x)的最小值为－4
D．函数y＝f(x)的最大值为4
解析：选ABC A正确，f(4)＝(log 4)2－log 42－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log x＋1)
2 2 2
(log x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log x－
2 2
1)2－4(x＞0)，所以当log x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．
2
3．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0
C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0
解析：选A 由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－x＜2y－y.
设f(x)＝2x－x，则f(x)＜f(y)．
因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，
所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，
则由f(x)＜f(y)，得x＜y，所以y－x＞0，
所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞0，故选A.
4．设函数f(x)＝log |x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系
a
是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
5．(多选)(2021·青岛模拟)如果函数f(x)＝log |x－1|在(0,1)上是减函数，那么( )
a
A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值
B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值C．f(x)在定义域内是偶函数
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选AD 由|x－1|＞0得，函数y＝log |x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝
a
则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所
以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确；因为f(x)＝log |x－1|在(0,1)上是减函数，所以a＞
a
1，所以f(x)＝log |x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；又f(－x)＝log |－x－
a a
1|＝log |x＋1|≠f(x)，所以C错误．故选A、D.
a
6．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog .它表示：在受噪声干扰的信
2
道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯
噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000
提升至2 000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
解析：选A 将信噪比从1 000提升至2 000，C大约增加了＝≈≈10%，故选A.
7．已知函数f(x)＝log (2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
a
A. B．
C. D．
解析：选A 当00，即0<－a<1，解得
a
1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以log (1－a)>0，即1－a>1，解得
a
a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
8．如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝ex的图象关于直线y＝x对称，则f(4x－x2)的单调递
增区间为________．
解析：由题意得f(x)＝ln x(x>0)．
则f(4x－x2)＝ln(4x－x2)，00，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a
a
的取值范围是________．
解析：当a>1时，f(x)＝log (8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
a
得f(x) ＝log (8－2a)>1，解得11在区间
min a
[1,2]上恒成立，得f(x) ＝log (8－a)>1，解得a>4，且00且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝
a
________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．解析：函数f(x)＝log (－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)
a
在[－2,0]上单调递减，∴无解；当00时，f(x)＝log x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝log (－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以当x<0时，f(x)＝log (－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log 4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以0<|x2－1|<4，解得－－2，
所以x∈(－，)．
12．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x) ＝f(2)＝lg .
min
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x) ＝h(2)＝2.
max
故当a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
三、自选练——练高考区分度
1．已知正实数a，b，c满足a＝log a，b＝log b，c＝log c，则a，b，c的大小关系为( )
2 2
A．a
