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课时跟踪检测（十八） 任意角和弧度制及任意角的
三角函数
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨
快10分钟，故应转过的角为圆周的，即为－×2π＝－.
2．已知点P(sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(
)
A．－ B.
C．－ D．－
解析：选D 因为P(sin(－30°)，cos(－30°))，所以P，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，
0)，所以θ＝－.
3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－，cos α＝，∴sin α＋＝－＋＝.故
选D.
4．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点
的距离为，若α＝，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，1)
C．(，) D．(1,1)
解析：选D 设P(x，y)，则sin α＝＝sin，∴y＝1.
又cos α＝＝cos，∴x＝1，∴P(1,1)．
5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B 由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角
θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y＝－1
＋1－1＝－1.
6．(多选)下列结论中正确的是( )
A．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
B．若α是第一象限角，则为第一或第三象限角
C．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度
D．若0<α<，则sin αsin β，则( )
A．α>β B．α<β
C．cos α>cos β D．tan α>tan β
解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以
sin2α>sin2β>0，所以1－cos2α>1－cos2β，所以cos2α>0，所以tan2α>tan2β，因为
tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
10．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|
＝，则m－n＝________.
解析：由已知tan α＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，
∴m2＝1，又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.
∴m－n＝2.
答案：2
11．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最
大，这个最大面积是________．
解析：设扇形圆心角为α，半径为r，则
2r＋|α|r＝4，∴|α|＝－2.
∴S ＝|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
扇形
∴当r＝1时，(S ) ＝1，此时|α|＝2.
扇形 max
答案：1 2 1
12.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直
线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点
P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S，S 的大小关系是
1 2
________．
解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则 ＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S＝S －S ＝tm·r－S ，
1 扇形AOQ 扇形AOB 扇形AOB
S＝S －S ＝tm·r－S ，
2 △AOP 扇形AOB 扇形AOB
∴S＝S 恒成立．
1 2
答案：S＝S
1 2
13．已知角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．
14．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．因此，tansin cos 取正号．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴
重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，
始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则B，
可得tan∠AOB＝＝，故∠AOB＝.
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝＋2kπ，k∈Z}.
(3)若α∈，则S ＝αr2＝α，
扇形OAB
而S ＝×1×1×sin α＝sin α，
△AOB
故弓形AB的面积S＝S －S ＝α－sin α，α∈.
扇形OAB △AOB
