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专题03 空间几何（解答题10种考法）
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥 中， ， ，
， ， 与 交于点 ，过点 作平行于平面 的平面 .
(1)若平面 分别交 ， 于点 ， ，求 的周长；
(2)当 时，求平面 与平面 夹角的正弦值.
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形 中， ， ， ，
，将 沿 翻折至 的位置，使得 ， 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2) 为线段 上一点（端点除外），若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体 中，底面 为直角梯形，
， ，侧面 为菱形，平面 平面 ，M为棱 的中点．
(1)若点N为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体 中， ， ，劣弧 的长为 ，AB为圆O的
直径．(1)在弧 上是否存在点C（C， 在平面 同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存在，
说明理由；
(2)求二面角 的余弦值．
5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为
线段 上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体 中，四边形 是菱形，
， 平面 ， ， 为 的中点， 平面 ．(1)求 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，侧面
底面 ，侧面 底面 ，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且 .
(1)证明： 垂直于底面 .
(2)当点E在BC边上移动，使二面角 为 时，求二面角 的余弦值.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示， 四点共面，其中 ，，点 在平面 的同侧，且 平面 ， 平面 .
(1)若直线 平面 ，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 平面 ，求锐二面角 的余弦值.
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台 中， 为 中点， ， ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 与平面 所成二面角大小为 ，求三棱锥 的体积.10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为
2的正方形， ， ，且 .
(1)记线段 的中点为 ，在平面 内过点 作一条直线与平面 平行，要求保留作图痕迹，但不
要求证明；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成. 在同
一平面内，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体 中，E是棱 上的点（点E与点
C， 不重合）．(1)在图中作出平面 与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ，求线段CE的长．
14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱 中， ， 为 的
中点，点 在 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若二面角 大小为 ，求以 为顶点的四面体体积.
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ，
，四边形 为矩形， 平面 平面 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱 中，侧面 为
正方形， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的动点. .
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是平行六面体 中线段 上
一点，且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)已知四边形 是菱形， ，并且 为锐角， ，
求二面角 的正切值．18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥 中， ，点 分别是棱
的中点， 平面 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)过点 作 的平行线交 的延长线于点 ， ，点 是线段 上的动点，问：
点 在何处时，平面 与平面 夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心，四边形 是圆
的内接四边形， 为底面圆的直径， 在母线 上，且 ， ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设点 为线段 上动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ， 为线段 上靠近
的三等分点.
(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 的值；
(2)若 ， ，点 到平面 的距离为 ，且点 在底面 的射影落在
内部，求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，侧面 是等边
三角形，平面 平面 ， ， ．
(1)证明： ；
(2)点Q在侧棱 上， ，过B，Q两点作平面 ，设平面 与 ， 分别交于点E，F，当直
线 时，求二面角 的余弦值．22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形 是圆柱 的轴截面，点 是母线
的中点，圆柱底面半径 .
(1)求证： 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值.23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体 中， ， ， ，
， 且平面 平面 .
(1)设点F为线段BC的中点，试证明 平面 ；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为 ，求二面角 的余弦值．24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形 中， ，
，点 是边 靠近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△ ，连接 ， ，得到图②
的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面 和平面 夹角余弦值的最小值.
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正
三角形，且 分别为 的中点， 在线段 上，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
矩形， 分别是 的中点，平面 经过点 与棱 交于点 ．
(1)试用所学知识确定 在棱 上的位置；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值．27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 且 ，
， ， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
将 沿 向上折起，使得平面 与平面 所成的锐二面角的平面角最大．(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若 ，垂足为 ，点 是 上一点，证明：平面 平面 ．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱 的底面 是正三角形，侧面 是
菱形，平面 平面 ， 分别是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
，M是棱PD上靠近点P的三等分点．
(1)证明： 平面MAC；
(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若平面 平面ABCD， ， ， ，求l与平面
MAC所成角的正弦值．
