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微专题22 计数原理与概率统计压轴小题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测
量某一个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结
果的误差 ，则为使 的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为
（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【解析】依题意，得 ，
所以 ，即 ，
而 ，所以 且 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 且 ，即 ，解得 ，
故至少要测量的次数为 .
故选：C.
例2．（2023·上海·高三专题练习）若 ，则
（ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
【答案】C
【解析】显然 ， ，
令 得 ，
故 .
故选：C.
例3．（2023·上海·高三专题练习）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有
可能的取值为1，2，…，n，且 ，定义X的信息熵
．命题1：若 ，则 随着n的增大而增大；
命题2：若 ，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且
，则 ．
则以下结论正确的是（ ）
A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误 D．两个命题都正确
【答案】A
【解析】若 ，则 ，故 随着n的增大而增
大，命题1正确；
，则 ，
而 ， ，
，
所以 ，故 ，
命题2错误；
故选：A
例4．（2023·全国·高三专题练习）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．
为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，
从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任
意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球
者，第 次触球者是甲的概率为 ，即 ．则下列说法正确的个数是（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】甲传球给乙或丙，故 ，（1）正确；
乙或丙传球给其他两个人，故 ，（2）正确；
由题意得：要想第 次触球者是甲，则第 次触球的不能是甲，
且第 次触球的人，有 的概率将球传给甲，
故 ，C正确；因为 ，设 ，
解得： ，
所以
因为 ，
所以 是以 为首项，公比是 的等比数列，
故 ，
所以 ，
故 ，
，
故 ，（4）错误.
说法正确的个数是3个.
故选：C
例5．（2023·上海·高三专题练习）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），
在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将3个偶数排成一排有 种，再将3个奇数分两种情况插空有 种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有 种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有 种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩
余的2个位置放其它两个奇数，此时有 种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 .故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E
六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端
点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
【答案】D
【解析】先给O涂色，有 种方法，接着给A涂色，有 种方法，接着给B涂色，有
种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
最后E有2种涂色方法；
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法.
综上，涂色方法总数为
故选：D
例7．（2023·上海·高三专题练习）甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每
次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手
中的概率 ______．
【答案】
【解析】记 表示事件“经过 次传球后，球再甲的手中”，
设 次传球后球再甲手中的概率为 ，
则有 ，
所以
，
即 ，
所以 ，且 ，所以数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
即n次传球后球在甲手中的概率是 ．
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三专题练习）(1)若数列 的通项公式为 ，则该数列中
的最小项的值为__________．
(2)若 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．
(3)如图所示的数阵中，用 表示第m行的第n个数，则以此规律 为
__________．
(4) 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知 ，且
，有下列结论：① ；② ；③ ， 时， 的面
积为 ；④当 时， 为钝角三角形．其中正确的是__________ 填写
所有正确结论的编号
【答案】
【解析】(1)令 ，
则 ，令 ，解得 ，
单调递减，单调递增，
∴数列 在1≤n≤12时递减，在n≥13时递增，
∵n＝12离 更近，故当 时，数列 取得最小值 ；
(2) 的展开式的通项为 ，
由题意，令 得 ，则r＝4时，n取最小值5；
令 得n＝ ，则r＝2时，n取最小值2.
综上，n的最小值为2.
(3)由题可知，设第n行第1个分数的分母为 ，
则有 ， ，
累加可得 ，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.
观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的
分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第二个分数分母为21＋37＝58，第7行第
2个分数分母为28＋58＝86，第8行第2个分数分母为36＋86＝122，如图所示.
故 为： .
(4)对于①，根据题意，若 ，则 ，故可设
.
则有 ，则 ，变形可得 ，故①正确；对于②， ，
又 ，∴ ，
，∴ ，∴ ，故②正确；
对于③，当 时， ，
则有 ，则a边上的高为 ，
∴ ，故③错误；
对于④，当 时， ，则 ，
则 ，故C为钝角，
为钝角三角形，故④正确.
故正确的有：①②④.
故答案为： ；2； ；①②④.
例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间
的一个小等边三角形，设 .若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边
三角形内的概率为___________.
【答案】
【解析】设 ，由题意可得 ，化简得 ，
，又由正弦定理可得 ，即 ，
所以所求概率为 ，
故答案为： .
例10．（2023·全国·高三专题练习）设整数数列 ， ，…， 满足 ，
，且 ， ，则这样的数列的个数为___________.
【答案】80
【解析】设 ，则有 …①，
…②，
用t表示 中值为2的项数，
由②知，t也是 中值为2的项数，其中 ，
所以 的取法数为 ，
取定 后，任意指定 的值，有 种方式.
由①知，应取 使得 为偶数，
而这样的 的取法是唯一的，并且确定了整数 的值，
进而数列 唯一对应一个满足条件的数列 ，
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.
故答案为：80.
例11．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数
“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，现从所有三位数中任取一个数，则这
个数恰为“十全十美数”的概率是____________
【答案】
【解析】所有三位数个数为900个.
“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是 的，共有 个，分别
为 ；
②含有两个相同数字的，共有 个，分别为
；
③不含0且没有相同数字的，共有 个，分别为从所有三位数中任取一个数，则这个数恰为“十全十美数”的概率 .
故答案为:
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，
F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同
的涂色方法有___________种.
【答案】
【解析】①对 涂4种颜色，对于剩下的 各剩2种颜色，且相邻的都含
一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么 共
有2种情况，共有 种，
②对 涂3种颜色，对于 从4种颜色中取3种，即 ，从这3种颜
色中取1种来作重复的一种，即 ，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对
角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列 ，即 对于剩下的
同①一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，
故共有 种，
③ 涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有 种方法，
共2种颜色，故共有 种方法，
所以一共有 种方法.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题1．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）过正态分布曲线 上非顶点的一点
作切线，若切线与曲线仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正态分布曲线 在拐点处切线穿过曲线，与曲线有
且仅有一个交点
令
即
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5
种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个
袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同
的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
【答案】A
【解析】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分
类计算分堆可能：
（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.
若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；
若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有 种可能；
若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有 种可
能；
小计：1+12+12=25；
（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一
个H外，另一个互异，故有 种可能；
若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模
式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有 种可能；
若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+ 种可能；
YXZ H※ H※ H※ H
H※ H※ H※ ※
H※※
H※ H※ ※※ H
若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计： ；
（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）
（X）可能；
若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）
（XZ※）（※※）（※※）（※），故有 种可能；
若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）
（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；
若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）
（Y※），有2种可能.
小计 ；
诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型
若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）
（※※）（※※），其中Z※※有 种可能，故此小类有3种可能；
若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
小计 ；
（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”
只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；
综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为 =
种.故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于 即
为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现
有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数 ；
②平均数 且极差小于或等于3；
③平均数 且标准差 ；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】①举反例： ， ， ， ， ，其平均数 ．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为 ，此时数据的平均数必然大于7，
与 矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数 ，且标准差 .但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中各项系数和为4，则
的系数为（ ）
A．16 B．8 C．0 D．
【答案】D
【解析】因为各项系数和为4，
所以令x=1，代入可得 ，解得 ，
所以原式为 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令k=3，则 ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=0，则 ，
又 展开式的通项公式为 ，
令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，令 ， ，所以可得一个 的系数为 ，
令k=1， ，所以可得一个 的系数为 ，
综上： 的系数为 .
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一
格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如
1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条
数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共
6条，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任
意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数
“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共 个，前3个数字保持
递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；
在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末
两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.
因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有 个，
所以所求的概率 ．
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a＝0，且对任意n∈N*，an 等概率地
1 +1
取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（ ）A．P（ξ＝2）＝ B．E（ξ）＝1
3 3
C．P（ξ＝0）＜P（ξ＝2） D．P（ξ＝0）＜P（ξ＝0）
5 5 5 3
【答案】D
【解析】依题意a＝1或a＝－1，且P（a＝1）＝P(a＝－1)＝ ，
2 2 2 2
ξ＝a 的可能取值为2，0，－2
3 3
P（ξ＝2）＝ × ＝ ，
3
P（ξ＝0）＝2× ＝ ，
3
P（ξ＝－2）＝ ＝ ，
3
E（ξ）＝2× +0× +(－2）× ＝0，由此排除A和B；
3
ξ＝a 的可能取值为3, 1，－1，－3，
4 4
P（ξ＝3）＝ P（ξ＝2）＝ ，
4 3
P（ξ＝1）＝ ＝ ，
4
P（ξ＝－1）＝ ＝ ，
4
P（ξ＝－3）＝ P（ξ＝－2）＝ ，
4 3
ξ＝a 的可能取值为4，2，0，－2，－4
5 5
P（ξ＝0）＝ ＝ ，
5
P（ξ＝2）＝ ＝ ，
5
所以P（ξ＝0）＞P（ξ＝2），排除C．
5 5
因为P（ξ＝0）＝ ，P（ξ＝0）＝ ，所以P（ξ＝0）＜P（ξ＝0），故D正确.
5 3 5 3
故选：D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若 是从 三个数中任
取一个， 是从 五个数中任取一个，那么 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】当 时，
当且仅当 时，取“＝”，
∴ ，
于是 恒成立就转化为 成立；
当 时， ，
设事件A：“ 恒成立”，
则基本事件总数为15个，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（2，5）共9个
所以 .
故选：A.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ，
当 时，
，
于是得.
故选：B
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，记随机变量 为x，
y，z中的最大值，则 （ ）
A． B．
C．5 D．
【答案】D
【解析】根据隔板法，将 看做 个完全相同的小球排成一排，中间形成的 个空，放入
两块隔板，可求得 正整数解有 组， 可能的取值为 ，不妨设
，则 ，下分类讨论：
， ； ，
， ；
， ； ，
但根据 的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以 ，于是则有：
， ， ，
，
于是
故选：D
二、多选题
11．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被
国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交
流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，我市四
所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比
赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分
多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负
一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 ，则在比赛结束时（ ）A．四支球队的积分总和可能为15分
B．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C．可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D．丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
【答案】ACD
【解析】四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，
乙、丙、丁各得2分，AC均正确；
每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 ，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
，B错；
丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与丙比赛，丙输， ，例如是丙甲，
若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能
输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们
之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意，
若丙全赢（概率是 ）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场
比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有平或输，
一平一输，概率 ，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率 ，
两场均平，概率是 ，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，
两场甲都输，概率是 ，乙丁这场比赛只能平，概率是
综上概率为 ，D正确．
故选：ACD．
12．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中
有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 ， 和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示
由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件 相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】 ， ，
先 发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先 发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球， ，
先 发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球， ．
，B对．
，C错．
，A错．
，D对．
故选:BD.
13．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个
数列，记第i项为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若 ，则这样的数列共有71个
【答案】AD
【解析】对于A：由于 为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；
对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有 个，故B错误；
对于C：从1，2，3，4，5，6中选出 个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在 的右侧，其余排在 的左侧，
得到先减后增的数列有 个；
故满足条件的总个数为： 个，故C错误．
对于D：若 则这样的数列有 个，
若 则这样的数列有 个，
若 则这样的数列有 个，
所以满足条件的这样的数列共有 个，故D正确；
故选：AD
14．（2023·广东肇庆·统考二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝
福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的
新春祝福，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
【答案】BC
【解析】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有 种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有 种，
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ，A错误；
对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A, 则 ,
小张抽到小王写的贺卡为事件B,
则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，
小张抽到小王写的贺卡的概率为 ,B正确；
对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有 种，
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 ，C正确；
对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有 种，
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为 ，D错误，
故选：
15．（2023·全国·高三专题练习）对于伯努利数 ，有定义：
.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 得，
，
所以， ，
同理， ，
所以， ，其中第 项为
即可得
令 ，得 ；
令 ，得 ；
令 ，得
同理，可得 ；
即可得选项AC正确，B错误；
由上述前12项的值可知，当 为奇数时，除了 之外其余都是0，
即 ，也即 ；所以D正确.
故选：ACD.
16．（2023·全国·高三专题练习）学校食坣每天中都会提供 两种套餐供学生选择（学
生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择
套餐的概率为 .而前一天选择了 套餐的学生第二天诜择 套餐的概率为 ，选择 套
餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第一天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概
率也是 ，如此往复.记某同学第 天选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 .一
个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择 套餐的人数为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】ABC
【解析】由于每人每次只能选择 两种套餐中的一种，所以 ，故A正确；
依题意， ，则 .又 时， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故B正确
所以 ，
当 时， ，
所以 ，所以C正
确， 错误.
故选：ABC.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为 ，a，
2，根据以往销售经验可得 ，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当 最小时，
【答案】ABC
【解析】由题意， ， ，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3
件销售利润为0的概率为 ，故选项B正确；随机变量X的期望值
，可知方差
，当 时， ，故选项C正确；当 时，，故选项D错误.
故选：ABC.
18．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）如图，已知正方体
顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移
动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置
位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点 的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】ACD
【解析】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在
下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为 ，在上底面时，随机移动一次回到下底面
的概率为 ，所以 ，故A正确， ，故B错
误，点Q由点A移动到点 处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后
不可能到达点 ，故C正确，由于 且 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
19．（2023·上海·高三专题练习）现有n（ ， ）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（ ，2，3，…，n）个袋中有k个红球， 个白球.
现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），
若第三次取出的球为白球的概率是 ，则 ___________.
【答案】8
【解析】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为 ，
第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：
白白白，取法数为：
红白白，取法数为：
白红白，取法数为：
红红白：取法数为：
所以第三次取出的是白球的总情形数为：
则在第k个袋子中取出的是白球的概率为： ，
因为选取第k个袋的概率为 ，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：
当 时， .
故答案为:8．
方法二：设 “取出第 个袋子”， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为
白球”， 则 ，且 ， ， ， 两两互斥， ，
， ，所以 ，
所以， ，即
，解得： .
故答案为： ．
20．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）现有一款闯关游戏，共有4关，规
则如下：在第 关要抛掷骰子 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所
出现的点数之和大于 ，则算闯过第 关， ，2，3，4．假定每次闯关互不影响，
则下列结论错误的序号是______．（1）直接挑战第2关并过关的概率为 ；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为 ；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则
；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是 ．
【答案】（2）
【解析】对于（1）， ，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为 ，故（1）正确；
对于（2）， ，所以挑战第1关通过的概率 ，
则连续挑战前两关并过关的概率为 ，故（2）错误；
对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有 ，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有 种，
故 ，而事件 包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，
故 ，所以 ，故（3）正确；
对于（4），当 时， ，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以 ，故（4）正确．
故答案为：（2）
21．（2023·全国·高三专题练习）设项数为 的数列 满足： ，
且对任意 ， ，都有 ，则这样的数列 共有
_____个.
【答案】31【解析】当 ， 时， ，
所以 可能情况如下：
1、{一个1，三个0}： 、 、 、 ，4个；
2、{两个1，一个 和0 }： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ，12个；
3、{一个 ，三个0}： 、 、 、 ，4个；
4、{两个 ，一个1和0}： 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、
、 ，12个；
5、{四个0}： ，1个；
6、{两个 ，两个1 }： 、 、 、 、 、
，6个；
7、{两个0，一个1 和 }： 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 ，12
个；
综上，数列 共有51个.
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
所以 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，20个不满
足；
综上，满足要求的数列 有31个.
故答案为：31
22．（2023·全国·高三专题练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以 表示没有出现连
续3次正面的概率.给出下列四个结论：
① ；② ；
③当 时， ；
④ .
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】当 时， ，①正确；
当 时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以 ，②错误；
要求 ，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以 ，④正确；
由上式可得
，
所以 ，
又 ，满足当 时， ，③正确.
故答案为：①③④.
23．（2023·全国·高三专题练习）在曲线 上及其内部随机取一点，则该点取自圆 上及其内部的概率为______．
【答案】
【解析】由 得 .
①当 时， ，表示以 为圆心，以 为半径的圆的一部分；
②当 时， ，表示以 为圆心，以 为半径的圆的一部
分；
③当 时， ，表示以 为圆心，以 为半径的圆的一部
分；
④当 时， ，表示以 为圆心，以 为半径的圆的一
部分；
即 由以上四部分组成；
在同一坐标系内画出 与 的图象如下：
由图象易得：
曲线 表示的平面区域面积为 ，
单位圆 的面积为 ，
因此，所求的概率为 .故答案为： .
24．（2023·全国·高三专题练习）设整数 ， 的展开式中 与xy两项的
系数相等，则n的值为____________ .
【答案】51
【解析】由题意得： .
其中 项，仅出现在求和指标r=4时的展开式 中，
其 项系数为 ；
而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式 中，
其xy项系数为 .
因此有 .
注意到n>4，化简得 ，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知空间直角坐标系中的四个点
，经过 四点的球记作球M．从球
M内部任取一点P，则点P落在三棱锥 内部的概率是___
【答案】
【解析】由题可得 三点在平行于 坐标面的平面上，且 ，
所以 是以C为直角顶点的直角三角形，
所以BD中点E 到 三顶点的距离相等，
又因为 三点的竖坐标均是 1，
所以 三点在平行于 坐标面的平面上，
设球心坐标 ，则 ,
即
解得 ，所以球体半径球体体积
三棱锥 的体积
所以点P落在三棱锥 内部的概率是
故答案
26．（2023·全国·高三对口高考）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、
微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种
方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可
能情况有________种．
【答案】20
【解析】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只
能选支付宝或现金，故有1+C 1C 1＝5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其
2 2
中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 1C 1＝5，此时共有5+5=10种，
2 2
当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或
现金，故有1+C 1C 1＝5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支
2 2
付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C 1C 1＝5，此时共有5+5=10种，
2 2
综上故有10+10＝20种，
故答案为20.
