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专题09 数列（选填题8种考法）
【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 等差等比的基本量运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则
（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-2】．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .所以 .故选:C.
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
2．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，
， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，由条件得
即 则 故 .故选：A.
3（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设等差数列 的公差为 ，由等差数列的求和公式可得 ，
所以， ，所以， ，
解得 ，因此， .故选：D.
考法二 等差等比数列性质
【例2-1】（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列 中， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在等差数列 中， ，可得 ，
因此， .
故选：A.
【例2-2】（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列 的前 项和的性质可得： ， ， 也成等差数列，
， ，解得 ．故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）设 ， 分别是两个等差数列 ， 的前n
项和．若对一切正整数n， 恒成立， （ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得
.故选：B
【例2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列 ， ， 是方程
的两根，则 的值是（ ）
A． 或 B．2或 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， 是方程 的两根，
所以 ， ，且 ， 都是负数，
又因为 为等比数列，所以 ，所以 ，
且 ，所以 .
故选：C
【例2-5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
因为 为等比数列，根据等比数列的性质，
【淘宝店铺：向阳百分百】可得 仍成等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，故 .
故选：D.
【变式】
1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）等差数列 中， ，则 （ ）
A．60 B．30 C．10 D．0
【答案】B
【解析】 等差数列 中， ,
即 ,
.
故选：B.
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
A．9 B． C．12 D．
【答案】A
【解析】由已知 ， ， ，即3， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
故选：A．
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 即 ，又等差数列 的前 项和 形式满足
，
故 .则 ，
故 .
故选：A
4．（2023·重庆·校联考三模）已知 是等差数列， 是等比数列，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是等差数列，所以 ，故 ，则 ，
因为 是等比数列，所以 ，故 ，则 ，
所以 .
故选：A
【淘宝店铺：向阳百分百】5．（2023·山西吕梁·统考二模）等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（ ）
A．40或 B． C．40 D．32
【答案】C
【解析】由题意知： ， ， 成等比数列，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，∴ ．故选：C
考法三 通项
【例3-1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，若满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ， ，得 ，
当 时， ， ， ，
，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .故选：C
【例3-2】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列 的各项均不为零，且满足 ，
（ ， ），则 的通项公式 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】 ，则 ，
设 ， ，则 ，
，
而 也符合该式，故 ，故 .
故答案为：
【例3-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知数列 各项均为正数， ，且有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
显然若 ，则 ，则 ， ，与题意矛盾，
所以 ， ，两边同时取倒数，得： ，
设 ， ， ， ，
因为 ，故 ，故 ，所以 为等比数列，
所以 ，故 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）已知数列 的前 项和为 ， ， ，则数列
的通项 ．
【答案】
【解析】由 ，而 ，故 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
又 且 ，显然 也满足上式，
所以 .故答案为：
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列 满足 ， ，写出一个符合上述条件的数列
的通项公式 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 得： ，
则当 时， ， ，故 满足递推关系，
又 ，满足 ，
满足条件的数列 的一个通项公式为： .
故答案为： （答案不唯一）.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】 ，两边同除 得：
，
所以 ，即 ，
化简得 ，∵ ，∴ ．
故答案为： .
考法四 求和方法
【例4-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）等差数列 的前n项和 ， ，数列
的前n项和
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以数列 的前n项和为
.
故答案为：
【例4-2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，
，则数列 的前30项和为 .
【答案】465
【解析】当 为奇数时， ， 是首项为1，公差为1的等差数列；
当 为偶数时， ， 是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足 ，则
.
【答案】
【解析】由 可得当 时， ，
所以 ， 满足 ，故 ， .
令 ，
则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减得： ，
所以 .
故答案为：
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ，则
.
【答案】
【解析】当 时， ，
∴ ，
又 ，
满足 ，
∴ ， ，
即 ，
∴
.
【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
2．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列 满足： ， ，数列 的前n项和 满足
，则数列 的前n项和 .
【答案】
【解析】因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
两式相减可得， ，即 ，
又 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
故 ，
令 ，
，
，
两式相减得：
【淘宝店铺：向阳百分百】.
故答案为：
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列 中， ，其前n项和为 ，则
．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
4．（2023·江西赣州·统考二模）设 为数列 的前 项和，满足 ， 其中 ，数列
的前 项和为 ，满足 ，则 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
①，当 时， ②，
两式相减得 ，即 ，
所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】且 对 也适合，综上， ，
故 ，
.
故答案为：
考法五 数列在实际生活中应用
【例5-1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：
“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里
程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该马第 天行走的里程数为 ，
由题意可知，数列 是公比为 的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为 ，解得 .
故该马第五天行走的里程数为 .
故选：D.
【变式】
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗
玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五
人得到的玉米总量为（ ）
A． 斗 B． 斗
C． 斗 D． 斗
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为 ，则 时， ， ，即
是等比数列，
由已知 ， ，
（斗）．
故选：A．
2．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的
路程．已知第i（ ）匹马的日行路程是第 匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程
为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取 ）（ ）
A．7750里 B．7752里
C．7754里 D．7756里
【答案】B
【解析】 ，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数
列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为
（里）．故选：B.
3（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平
距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
【淘宝店铺：向阳百分百】成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
考法六 数列的单调性与最值
【例6-1】（2023·四川自贡·统考三模）等差数列 的前n项和为 ，公差为d，若 ， ，则
下列四个命题正确个数为（ ）① 为 的最小值 ② ③ ， ④ 为 的最小值
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】等差数列 中， ，则 ，故②正确；
又 ，所以 ，故 ，则 ，故③正确；
于是可得等差数列 满足 ，其为递增数列，则 ，又 ，所以
【淘宝店铺：向阳百分百】为 的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为 .
故选：C.
【例6-2】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并
且 ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【解析】由 可知公比 ，所以A错误；
又 ，且 可得 ，即B错误；
由等比数列前 项和公式可知 ，由指数函数性质可得 为单调递增，
即 无最大值，所以C错误；
设 为数列 前 项积的最大值，则需满足 ，可得 ，
又 可得 ，即 的最大值为 ，所以D正确.
故选：D
【变式】
1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设等差数列 的前n项和为 ，已知 是方程
的两根，则能使 成立的n的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【解析】因为 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中项知： ， ，
， ，即使得 的成立的最大 ；故选：A.
2．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列 的公差为 ，共前 项和为 ，已知
， ，则下列结论不正确的是（ ）.
A． ， B． 与 均为 的最大值
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，
因为 ，
，
所以 ，所以CD正确；
由 ，易得 ，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以A正确；
对于B：因为 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】因此， 与 不可能同为 的最大值.
故选：B.
3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为
，前 项积为 ，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 1
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BD
【解析】若 ，则 ， ，所以 ，与 矛盾；
若 ，则因为 ，所以 ， ，则 ，与 矛盾，因此 ，所以A不正确．
因为 ，所以 ，因此 ，故B正确．
因为 ，所以 单调递增，即 的最大值不为 ，故C错误．
因为当 时， ，当 时， ，所以 的最大值为 ，即D正确．故选：BD.
考法七 数列与其他知识的综合运用
【例7-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若 为虚数单位，则计算
．
【答案】
【解析】】设 ，
，
上面两式相减可得，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ．
故答案为： ．
【例7-2】（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列 满足 ，其前 项和为 ，则
．
【答案】 /
【解析】因为 ，
.
故答案为： .
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生
育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为 ，在
该生物个体的随机交配过程中，基因型为 的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代
只有 基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
雌
雄
×
由上表可知，子1代中 ，子1代产生的配子中 占 ， 占 .以此类推，则子10代中 个
【淘宝店铺：向阳百分百】体所占比例为 .
【答案】
【解析】由题，设子 代中 占比为 ，则 占比为 .
所以 ，则子 代的基因型如下表所示，
雌雄
×
由表可得，表格中总份数为 （其中淘汰了 份），
因此子 代中 占比为 ，
化简得 ，即 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ， ，因此 .
故答案为： .
2．（2023·全国·模拟预测）离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳
定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学
家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子
可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和
1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A．87 B．89 C．91 D．93
【答案】B
【解析】由题目知，作用后的阳离子个数是作用前阴离子个数，作用后的阴离子个数是作用前阴阳离子个
数之和。
现在有1个阴离子和1个阳离子，经过逐次作用后：
阳离子个
作用次数 阴离子个数
数
0 1 1
1 1 2
2 2 3
3 3 5
4 5 8
5 8 13
6 13 21
7 21 34
8 34 55
9 55 89
则在9次该作用下，阴离子的个数为 .
故选：B.
考法八 新定义数列
【例8-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Leonardo
Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的
特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称
为“斐波那契数列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，所以
故A正确；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，而 ，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
【例8-2】（2023·江苏扬州·统考模拟预测）（多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形
成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列 、 进行“美好成长”，第一次得到数
列 、 、 ；第二次得到数列 、 、 、 、 ； ；设第 次“美好成长”后得到的数列为 、 、 、
、 、 ，并记 ，则（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．数列 的前 项和为
【答案】ACD
【解析】对于A选项， ，A对；
对于B选项，设第 次“美好成长”后共插入 项，即 ，共有 个间隔，且 ，
则第 次“美好成长”后再插入 项，则 ，
可得 ，且 ，
故数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，故 ，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为 ，且 ，
所以， ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，故 ，
所以， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以，数列 的前 项和为 ，D对.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若
是公差不为零的等差数列，则称数列 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各
层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层
放10个小球， ，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
【答案】C
【解析】设第 层放小球的个数为 ，由题意 ， ，……，数列 是首项为2，公
差为1的等差数列，
所以 ．
故 ，
故 ．
故选：C．
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，
后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是
指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任
意正整数 ，按照上述规则实施第 次运算的结果为 ，若 ，且 均不为1，则
（ ）
A．5或16 B．5或32
C．5或16或4 D．5或32或4
【答案】B
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题知 ，因为 ，则有：
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数， ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，得 ，不合题意，所以 为偶数，且 ；
若 为奇数，则 ，可得 ；若 为偶数，则 .
综上所述： 或32.
故选：B
3．（2023·河南安阳·统考二模）如果有穷数列 ， ， ，…， （m为正整数）满足条件 ，
，…， ，即 （t为常数） ，则称其为“倒序等积数列”．例如，
数列8，4，2， ， ， 是“倒序等积数列”．已知 是80项的“倒序等积数列”， ，且 ，
，…， 是公比为2， 的等比数列，设数列 的前n项和为 ，则 （ ）．
A．210 B．445 C．780 D．1225
【答案】B
【解析】由题可知当 时， .
根据定义，当 时， .
则 .
【淘宝店铺：向阳百分百】故
.
故选：B
4．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:
,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为 ,故此数列
称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列 的通项公式为
,其中 的值可由 和 得到,比如兔子数列中 代入解得
.利用以上信息计算 表示不超过 的最大整数 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解析】由题意可令 ,
所以将数列 逐个列举可得:
, , , , ,
故 ,
因为 ,
所以 ,
【淘宝店铺：向阳百分百】故 .
故选:B
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的
值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【解析】由题意可得：当 时， ，即 ， ①
当 时， ，即 ， ②
联立①②可得 ，则 .
故选：C.
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ，解得 ， ，故选：C.
3．（2023·四川南充·模拟预测）等差数列 的前 项和为 ，则 的最大值
为（ ）
A．60 B．50 C． D．30
【答案】D
【解析】由 和 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由于 为等差数列，且 ，所以当 时， ,
故 的最大值为 ，
故选：D
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知 为等比数列， 是它的前 项和．若 ，且 与 的
等差中项为 ，则 等于（ ）
A．37 B．35 C．31 D．29
【答案】C
【解析】 ， ，解得 ，
与 的等差中项为 ，解得 ，
设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
， ，故选：C．
5．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列 满足 且 是前 项和，且
，则 （ ）
A．2024 B．2023 C．1012 D．1011
【答案】C
【解析】由题意， ， ，
则数列 为等差数列，设公差为 ， ，即 ，则 ，则
，
则 所以 ， （常数），则 也为等差数列.
【淘宝店铺：向阳百分百】则数列 的公差为 .
所以
所以 .
故选：C
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列 （ ）的前n项和为 ，公差
， ，则使得 的最大整数n为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18
【答案】C
【解析】因为 ，所以 异号，
因为 ，所以 ，
又有 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，
所以 的最大整数n为17.
故选：C
7．（2023·吉林·统考一模）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．11
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，
则
，
所以 .
故选：A
8．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，若 ，
则 （ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
故 .
故选：A.
10．（2023·江西景德镇·统考三模）在数列 中， ， ，则数
列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
.
故选：D.
11．（2023·海南海口·校考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 ，若 成等比
数列，则角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 成等比数列，可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，（当且仅当 时取等号），
由于在三角形中 ，且 在 上为减函数，
所以角 的取值范围是： .
故选：B.
12．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列 ，若
，则 （ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项， ，
又 是正项数列，故 （负值舍去）
设等比数列 的公比为 ，由 ，
即 ，解得 （正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列 可知 ， ， 成等比数列，
则 ，又 ，所以 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .
故选：B.
14．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列 的前 项和为 .若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 （ ），
则 ，解得： ，
又 ，
所以 ，
故选：C.
15．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）设等比数列 中，前n项和为 ，已知 ， ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且 也成等比数列，
因为 ， ，所以 ，
所以8，-1，S-S 成等比数列，所以8(S-S)=1，
9 6 9 6
【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，所以 .故B，C，D错误.
故选：A.
16．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】因为等差数列 的公差为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是周期为3的数列，
又 ，所以 或 或 ，
则 符合题意，此时 ，
所以 ，
所以 ，排除 ,只有 符合,
故选： .
17．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，
则 （ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列 中， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 ，
于是有 ，即有 ，解得 ，
所以 ， .
故选：B
18．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差
数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
【淘宝店铺：向阳百分百】方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，
∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
20．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗
环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
21．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一
年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之
前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为 万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为 万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为 万元，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为
万元，
故选：C.
22．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能
的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业
的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核
电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一
核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.
专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（
）（参考数据 ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以 为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为 ，
两边取常用对数可得： ，
所以 ，
故选：B
23．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出
五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一
斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金
的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的 ，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税
【淘宝店铺：向阳百分百】金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 斤，设 ，则
（ ）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为 斤，
第1关收税金为： 斤；第2关收税金为 斤；
第3关收税金为 斤，
以此类推可得的，第4关收税金为 斤，第5关收税金为 斤，
所以 ，
即 ，解得 ，
又由 ，所以 .
故选：C.
24．（2022·北京·统考高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在
正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数 ， ，若方程 有三个不同的实数
根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，设方程 的三个不同的实数根从小到大依次为 ， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ．若 数列 是等比数列；
，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 是等比数列，设公比为k，则 ，
，
于是 ，
即 成立；
若 ，
取 ，显然 不是等比数列，故 是 的充分不必要条件．
答案：A
27．（2023·新疆·统考三模）已知数列 中， ，若 （ ），则下列结论中错误的是
（ ）
A． B．
【淘宝店铺：向阳百分百】C． （ ） D．
【答案】D
【解析】对于A项，由 （ ）得 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，故A项正确；
对于B项，由A项可知， ，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 ，
假设当 ， ， 成立，则 ，
令 ，则 ，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以有 ，
所以对于任意 ， ， 成立，故C项正确；
对于D项，由A项知， 不满足 ，故D项错误.
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵
化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第 代祖
先数目如下图所示：
若用 表示一只雄蜂第 代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，当 时， ，
A选项， ，A错误；
B选项， ，B正确；
C选项， ，
故 ，C错误；
D选项，
，
故 ，D错误.
故选：B
【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
29．（2023·湖南·校联考模拟预测）若正项数列 是等差数列，且 ，则（ ）
A．当 时， B． 的取值范围是
C．当 为整数时， 的最大值为29 D．公差d的取值范围是
【答案】ABC
【解析】当 时，公差 ， ，A正确．
因为 是正项等差数列，所以 ，即 ，且 ，
所以公差 的取值范围是 ，D错误．
因为 ，所以 的取值范围是 ，B正确．
，当 为整数时， 的最大值为29，C正确．
故选：
30．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项积为 ，则下
列结论正确的是( )
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列
C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，∴ ．
对于A选项， ，∴ 为等差数列，A正确；
对于B选项，令 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
故数列 是等差数列，B正确；
设等比数列 的公比为 ，
对于C选项，令 ，则 ，故数列 是等比数列，C正确；
对于D选项，∵ 不一定为常数，故数列 不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
31．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 是递增数列 B． 是数列 中的项
C．数列 中的最小项为 D．数列 是等差数列
【答案】ACD
【解析】由已知 ， ，所以，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以， .
对于A选项，因为 ，所以， 是递增数列，A对；
对于B选项，令 ，可得 ，B错；
对于C选项，令 可得 ，所以，数列 中的最小项为 ，C对；
对于D选项， ，则 ，
所以， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故数列 为等差数列，D对.
故选：ACD.
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A， ， 时， ，解得 ，因此 ， ， 是
等差数列，A正确；
对于B， ， ，则 ，而 ， 是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列 的公差为 ，首项是 ，
，
，
因此 ，则 ， 成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列 的公比 ，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
33．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，B为坐标原点，点
【淘宝店铺：向阳百分百】P在圆 上，若对于 ，存在数列 ， ，使得 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． 为公差为2的等差数列 B． 为公比为 的等比数列
C． D． 前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点P在圆 上，则由参数方程得 ，
则 ，∴ .
对于 ，存在数列 ， ，使得 ，即 ①， ②，
② ①得 ，
令 ，则 ，则 是以 为首项，
公比为 的等比数列.
则 ，AB错；
对C， ，C对；
对D， ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，
两式相减得，
.
∴ ，D对.
故选：CD.
34（2023·全国·模拟预测）已知数列 满足 为 的前 项和．则下列说法
正确的是（ ）
A． 取最大值时， B．当 取最小值时，
C．当 取最大值时， D． 的最大值为
【答案】AD
【解析】由题意知 ，则 ，因为 ，
所以 ，
令 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 或 ，又 ，故 ．
当 取最大值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故A正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 取最小值时， ，此时 ，则 ， ，
故 ，故B不正确；
由 ，知 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
故当 取最大值时， ，
此时 ，故C不正确，D正确．
故选：AD
35．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
D．设 ，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，所以 的最小值不为 ，故B错误；
对于选项C：令 ，解得 ，
又因为 ，可得 的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以 取最小值时 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，
可得 ，
两式相减得：
，
所以 ，故D错误；
故选：AC.
36．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足 ， ， 的前 项和为
，则（ ）
A． B．
C． D．
【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】AB
【解析】由 ， ，得 ，而 ，
因此数列 是首项为 ，公比为2的等比数列， ，
所以 ，B正确；
由 ，A正确；
，
则有2 ，
两式相减得 ，D错误；
由 ，C错误.
故选：AB
37．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）若数列 满足 （ 为正整数），
为数列 的前 项和则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 ，故A正确；
由 知， ，
两式相减得 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，故当 时， 为常数列，
故 ，故 ，故 ，故B正确；
，故C错误；
，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C． 的最小值为 D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为 ，即 ，
所以数列 为递增数列，可得 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 ，
两边平方整理得 ，故B正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项C：因为数列 为递增数列且 ，则 为递减数列，
所以 为递减数列，不存在最小值，故C错误；
对于选项D：因为 ，整理得 ，
两边平方得 ，即 ，
可得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
39．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为
．
【答案】
【解析】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】解得 .
故答案为：
40．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等比数列， ， ，则 .
【答案】
【解析】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
41（2022·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
【答案】2
【解析】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
42．（2022·北京·统考高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足 ．给
出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，
当 时， ，可得 ；
【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
43．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设数列 的通项公式为 ，其前
项和为 ，则 .
【答案】100
【解析】当 或 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ，
当 ， 时 .
∴ ，
【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
故答案为：100.
44．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知 ， ，将数列 与数列
的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 .
【答案】
【解析】因为数列 是正奇数列，
对于数列 ，当 为奇数时，设 ，则 为偶数；
当 为偶数时，设 ，则 为奇数，
所以 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
45．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列 满足 ， ，则 的前n项
和为 .
【答案】
【解析】设 的前n项和为 ，则 ，
又 ，
故
【淘宝店铺：向阳百分百】，
故 ，
故答案为： .
46．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ，
，且 ，则 的最大值等于 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，将 代入，得 ，
所以 ， ，所以 ，
，
又因为 ，所以 ， ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 ，所以当 时，
最大，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即 时， 有最大值 .
故答案为： .
47．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列 中， ，前n项和为 .若
，则数列 的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列 中 ，又 ，且 ，
两式相除得 ， ，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则 ，∴ ，
当 ， ，
当 时， ，也满足上式，
∴数列 的通项公式为 ，
则 ，
数列 的前2023项和为 .
故答案为：
48．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列 满足 ，若数列 的前 项和为 ，
【淘宝店铺：向阳百分百】，则 中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
所以 为奇数时 ，故 都是集合 中的元素.
又 ，所以 为偶数时 ，
由 得 ，所以2，4，6，8是集合 中的元素，
则集合 中所有元素的和为 .
故答案为：2520.
49．（2023·陕西·校联考三模）已知数列 的前n项和 ，设 为数列 的前n
项和，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时， 满足上式，
所以 .
所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，即 ，
因为函数 在 单调递增，
【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， 有最小值为10，
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
50．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列 中， ，且 ，数列
的前n项和为 ，若对任意的正整数n，总有 ，则t的取值范围是 ．
【答案】 .
【解析】由 得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 ，即 ．
所以 ．
故
，
易知数列 为递增函数，且 ，所以 ，
故 ，解得 或 ．
故答案为: .
【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】
