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专题 09 杨辉三角与裴波那契数列
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题型01 杨辉三角中的数列问题..................................................................................................................................1
题型02 裴波那契数列..................................................................................................................................................4
题型 01 杨辉三角中的数列问题
【解题规律·提分快招】
1、第二层是自然数列
2、第三层是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且
记该数列前 项和为 ，设 ，将数列 中的整数项依次取出组成新的数列记为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究
成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数
列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ．
3．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所
示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：
1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1， ，记作数列 ，则 ；若数列
的前 项和为S ，则 .
n4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻
两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，
2：第二行得到数列 ：第三行得到数列 ，则第5行从左数起第8个数的值为 ；
表示第 行所有项的乘积，设 ，则 .
5．（23-24高三下·重庆璧山·阶段练习）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如
图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出： ，
令 ， 是 的前n项和，则 ．题型 02 裴波那契数列
【解题规律·提分快招】
一、斐波那契数列
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{F}。
n
2、斐波那契数列的递推公式
F F 1
递推公式 1 2
F F F (n3，nN*)
n2 n1 n
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式a,前n项和S）
n n
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波
那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，
在数学上，这一数列以如下递推的方法定义： ， ，记此数
列为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两
个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为 ，则以下结论中错
误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·甘肃甘南·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列
数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2024·四川·模拟预测）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列
是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子
数列”， 满足 ， （ ， ），则 是斐波那契数
列的第 项.
5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契数列(Fibonacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契
(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列 有如下递推公式：
，通项公式为 ，故又称黄金分割数
列．若 且 ，则 中所有元素之和为偶数的概率为 ．
(结果用含 的代数式表达)
一、单选题
1．（23-24高三下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所
示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，
1，…，则此数列的第 项为（ ）A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列
的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）
A．350 B．295 C．285 D．230
3．（23-24高三下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契
数列.数列 满足 ， .现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3除余1的概率
是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称
“兔子数列”.这一数列如下定义：设 为斐波那契数列， ， ， ，
其通项公式为 ，设 是 的正整数解，则 的
最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列
：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即 ，
，这样的数列称为“斐波那契数列”.若 ，则 （ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
二、多选题6．（2024高三·全国·专题练习）(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝21 B．S＝32
8 7
C． ＝an D． ＝a
2 2 022
7．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第
n行从左至右的数字之和记为 ，如 的前 项和记为 ，依次去掉每一
行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为 ， 的前 项和记为 ，
则下列说法正确的有（ ）
A． B． 的前 项和
C． D．
8．（23-24高三上·安徽阜阳·阶段练习）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个
数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们
把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，并将数列 中的各项除以3所得余数按原顺序构成
的数列记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：
1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它
前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 表示斐波那契数列
的第 项，则数列 满足： ， .则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．D．
三、填空题
10．（23-24高三下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层
开始，第 层从左到右的数字之和记为 ，如 ， ，…，则 的前9项和
.
11．（24-25高三·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一
书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为 ．
12．（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入
“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列” 满足 ，给定前2项均为1的
“兔子数列” ，记其前 项和为S ，试用含 的代数式表示S = ．
n n
13．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一
列数： ，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样
的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，则 是斐波那契数列中的第
项．
