文档内容
专题 09 杨辉三角与裴波那契数列
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
题型01 杨辉三角中的数列问题..................................................................................................................................1
题型02 裴波那契数列..................................................................................................................................................6
题型 01 杨辉三角中的数列问题
【解题规律·提分快招】
1、第二层是自然数列
2、第三层是三角数列
这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形．3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且
记该数列前 项和为 ，设 ，将数列 中的整数项依次取出组成新的数列记为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据杨辉三角每行的数字特征，结合等比数列求和公式可得 ，由此可整理得到 ；根据 的整
数项可确定数列 的奇数项和偶数项的变化规律，结合等差数列通项公式可求得结果.
【详解】由题意知：第 行数字之和构成的数列的通项为 ，
， ；
则数列 的整数项为： ，
数列 的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列；偶数项是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ， .
故选：B.
二、填空题
2．（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数
列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ．
【答案】211
【分析】设数列为 ,根据题意 ，累加法求出 的通项
公式，求出 .
【详解】设数列为 ,根据题意 ，
则累加可得 ,
所以 ，故 .
故答案为： .
3．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所
示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：
1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1， ，记作数列 ，则 ；若数列
的前 项和为S ，则 .
n
【答案】
【分析】由题意可知 是第5行第4个数，故而直接能得到答案；
令每行的序数与该行的项数相等可得第 行最后项在数列 中的项数为 ；根据
可求得 ，进而可确定 位于第 行第 个；根据每一行数字和的规律可知
，计算可得结果.
【详解】由题意可知 是第5行第4个数，所以 ；
使得每行的序数与该行的项数相等，则第 行最后项在数列 中的项数为：
设 位于第 行，则： ，解得：
且第 行最后一项在数列 中的项数为： ，位于杨辉三角数阵的第 行第 个
而第一行各项和为 ，第二行各项和为 ，第三行各项的和为
依此类推，第 行各项的和为
故答案为：4， .
【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前 项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，
确定第 项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题.
4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻
两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，
2：第二行得到数列 ：第三行得到数列 ，则第5行从左数起第8个数的值为 ；
表示第 行所有项的乘积，设 ，则 .
【答案】 8 365
【分析】空1：直接写出第5行的数列，即可解决；空2：首先归纳出 ，进而可以求得数列 的通项
公式，即可得解得.
【详解】空1：由题意可得：第5行得到数列 ，
所以第5行从左数起第8个数的值为8；
空2：根据题意可得： ，
，
，
总结可得 ，
所以 ，可得 .
故答案为：8；365.
【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算.
5．（23-24高三下·重庆璧山·阶段练习）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出： ，
令 ， 是 的前n项和，则 ．
【答案】
【分析】由题设关系，应用裂项相消法可得 ，进而可得 ．
【详解】由 可得： ，
所以 ，
所以
，
所以 ．
故答案为： ．
题型 02 裴波那契数列
【解题规律·提分快招】一、斐波那契数列
1、斐波那契数列概念
把这个数列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,… 称为斐波那契数列 ，一般记为{F}。
n
2、斐波那契数列的递推公式
F F 1
递推公式 1 2
F F F (n3，nN*)
n2 n1 n
3、斐波那契数列的通项公式
4、斐波那契数列的性质（通项公式a,前n项和S）
n n
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波
那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，
在数学上，这一数列以如下递推的方法定义： ， ，记此数
列为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得， ， ， ，进而结合递推关系求解即可.
【详解】由题意得， ， ， ，则 .
故选：C.
2．（23-24高三上·陕西宝鸡·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列
数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两
个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为 ，则以下结论中错
误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项．
【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；
由题意
则 可得：
，所以选项C正确，D错误；
故选：D
3．（24-25高三上·甘肃甘南·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列
数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列 称为“斐波那契数列”，记 为数列 的前 项和，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得 ， ， ，利用递推公式一一验证即可.
【详解】依题意 ， ， ， ， ， ， ，故A错误；
当 时 ， ， ，
上述三式相加可得 ，故B错误；
，故C错误；，故D正确.
故选：D
二、填空题
4．（2024·四川·模拟预测）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该数列
是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子
数列”， 满足 ， （ ， ），则 是斐波那契数
列的第 项.
【答案】2025
【分析】由斐波那契数列的递推关系式可得 （ ， ），结合累加法求解即可.
【详解】由题意知， （ ， ），
所以 （ ， ），
所以 ， ，……， ，
由累加法可得 ，
则 ，
所以 是斐波那契数列的第2025项.
故答案为：2025.
5．（23-24高三下·云南昆明·期中）斐波那契数列(Fibonacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契
(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列 有如下递推公式：
，通项公式为 ，故又称黄金分割数
列．若 且 ，则 中所有元素之和为偶数的概率为 ．
(结果用含 的代数式表达)
【答案】
【分析】先分析出 中的元素有 个偶数， 个奇数，且集合 共有 个，再得到
中所有元素之和为偶数时， 中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成，结合二项式系数的性质得到 中所
有元素之和为偶数时 共有 个，从而求出概率.
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合 中的元素有 个偶数， 个奇数，
因为 且 ，所以 共有 个，
当 中所有元素之和为偶数时， 中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成．选出偶数个奇数有 种方法，
选出任意个偶数有 种方法，
其中，选出0个奇数和0个偶数时， 为空集，不符合要求，
所以 中所有元素之和为偶数时 共有 个，
所以 中所有元素之和为偶数的概率为 ．
故答案为：
一、单选题
1．（23-24高三下·北京大兴·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所
示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，
1，…，则此数列的第 项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“杨辉三角”的性质、等差数列求和公式及组合数判断即可.
【详解】由“杨辉三角”可知：第一行 个数，第二行 个数，...，第 行 个数，
所以前 行共有： 个数，当 时， ，又 ，
所以第 项是第 行的第 个数字，即为 ，
故选：D.
2．（23-24高三下·湖南邵阳·期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列
的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）A．350 B．295 C．285 D．230
【答案】C
【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可.
【详解】记此数列的前20项的和为 ，则
.
故选：C.
3．（23-24高三下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契
数列.数列 满足 ， .现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3除余1的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8，从而得到前2024项中被3除余1的
有 项，得到概率.
【详解】根据斐波那契数列的定义知， ，
被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，
余数数列为周期数列，周期为8， ，
所以数列的前2024项中被3除余1的有 项，
故所求概率为 .
故选：D.
4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称
“兔子数列”.这一数列如下定义：设 为斐波那契数列， ， ， ，
其通项公式为 ，设 是 的正整数解，则 的
最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A
【分析】利用给定条件结合对数的性质将 化为 ，
结合 ，得到 ，根据 递增，得到 也是递增数列，得
，即可求解.
【详解】由题知 是 的正整数解，
故 ，取指数得 ，
同除 得， ，故 ，
即 ，根据 是递增数列可以得到 也是递增数列，
于是原不等式转化为 .
由斐波那契数列可得， ， ， ，
可以得到满足要求的 的最大值为 ，故A正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于利用对数的运算将 ，
转化为 ，结合 的表达式得到 ，
从而求解 的最大值.
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列
：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即 ，
，这样的数列称为“斐波那契数列”.若 ，则 （ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
【答案】B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得
，然后将 中的 倍展成和的形式（如 ）即可
求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， ，由 ，得 ，
所以 ，
，
，
，
将这 个式子左右两边分别相加可得：
，
所以 .
所以
.
故选：B．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝21 B．S＝32
8 7
C． ＝an D． ＝a
2 2 022
【答案】ACD
【详解】
A选项显然正确；B选项S＝33，所以B选项不正确；因为a－a＝a，a－a＝a，…，an－an ＝an
7 4 2 3 6 4 5 2 2 －2 2 －
，累加得C选项正确；因为n≥2时，a＝a·a ，a＝a·(a －a)，a＝a·(a －a)，…，a ＝an·(an －an
1 2 1 2 3 1 3 4 2 ＋1 －
)，累加得D选项正确．故选ACD.
1
7．（2024·福建宁德·模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第
n行从左至右的数字之和记为 ，如 的前 项和记为 ，依次去掉每一
行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为 ， 的前 项和记为 ，
则下列说法正确的有（ ）A． B． 的前 项和
C． D．
【答案】BCD
【分析】由题意分析出数列 为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可．
【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应 的二项式系数，
所以 ，所以 为等比数列， ，
所以 ，故A错误；
，
故 的前 项和为 ，
故B正确；
去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，
项数之和为 ，则 的最大整数为11，此时 ,
杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，
取的就是第12行中的第3项， ，故C正确；
是 中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项，
所以 ，故D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系
起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.
8．（23-24高三上·安徽阜阳·阶段练习）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样一个
数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列的前两项均是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和.人们
把这样的一列数组成的数列 称为斐波那契数列，并将数列 中的各项除以3所得余数按原顺序构成
的数列记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】ACD
【分析】根据题意，利用数列 的性质 和裂项相消法判断AB选项，利用数列 的周期
性判断CD选项.
【详解】A选项：因为 ， （ ， ），所以 （ ，
），
故 ， ， ，…， ， ，累加得
，故A正确；
B选项：因为 ，所以 （ ， ），等式两侧同乘 ，得
，
累加得 ，
故B错误；
C选项：由题意知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，…，
所以数列 是最小正周期为8的数列，故 ，故C正确；
D选项： ，故D正确.
故选：ACD.
9．（2024·山东·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：
1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它
前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 表示斐波那契数列
的第 项，则数列 满足： ， .则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B，当 时，
， ， ，三式相加判断，对于
C，根据 ，对 依次取1，2，……，2024，得到2024个式子相加进行判断，对于D，由 ，得 ，对 依次取1，
2，……，2022，然后相加进行判断.
【详解】对于A，由题意可知斐波那契数列的前10项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
所以 ，所以A错误，
对于B，当 时， ， ， ，
所以三式相加得 ，
所以 ，所以B正确，
对于C，因为数列 满足： ， ，
所以 ， ， ，……，
， ， ，
以上2024个等式相加得 ,
因为 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ， ，
所以 ， ,
, ,
……,
,
所以 ，所以D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，
充分利用 分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题.
三、填空题
10．（23-24高三下·广东佛山·阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1层
开始，第 层从左到右的数字之和记为 ，如 ， ，…，则 的前9项和
.【答案】1022
【分析】由题意，总结得出 的表达式，证明其为等比数列，利用等比数列求和公式计算即得.
【详解】由题意得 ，因 ，可得数列 是等比数列，
则 .
故答案为：1022.
11．（24-25高三·上海·随堂练习）以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一
书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一
个数，则这个数为 ．
【答案】
【分析】结合题意，利用从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，使用数列的知识求解
即可.
【详解】观察每一行第一个数的规律：
第一行的第一个数为 ，
第二行的第一个数为 ，
第三行的第一个数为 ，
第四行的第一个数为 ，…，
第n行的第一个数为 ，
表中一共2018行，
∴第2018行的第一个数即 ．
故答案为：
12．（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，在1202年著的《计算之书》引入“兔子数列”（即斐波那契数列），“兔子数列” 满足 ，给定前2项均为1的
“兔子数列” ，记其前 项和为S ，试用含 的代数式表示S = ．
n n
【答案】
【分析】将题设相邻项的加法关系变形为减法关系，然后写出 个式子累加即可求得 与 的关系式.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
13．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一
列数： ，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样
的一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，则 是斐波那契数列中的第
项．
【答案】2025
【分析】根据“斐波那契数列”的递推关系可得结果.
【详解】依题意有：
，
所以： ，
故答案为：2025.
