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专题 10-1 概率统计（选填）
目录
.....................................................................................1
题型一：随机抽样、分层抽样................................................................................................................1
题型二：用样本估计总体........................................................................................................................3
题型三：样本的数字特征........................................................................................................................8
题型四：百分位数..................................................................................................................................10
题型五：线性回归..................................................................................................................................13
题型六：独立性检验..............................................................................................................................18
题型七：排列组合..................................................................................................................................25
题型八：二项式定理..............................................................................................................................29
题型九：古典概型..................................................................................................................................33
题型十：条件概率..................................................................................................................................37
题型十一：正态分布..............................................................................................................................41
题型十二：均值和方差..........................................................................................................................45
................................................................50
题型一：随机抽样、分层抽样
【典例分析】
例题1．（2022秋·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）从某班 名同学中选出
人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 名同学按 ， ，…， 进行编
号，然后从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出
的第 个同学的编号为(注：表为随机数表的第 行与第 行)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】按题意，从第一行第5列，两个两个数字取数，抽样编号依次为43，36，47，
46，24，第5个是24，
故选：A
例题2．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）某日某火锅店进货了四种
食品，其中毛肚、鸭肠、牛肉及莴笋分别进货了700份、600份、500份、200份，现从中
抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的
毛肚份数与莴笋份数之和是（ ）
A．7 B．13 C．8 D．9
【答案】D
【详解】由题意可知采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的毛肚份数为
，
抽取的莴笋份数为 ，
故抽取的毛肚份数与莴笋份数之和是 ，
故选：D
【提分秘籍】
随机数表法是常用的一种抽样方法，使用时做到不重复，不遗漏.
分层抽样注意分层，每层抽样比相同.
【变式演练】
1．（2022春·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）要考察某公司生产的500克袋
装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，
002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读
取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（ ）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）
A．358 B．301 C．071 D．206
【答案】C【详解】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合
条件，第三个数据是206，符合条件；
即随机选取的第一袋牛奶标号是206；
以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据
只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；
下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；
所以，第四袋牛奶的标号为071.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）某中学的高一､二､三这三个年级学生的平均身高分别为
，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一､高二､高三
的学生人数分别为100､200､300，则估计该高中学生的平均身高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设该中学的总人数为 ，
由题意知，高一､高二､高三的学生总人数分别为： ，
所以估计该高中学生的平均身高为： .
故选：A
题型二：用样本估计总体
【典例分析】
例题1．（多选）（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）某校举行劳动技能大赛，
统计了 名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间
内，不低于 分的视为优秀，低于 分的视为不及格.若同一组中数据用该组区
间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（ ）A．
B．优秀学生人数比不及格学生人数少 人
C．该次比赛成绩的平均分约为
D．这次比赛成绩的 分位数为
【答案】BCD
【详解】对于A项，由题意 ，所以 ，故A错
误；
对于B项，优秀学生人数为 ，不及格学生人数 ，优秀学生人数
比不及格学生人数少15人，故B正确；
对于C项，平均分 ，故C正
确；
对于D项，设百分位数为 ，则有 ，所以 ，故D
正确.
故选:BCD
例题2．（多选）（2022·山东德州·统考二模）教育部办公厅“关于进一步加强中小学
生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣
传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，
家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响
因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的
重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000
名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据
所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）A．样本的众数为 B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300
人
【答案】ABD
【详解】对于 ，样本的众数为 ，故 正确;
对于 ，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为 ，故 正确，
对于 ，由直方图估计样本平均值为：
，故 错误，
对于 ，2000名男生中体重低于 的人数大约为 ，故 正确，
故选： ．
【提分秘籍】
频率分布直方图中的考点常常涉及到:
①平均数，众数，中位数估计值；
②各个小矩形面积之和等于1
【变式演练】
1．（多选）（2022·广东韶关·统考一模）某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体
育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40%.根据调查结果分别
绘制出男､女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则（ ）A．
B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时
C．女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长
D．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的
【答案】BC
【详解】对于A，由 ，解得 ，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时长在 的频率为 ，在 的
频率为 ，所以女观众收看时长的中位数落在 中，不妨设为 ，
则 ，解得 ，则女观众收看时长的中位数为 ，故B
正确；
对于C，男性观众收看节目的平均时长为 小
时，女性观众收看节目的平均时长为 小时，故C正
确；
对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为
人，女性观众收看达到9小时人数为 人，故D错误.
故选：BC.
2．（多选）（2022·江苏南京·南京外国语学校校联考模拟预测）某校为了解学生体能素
质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布
直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）A．a=0.012
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为52
C．这100名学生成绩的中位数为65
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】ABD
【详解】对于A， ，
，所以A正确．
对于B， 所以B正确；
对于C， ，
中位数在 ，设中位数为 ，则 ，
所以C错误．
对于D，平均数 ，所以
D正确．
故选：ABD.
题型三：样本的数字特征
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市第一中学校校考一模）已知一个容量为
的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为 ，方差为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【详解】由题意可知， 个样本数据之和为 ，
去掉5个相同的样本数据90后， 个样本数据之和为 ，
所以 ，排除选项C；
因为样本数据中有5个相同的数据90，且 ，
不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，
则 ，
所以 ，即 ．
故选：A
例题2．（2022春·四川成都·高三统考期末）若数据9， ，6， ，5的平均数为7，
方差为2，则数据11，9， ，17， 的平均数和方差分别为（ ）
A．13，4 B．14，4 C．13，8 D．14，8
【答案】C
【详解】数据9，m，6，n，5的平均数为 ，
方差为 ，
化简得 ，解得 或 ，或 ，
则数据11，9， ，17， 为 或 ，
两组数据有相同的平均数和方差，
平均数为 ，
方差为 ，
故选：C
【变式演练】
1．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）某地区连续六天的最低气温(单位:℃)为: 9, 8, 7, 6, 5, 7,
则该六天最低气温的平均数和方差分别为
A．7和 B．8和 C．7和1 D．8和
【答案】A
【详解】平均数 ,
方差 .
故选A.
2．（2022·上海·高三专题练习）若数 的标准差为 ，则数
的标准差为________.
【答案】6
【详解】数 ， ， ， ， 的标准差为2，
则数 ， ， ， ， 的方差为4，数 ， ， ， ， 的方差为 ，标准差为6.
故答案为： 6．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12，
13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别
是 .
【答案】
【详解】∵总体的中位数为 ，∴a+b=21，
故总体的平均数为10，要使该总体的方差最小，
只需 最小，
又 ,
当且仅当a=b=10.5时，等号成立.
题型四：百分位数
【典例分析】
例题1．（2022春·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）从2，3，4，5，6，7，8，9中随
机取两个数，这两个数一个比 大，一个比 小的概率为 ，已知 为上述数据中的
分位数，则 的取值可能为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取两个数有 种，一个数比 大，一个
数比 小的不同结果有 ，
于是得 ，整理得： ，解得 或 ，
当 时，数据中的 分位数是第3个数，则 ，解得 ，所有选项
都不满足；当 时，数据中的 分位数是第6个数，则 ，解得 ，选项
A，B，D不满足，C满足.
故选：C
例题2．（2022春·河南开封·高三统考开学考试）已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的
数据：甲组： ；乙组： .若甲组数据的
第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则 等于______.
【答案】8
【详解】因为 ，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得 ，解得 ．
故答案为：8.
【提分秘籍】
①按从小到大排列原始数据．
②计算 ．
③若 不是整数而大于 的比邻整数 ，则第 百分位数为第 项数据；若 是整数，则第
百分位数为第 项与第 项数据的平均数．
【变式演练】
1．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）2021年2月20日，在党史学习教育
动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､
学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该
单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间
进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）
A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9【答案】A
【详解】由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有
9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.
学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；
由 ，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，
即 ，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；
故选：A
2．（2022·上海·高三统考学业考试）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高
样本，数据从小到大排序如下（单位： ）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，
170，171， ，174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则 的值为________.
【答案】172
【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位
置，本题第90百分位数是173，所以 ，
故答案为:172
3．（2022春·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）在我市今年高三年级期中
联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：
这10名同学数学成绩的 分位数是___________.
【答案】146
【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：
140,142,142,143,144,145,147,147,148,150
根据 ，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；
10名同学数学成绩的 分位数为： .故答案为：146
题型五：线性回归
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）已知一组样本数据
，根据这组数据的散点图分析 与 之间的线性相关关系，若求
得其线性回归方程为 ，则在样本点 处的残差为（ ）
A． B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【详解】把 代入 ，得 ，
所以在样本点 处的残差 .
故选：B.
例题2．（2022秋·江苏盐城·高二盐城市田家炳中学校考期中）已知某种商品的广告费
支出 （单位：万元）与销售额 （单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程 ，计算得 ，则当投入10万元广告费时，销售额的预
报值为
A．75万元 B．85万元
C．99万元 D．105万元
【答案】B
详解：由题意得 ，
∴样本中心为 ．
∵回归直线 过样本中心 ，∴ ，解得 ，
∴回归直线方程为 ．
当 时， ，
故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．
故选B．
例题3．（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知变量 与 的一组数据如
表所示，根据数据得到 关于 的回归方程为 ．
2 3 4 5 6
20 30 50 60 70
若 ，则 _______．
【答案】9
【详解】令 ，则 ，
故由表中数据可得 取 ，故 ，
而 ，
故 ，
故 时， ，即 ，
解得 ，（负值舍去）,
故答案为：9
【提分秘籍】
回归直线方程 一定经过样本中心 .
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，
活动的前五天数据如下表：第 天 1 2 3 4 5
使用人数( ) 15 173 457 842 1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为 ，则据此回归模型相应于点（2，173）
的残差为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
1 4 9 16 25
使用人数( ) 15 173 457 842 1333
， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以残差为 .
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知变量 ， 的关系可以用模型 拟合，设
，其变换后得到一组数据如下：
4 6 8 10
2 3 5 6
由上表可得线性回归方程 ，则 ______．【答案】 ##
【详解】由表格数据知： .
由 ，得 ，则 .
∴ ，
由 ，得 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
3．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市郫都区第一中学校联考阶段练习）2022年3月成
都市连续5天的日平均气温如下表所示：
日期 8 9 10 11 12
平均气温
20.5 21.5 21.5 22 22.5
(℃)
由表中数据得这5天的日平均气温 关于日期 的线性回归方程为 ，据此预测3
月15日成都市的平均气温为_______℃．
【答案】23.85
【详解】由题意得：
， ，
故 ，
则3月15日成都市的平均气温为 （℃），
故答案为：23.85
4．（2022·高二课时练习）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）
的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表所示：x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为 .据此计算出在样本点 处的
残差为 ，则 的值为______，表中m的值为______.
【答案】 0.35## 4.5##
【详解】由在样本点 处的残差为-0.15，可得当 时； ，即
，解得 .又 ， ，回归直线
过点 ，所以 ，解得 .
故答案为：0.35,4.5
题型六：独立性检验
【典例分析】
例题1．（2022秋·北京朝阳·高二统考期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学
生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情
况整理出如下的 列联表：
锻炼情况
性别 合计
不经常 经常
女生/人 14 7 21
男生/人 8 11 19
合计/人 22 18 40
注： 独立性检验中， ．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；
②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；
③根据小概率值 的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个
推断犯错误的概率不超过0.05；
④根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影
响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（ ）A．①③ B．①④ C．②③ D．
②④
【答案】B
【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为 ，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为 ，
因为 ，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故
①正确，②错误；
，所以根据小概率值 的独立性检验，没有
充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没
有影响，故④正确，③错误.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大
会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评
价，得到下面列联表：满意 不满意
男市民
女市民
当 时，若没有 的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则 的最小值
为___________.
附： ，其中
【答案】
【详解】由题意得
并令 ，即 ，近似解得
，即 ，注意到 ，故 的最小值为
.
故答案为： .
【提分秘籍】
①能正确计算
②能读对表中对应数据，并能正确回答出结论
【变式演练】
1．（2022秋·广东梅州·高二统考期末）经研究表明健康的饮食和科学的运动能够有效减少
低密度脂蛋白浓度．为了调查某地青年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查
该地100名青年大，得到2×2列联表如下：肥胖 不肥胖 总计
低密度脂蛋白不高于3.1mmol/L 10 65 75
低密度脂蛋白高于3.1mmol/L 10 15 25
总计 20 80 100
由此得出的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖
有关”
B．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖
无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖
有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖
无关”
【答案】A
【详解】由题表知
所以，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“该地青年人的低密度脂蛋白浓度与肥
胖有关”
故选：A
2．（2022秋·重庆九龙坡·高二四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在一次联考
后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优
秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：
优
非优秀 合计
秀甲班人数 50
乙班人数 20
合计 30 110
附： ，其中 .
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
优
非优秀 合计
秀
甲班人数 50
乙班人数 20
合计 30 110
由题表中的数据可得: ,
因为 ,
所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为 .
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的 ，男生追星的人数占男生
人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若有 的把握认为中学生追星与性别有
关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
， .
【答案】30
【详解】设男生人数为 ，依题意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则 ，
由 ，解得 ，
由题知 应为6的整数倍，
若在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有30人，
故答案为：30.
4．（2022·全国·高三专题练习）针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩
剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的 ，男生喜欢韩剧的人数占男生
人数的 ，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的 .若有 的把握认为是否喜欢韩剧和性别
有关，求男生至少有______人.
【答案】
【详解】设男生人数为 ，由题意可得列联表如下：
喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计
男生
女生
总计
若有 的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，
则 ，
即 ，
解得 .
因为各部分人数均为整数，所以若有 的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有 人.
故答案为： .
题型七：排列组合
【典例分析】
例题1．（2022·安徽蚌埠·统考一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时
代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡
发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022
年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校
至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
【答案】D
【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，
所以不同安排方案的总数为 .
故选：D.
例题2．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）设集合 ，其中 为自
然数且 ，则符合条件的集合 的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，
再在产生的102个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为
a、b、c，共有 种结果，
因为 ，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有 个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为 个.故选：A
例题3．（2022·河南·统考模拟预测）将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》
《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名
著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中
7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
【答案】691200
【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中
选取3本和四大名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有 种方
法，还剩5本书横放，有 种方法，
故不同的摆放方法种数为 .
故答案为：691200
例题4．（2022·山东济南·山东省实验中学校考模拟预测）安排高二年级一､二两个班一
天的数､语､外､物､体，一班的化学及二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但
不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班的政治要安排在同一节；其他语､数､
外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有__________种．
【答案】5400
【详解】先安排体育课（不能在第一节）有 种，化学和政治在同一节有 种，
剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有 种，
不妨设第1，2，3，4节的顺序，
二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节，
对应一班选出的某节课，比如第2节，
在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种，故不同的排课表方法共有 种,
故答案为：5400
【提分秘籍】
排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相
邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处
理；
(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测）将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C
花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有 种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有 种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有 种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有 .
故选：B.
2．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）某地区安排A，B，C，D，E，F六名
党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排
三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方
法总数为（ ）A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一
组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一
组，有 种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分
为两组，有 种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有 种分
配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和
剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有
种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式
故选：B
3．（2022·四川成都·成都七中校考三模）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，
丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方
法种数是______．（用具体数字作答）
【答案】10
【详解】①丙选择一名男生和一名女生： .
②丙选择两名男子： .
所以不同的安排方法种数是：10种.
故答案为：10.
题型八：二项式定理
【典例分析】例题1．（2022·青海西宁·湟川中学校考一模） 的展开式中的常数项
是（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【详解】 展开式的通项为 ，令 ，得 ，令
，得 ，故 展开式的常数项是 .
故选：B．
例题2．（2022·安徽芜湖·统考模拟预测） 展开式中， 项的系数为
（ ）
A．5 B．-5 C．15 D．-15
【答案】B
【详解】 ， 表示5个 相乘，
展开式中出现 有两种情况，第一种是 中选出3个 和2个1，
第二种是 中选出4个 和1个 ，
所以展开式中含有 项有 和 ，
所以 项的系数为 ,
故答案为：B
例题3．（2022·山东滨州·山东省北镇中学校考模拟预测）已知
，则 的值为___________.
【答案】【详解】令 ，
由 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
例题4．（2022·陕西宝鸡·宝鸡中学校考模拟预测） 的展开式中 的系数是
___________（用数字作答）
【答案】
【详解】
展开式通项为： ； 展开式通项为： ；
则当 ， 时， 的系数为 ；当 ， 时， 的系数为
；当 ， 时， 的系数为 ；当
， 时， 的系数为 ；
的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
【提分秘籍】
二项式定理中，三项展开式中具体某项，两个式子相乘展开式中具体某项是考试的重点，
通项公式是重要解题工具.
【变式演练】
1．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测） 的展开式中，一次项的系数与
常数项之和为（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36【答案】D
【详解】因为 的通项公式为 ，
所以 的展开式中，一次项的系数为 ，
常数项为 ，
所以一次项的系数与常数项之和为 ，
故选：D
2．（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知
，则 （ ）
A．280 B．35 C． D．
【答案】A
【详解】 ，
令 ，则
，
展开式的通项为： ，
令 ，可得 ，所以 .
故选：A.
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知 的展开式中常数项为
121，则实数 ___________.
【答案】
【详解】由题意可知，二项式 的展开通项
当 时，此时的常数项为 ；当 时，此时的常数项为
所以，展开式中的常数项为 ，解得 .
故答案为：
4．（2022·广东广州·统考一模）已知 的展开式中 的系数是20，则实数
__________.
【答案】2
【详解】解：因为
则展开式中 的系数是 ，求得 .
故答案为：2.
5．（2022·河南安阳·模拟预测）已知 的展开式中只有第4项的二项式系数
最大，且所有项的系数和为1，则展开式中 的系数为___________．
【答案】240
【详解】因 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则 ，其所有项的系
数和为 ，
而 ，解得 ，则有 展开式的通项为
，
由 得 ，于是得展开式中 项为 ，
所以展开式中 的系数为240.
故答案为：240
题型九：古典概型
【典例分析】例题1．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）某校为落实“双减”
政策；在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟
参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的
选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】四个同学，四个不同的项目，所有可能的方案数为：
恰有两人参加同一活动的方案根据分布计数原理：
第一步，从四名同学中选两人安排一个项目；
第二部，剩下的两名同学各安排一个项目
则
所以恰有两人参加同一活动的概率为：
故选：C
例题2．（2022·全国·模拟预测）2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于
当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.
入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场） 、下届2026年
冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入
场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出
场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、
北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出
场的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可
能的出场顺序有 种，
其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有 种 ,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为 ，
故选：B
例题3．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5
个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从中任意舀取4个汤圆，则每种汤
圆都至少取到1个的概率为___________.（用分数作答）
【答案】
【详解】每种汤圆都至少取到1个的包括2个芝麻馅，1个花生馅，1个豆沙馅；1个芝麻
馅，2个花生馅，1个豆沙馅
以及1个芝麻馅，1个花生馅，2个豆沙馅，故每种汤圆都至少取到1个的概率为
.
故答案为： .
例题4．（2022·山东聊城·统考一模）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京
和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩
墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从
这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有
“雪容融”邮票的概率为___________.
【答案】
【详解】3张邮票中有1张“冰墩墩”邮票和2张“雪容融”邮票的情况有 种，
有2张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票的情况有 种，
有1张“冰墩墩”邮票和1张“雪容融”邮票和1张其他邮票的情况有 种，
3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为 .
故答案为： .
【提分秘籍】一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本
点，则定义事件 的概率 .
其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数．
【变式演练】
1．（2022·山东烟台·统考三模）屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义
文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》、《九歌》、《九
章》、《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四
诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读
《离骚》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为
故选：C
2．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）李生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年
提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得 是素数，素数对 称
为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在
无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能
组成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：
，，
共有15对，它们等可能，其中 是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个
数是12，
所以不能组成孪生素数的概率为 .
故选：C
3．（2022·上海·统考模拟预测）小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，
每份是1分的正整数倍），若这三个红包被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分
钱的概率为________．
【答案】
【详解】将1毛钱按10个1分排成一列，有9个空，
任选2个空插入隔板可将1毛钱分成三份的种数有 种，
甲抢到5分钱，则乙丙抢到余下两份有 共4种，
所以1毛钱分成三份，甲抢到5分钱的概率为 ，
故答案为：
4．（2022·上海徐汇·统考二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学
宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则
4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
【答案】
【详解】4个人分配到4个学校的情况总数为 种，4个人恰好分配到4个学校的情况为
种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有 种，所以4人中至少
有2人选择到同一所学校的概率是 .
故答案为： .题型十：条件概率
【典例分析】
例题1．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）“双减”政策落实下倡导学
生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰
球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率
均为 ，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记事件 为“至少有两人选择花样滑冰”，事件 为“甲同学选择花样滑冰
则”，
， ，
所以， ．
故选：D.
例题2．（2022·北京东城·统考三模）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两
针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全
程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（
）
A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216
【答案】A
【详解】解：设事件 为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件 为抽取的一人完成加
强免疫接种，
所以 ， ，
所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为 .
故选：A
例题3．（2022·天津南开·南开中学校考模拟预测）一猎人带着一把猎枪到山里去打
猎，猎枪每次可以装3发子弹，当他遇见一只野兔时，开第一枪命中野兔的概率为0.8，
若第一枪没有命中，猎人开第二枪，命中野兔的概率为0.4，若第二枪也没有命中，猎人
开第三枪，命中野兔的概率为0.2，若3发子弹都没打中，野兔就逃跑了，则已知野兔被
击中的条件下，是猎人开第二枪命中的概率为__________.
【答案】
【详解】记事件 “猎人第一次击中野兔”， “猎人第二次击中野兔”， “猎人
第三次击中野兔”， “野兔被击中”，
则 ，
，
，
故答案为： ．
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）李华应聘一家上市公司，
规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试.李华可以
答对这10道题目中的6道题.若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为
_________.
【答案】 .
【详解】设事件 为“李华进入面试”，事件 为“李华答对第一道题”，则
， ，所以 .
故答案为： .
【提分秘籍】一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为
在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
【变式演练】
1．（2022·江西·校联考二模）有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服
务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志
愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在
甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】用事件A表示“甲被安排到了冰壶”，B表示“乙被安排到了冰壶”，
在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A发生的条件下，事件B发
生，
相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，
包含的样本点数 ，
事件A发生的样本点数 ，
所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为 .
故选：A
2．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）有四位同学参加校园文化活动，
活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所
报选项各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记事件 “4名同学所报选项各不相同”，事件 “已知甲同学报的项目其他同学不报”，
， ， .
故选：C.
3．（2022·湖南·校联考模拟预测）某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科
目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动
的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，
则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好
以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中
目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条
件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.
【答案】
【详解】记事件 ：“李好第一枪击中目标”，事件 ：“李好第二枪击中目标”，事件
：“李好第三枪击中目标”，事件 ：“目标被击中”，则
，
， .
故答案为：
题型十一：正态分布
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）2012年国家开始实施法定
节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该
站近几天车辆通行数量 ，若 ，则当
时下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因 ，且 ，则有 ，即
，
不等式 为： ，则 ， ，
所以 ， ，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
例题2．（2022·江苏扬州·统考模拟预测）山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉
㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：
）服从正态分布 ，则直径在 ]内的概率为（ ）
附：若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： ，
故
，
故烟台苹果直径在 ]内的概率为 ，
故选：C
例题3．（2022·河北·校联考模拟预测）已知随机变量 服从正态分布 ，且
，则 ___________.（附：若 ，则
， ，
）
【答案】0.00135
【详解】又 ，则 ，随机变量 服从正态分布 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ， ，即
，
所以 ，所以 .
故答案为：0.00135.
例题4．（2022·广东汕头·统考三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门
选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生
物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为 ， ， ，
， 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式
进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这
4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分 服从正
态分布 ．若 ，令 ，则 ．请解决下列问题：若以
此次高一学生化学学科原始分 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分
大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若 ， ．
【答案】59.9
【详解】因为 ，由 可得
，又 ，根据正态分布的对称性可知 ，由题意可知划线分大约为
59.9.
故答案为：59.9
【提分秘籍】
假设 ，可以证明：对给定的
是一个只与 有关的定值.
特别地， ，
，
.上述结果可用右图表示.
【变式演练】
1．（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知随机变量 服从正态分布 ，若函数
是偶函数，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为函数 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：C
2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知两个随机变量X，Y，其中
， （σ>0），若E(X)=E(Y)，且 ，则
（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1
【答案】A
【详解】由题设 ，即 ，
又 ，故 .
故选：A
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）为了监控某种食品的生产包装过程，检验
员每天从生产线上随机抽取 包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产
经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布 .假设生产状态正常，记
表示每天抽取的k包食品中其质量在 之外的包数，若 的数学期望
，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布 ，则 .
【答案】19
【详解】依题意 ，所以在 之外的概率
，则 ，则 ，因为 ，所以
，解得 ，因为 ，所以 的最小值为 .
故答案为：19.
4．（2022·河南·校联考模拟预测）若随机变量 的数学期望和方差分别为 ， ，
则对于任意 ，不等式 成立．某次考试满分150分，共有1200
名学生参加考试，全体学生的成绩 ～N（90，62），则分数不低于110分的学生不超过
______人．
【答案】54
【详解】由题意可知，取 ，则 ，
所以分数不低于110分的学生不超过 人．
故答案为：54.
题型十二：均值和方差
【典例分析】
例题1．（2022·山东济南·统考二模）已知数据 ， ， ，…， 的平均数为4，方
差为2，则数据 ， ， ，…， 的平均数与方差的和为
（ ）
A．6 B．15 C．19 D．22
【答案】C
【详解】由题 ，
则 ， ，所以 .
故选：C.
例题2．（2022·广西桂林·校联考模拟预测）设 ．随机变量 的分布列是
0 1
则当 在 内增大时，（ ）
A． 不变 B． 减小 C． 先增大后减小 D． 先减小
后增大
【答案】D
【详解】 ，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
例题3．（2022·全国·清华附中朝阳学校校考模拟预测）随机变量 的分布列如下表所
示，则方差 的取值范围是_________.
0 1 2
【答案】【详解】由题意可知， ，则 ， ，
故随机变量 的数学期望 ，
从而 ，
因为 ，
所以由二次函数性质可知， ，
故方差 的取值范围是 .
例题4．（2022·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）某人共有三发子弹，他射
击一次命中目标的概率是 ，击中目标后射击停止，射击次数 为随机变量，则方差
______．
【答案】
【详解】由题意知： ，2，3，
， ， ，
∴ 的分布列为：
1 2 3
∴ ， ，
∴ .故答案为： .
【提分秘籍】
离散型随机变量的分布列
… …
… …
均值 ；方差：
【变式演练】
1．（2022·浙江·校联考模拟预测）设随机变量 ， 满足： ， ，若
，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】由于随机变量 满足： ， ，
，
解得： ，即
，
又 随机变量 ， 满足： ，
，故选：C.
2．（2022·四川内江·统考模拟预测）随机变量 的分布列如表所示，若 ，则
（ ）
0 1
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【详解】
由随机变量X的分布列得：
，解得 ，
，
故选：C．
3．（2022·山东淄博·统考三模）设随机变量 ，满足 ．若
，则 _____．
【答案】 ##1.5
【详解】由 ，故 ，则 ，所以 ，则 ，而 ，
则 .
故答案为：
4．（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）已知随机变量 ，若 最大，
则 ______．
【答案】24
【详解】由题意知： ，要使 最大，有
，
化简得 ，解得 ，故 ，又 ，
故 .
故答案为：24.
1．（2022·上海宝山·统考一模）某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生
人数比为 ，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高
三年级应该抽取（ ）人.
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】A
【详解】设高一学生数为 ，则高二学生数为 ，高三学生数为 .所以，该高中共有学生数为 ，解得 .
用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为 ，
所以，高三年级应该抽取 人.
故选：A.
2．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均增加
0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 最小的原理；
③已知 ， 是两个分类变量，若它们的随机变量 的观测值 越大，则“ 与 有关
系”的把握程度越小；
④在一组样本数据 ， ，…， （ ， ， ，…， 不全相等）
的散点图中，若所有样本 都在直线 上，则这组样本数据的线
性相关系数为 .
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】对于①，在回归直线方程 中， 当解释变量 每增加一个单位时,
预报变量 平均增加 0.8个单位，故①正确；
对于②，用离差的平方和，即: 作为总离差, 并使之达到
最小；这样回归直线就是所有直线中 取最小值的那一条。由于平方又叫二乘方, 所以这
种使 “离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法；所以利用最小二乘法求回归直线方
程，就是使得 最小的原理；故②正确；
对于③，对分类变量 与 , 对它们的随机变量 的观测值 来说， 越小，则“与 有 关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，相关系数反映的是两变量之间线性相关程度的强弱，与回归直线斜率无关，题中
样本数据的线性相关系数为 , 故④错误.
故选：B.
3．（2022·山东聊城·统考一模）根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到
.依据 的独立性检验 ，结论为（ ）
A．变量 与 不独立
B．变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量 与 独立
D．变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当 ，我们可以下结论变量 与
独立.故排除选项A,B;
依据 的独立性检验 ，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量 与 独
立，这个结论犯错误的概率不超过 ”这个结论.故C正确，D错误.
故选：C
4．（2022·安徽·校联考二模）为落实疫情防控“动态清零”总方针和“四早”要求，有效
应对奥密克戎变异株传播风险，确保正常生活和生产秩序，某企业决定于每周的周二、周
五各做一次抽检核酸检测.已知该企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从
中抽取3名工人参加核酸检测.设该小组在一周内的两次抽检中共有 名不同的工人被抽
中，下列结论不正确的是（ ）
A．该小组中的工人甲一周内被选中两次的概率为
B．
C．该小组中的工人甲一周内至少被选中一次的概率为D．
【答案】B
【详解】依题意每次抽取，工人甲被抽到的概率 ，所以工人甲一周内被选中两
次的概率为 ，故A正确；
依题意 的可能取值为 ，则 ，意味着第一次从6人中选中的3人，第二次仍然
为这3人，则 ，
同理可得： ，所以 ，故B错误；
对于 ，工人甲一周内两次均未被选中的概率为 ，
所以工人甲一周内至少被选中一次的概率为 ，故 正确；
，意味着第一次先从6人中选中3人，第二次抽到的3人中，含有第一次抽到的3人
中的2人，另外一人从没有抽到的3人中抽取，
故概率为： ，
同理可得： ，
所以 ，故D正确.
故选：B.
5．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演
义》、《红楼梦》、《水浒传》、《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》、
《老人与海》两本外国名著中选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本
书选择相同的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙均有 种情
况，
若两本相同书目均为中国名著，则从4本中国名著中选择两本，有 种选择，两本外国名
著，两人进行全排列即可，有情况为 种，
则概率 ；
若两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，则先从4本中国名著中选择1本，两
人均选择了此名著，再从2本外国名著中选择1人，两人均选择了此名著，有 种选
择，
再从剩余的3本中国名著中选择2本不同的名著，即进行部分排列即可，此时有 种选
择，
故共有 种选择，
则概率 ，
所以甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率 .
故选：C ．
6．（2022·湖南·模拟预测） 展开式中 的系数为（ ）
A． B．21 C． D．35
【答案】A
【详解】因为 展开式的通项公式为 ，所以当
时，含有 的项，此时 ，故 的系数为．
故选：A
7．（2022·全国·模拟预测）某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩
的兴趣拓展活动，包含书法､舞蹈､围棋､演讲､武术五项活动，甲同学打算从这五项活动中
随机选三项，则书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中包含这两项活动都
没被选中和这两项活动只有一项被选中这两种情况，所以所求概率 .
解法二：由题可得书法､武术这两项活动中，至多有一项被选中的对立事件为这两项活动都
被选中，所以所求概率 .
故选：C
8．（2022·江苏南京·模拟预测）已知事件 ， ， 相互独立，且
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ，又事件 ， ， 相互独立，
，
，当且仅当
时取等号，
而 ，因此 ，所以 .
故选：B
9．（2022·湖南长沙·统考模拟预测）已知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随
机摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为 ，则 为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】 可能的取值有1，2，3
.
故选：D
10．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪
容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代
科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征
吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给
他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【答案】B
【详解】解：设小华收到的“冰墩墩”的个数为 ，则 .
则 ； ；； .
所以 .
故选：B
二、多选题
11．（2022·湖北·恩施市第一中学校联考模拟预测）将甲､乙､丙､丁4名医生随机派往①，
②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生， 表示事件“医生甲派往①村
庄”； 表示事件“医生乙派往①村庄”； 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 不相互独立
C． D．
【答案】BD
【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有 个基
本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为 ，则 ，同理 ，
事件AB含有的基本事件数为 ，则 ，事件AC含有的基本事件数为
，则 ，
对于A， ，即事件A与B相互不独立，A不正确；
对于B， ，即事件A与C相互不独立，B正确；
对于C， ，C不正确；
对于D， ，D正确.故选：BD
12．（2022·江苏南京·模拟预测）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款
和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款为10元/件，且企业对这款盲盒的零
售定价为 元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对
这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装
并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次.
记X为检验结束时所进行的检验次数，则（ ）
A．
B．
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则
【答案】ABD
【详解】解：对于A，记检测到隐藏款的概率为 ，则
，故正确；
对于B，由题意得 的分布列为
且 ；
记 ,
则 ，
两式相减得
，
所以，故正确
对于C，没有抽到隐藏品的概率为 ，他抽到隐藏款的概率为 ，
故错误，
对于D，设总共有 件盲盒，则成本为 元，则定价
才能保证获利，故正确
故选：ABD
三、填空题
13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板
制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色
给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块
不同色，则不同的涂色方案有______种.
【答案】
【详解】由题意，一共4种颜色，板块 需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一
种颜色.
又板块 两两有公共边不能同色，故板块 必定涂不同颜色.
①当板块 与板块 同色时，则板块 与板块 或板块 分别同色，共2种情况；②当板块 与板块 同色时，则板块 只能与 同色，板块 只能与 同色，共1种情况.
又板块 颜色可排列，故共 种.
故答案为：
14．（2022·江西赣州·统考二模）用模型 拟合一组数据 ，若
， ，设 ，得变换后的线性回归方程为
，则ak=___________.
【答案】
【详解】由题意得 ，因为
在回归直线 上，所以 ，由 得 与
比较得： ，a .
故答案为： .
四、双空题
15．（2022·山东淄博·统考三模）已知我国某省二、三、四线城市数量之比为 ．
年 月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为 万元/平方米，方差为 ．其
中三、四线城市的房产均价分别为 万元/平方米， 万元/平方米，三、四线城市房价的
方差分别为 ，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为
________
【答案】
【详解】设二线城市房产均价为 ，方差为 ，
因为二、三、四线城市数量之比为 ，二、三、四线城市房产均价为 万元/平方米，
三、四线城市的房产均价分别为 万元/平方米， 万元/平方米，
所以 ，
解得 （万元/平方米），
由题意可得 ，解得 ，
故答案为：2；29.9.
16．（2022·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）用数字1，2，3，4，5给3名男生和2
名女生随机地编学号，则男生和女生的学号都不相邻的编法有_________种（用数字作
答）；记随机变量 ，其中X，Y分别为男生、女生的学号之和，则随机变量 的
数学期望 _________．
【答案】 12 3
【详解】由已知男生的编号为1，3，5，女生的编号为2，4，
用1，3，5给男生编号有 种编号方法，用2，4给女生编号有 种编号方法，
所以满足条件的编号方法有 种，
由已知随机变量 的取值有 ，
， ， ，
， ， ， ，
所以 ，
故答案为：12；3
17．（2022·浙江湖州·校联考模拟预测）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，
其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连
续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球
中白球可能被取到的个数为 ，则随机变量 的期望为_____________．
【答案】 ##1.2
【详解】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率
，由题意， 的可能值为 ，则 ， ，
，
所以 .
故答案为： ， .
18．（2022·浙江·校联考模拟预测）已知甲口袋中有3个白球，2个黑球，乙口袋中有1个
白球，3个黑球，分别从两个口袋中各取两个球，X表示从甲口袋中取出的白球数，Y表示
从乙口袋中取出的黑球数， 表示两口袋中取出的球放在一起时的黑球数，则
_________； ___________．
【答案】 2.7## 0.61##
【详解】由题， , , ，
， ；
故 ， ，
， ，故 的分布列：
1 2 3 4
P
所以
又从甲口袋中取出的黑球数为 ，同理可得 分布列：
0 1 2P
同理 的分布列
1 2 3 4
P
所以
故答案为：2.7；
