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第 4 讲 统计与概率综合解答题
目录
重难点题型突破
突破一：频率分布直方图与概率统计
突破二：线性回归与非线性回归
突破三：概率综合题
突破四：概率统计与数列交汇
突破五：概率统计与导数交汇
突破一：频率分布直方图与概率统计
1．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，
顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了200名学
生的数学成绩，将成绩分为 ， ， ， ， ， ，共6组，得到如图
所示的频率分布直方图，记分数不低于90分为优秀．
(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在 内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3
名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
【详解】（1）依题意，得 ，解得 ，
则不低于70分的人数为 ，成绩在 内的，即优秀的人数为 ；
故这名学生成绩是优秀的概率为 ；
（2）成绩在 内的有 （人）；
成绩在 内的有 （人）；成绩在 内的有 人；
故采用分层抽样抽取的13名学生中，成绩在 内的有6人，在 内的有5人，在 内的
有2人，
所以由题可知，X的可能取值为0，1，2，
则 ， ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
故 ．
2．（2022·云南云南·模拟预测）足球运动，最早的起源在中国.在春秋战国时期，就出现了“蹴鞠”或名
“塌鞠”某足球俱乐部随机调查了该地区100位足球爱好者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区足球爱好者的平均年龄：（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)估计该地区足球爱好者年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区足球爱好者占比为 ，该地区年龄位于区间 的人口数占该地区总人口数的 ，
从该地区任选1人，若此人的年龄位于区间 ，求此人是足球爱好者的概率.
【答案】(1) 岁
(2)0.48(3)
【详解】（1）估计该地区足球爱好者的平均年龄
岁.
（2）由题图，得该地区足球爱好者年龄位于区间 的频率为
，
用频率估计概率，故足球爱好者年龄位于区间 概率为0.48.
（3）记事件A为：“任选一人，年龄位于区间 ”，事件B为：“任选一人是足球爱好者”，由条件
概率公式可得： .
3．（2022·北京育才学校模拟预测）在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种
职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业
病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计
图：
(1)求样本中患病者的人数和图中 ， 的值；
(2)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；
(3)某研究机构提出，可以选取常数 （ ），若一名从业者该项身体指标检测值大于 ，
则判断其患有这种职业病；若检测值小于 ，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业
者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的 的值及相应的概率（只需写
出结论）.
【答案】(1)样本患病人数为 人， ， ；
(2) ；
(3) ，误判概率为 .
（1）
由题设，患病者与未患病者的比例为 ，故患者人数为 人；由直方图知： ，可得 ，
，可得 .
（2）
由题意，指标检测值为4的未患病者有 人，
指标检测值为4的患病者有 人；
所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率 .
（3）
若 为未患病者， 为患病者， 为体指标检测值为 者，
所以100名样本中， ， ，
未患病者 6 21 15 9 6 3
患病者 0 0 4 8 12 16
当 时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为 ；
当 时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为 ；
当 时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为 ；
当 时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为 ；
当 时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为 ；
综上，当 时误判概率最小为 .
4．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））某市高一招生，对初中毕业学生进行体育测试，是激发
学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．该市2022年初中毕业升学体育考试
规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳等三项测试，三项考试总分为50分，其中立定跳远
15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．该市一初中学校为了在初三上学期开始时掌握全年级学生每分
钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到每段人数的频率分布直方图（如图），且规定计分
规则如表：每分钟跳绳个数
得分 17 18 19 20
若该初中学校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布 ，用样本数据的平均值和方差估计总
体的期望和方差，已知样本方差 （各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该初中学校初三年
级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟
跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
(1)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
(2)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为 ，求随机变量 的
分布列和期望．附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1)1683
(2)分布列见解析，1.5
（1）
又 所以正式测试时， ．
（人）
（2）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
即 ，
的分布列为．
0 1 2 3
0.125 0.375 0.375 0.125
所以，
5．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每
日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过40岁的市民恰好有1000名），利用
手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为 ， ， ， ， ，
， ， ， 九组（单位：千步），将抽取的不超过40岁的市民的样本数据绘制成
频率分布直方图如右，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估
计总体的概率分布.
分组
（单位：千
步）
频数 10 20 20 30 400 200 200 100 20
（1）现规定，日健步步数不低于13000步的为“健步达人”，填写下面列联表，并根据列联表判断能否有
％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关；
健步达人 非健步达人 总计
40岁以上的市民
不超过40岁的市民
总计
（2）（ⅰ）利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数（单位：千步）的平均数和
中位数；
（ⅱ）由频率分布直方图可以认为，不超过40岁的市民日健步步数 （单位：千步）近似地服从正态分布
，其中 近似为样本平均数 （每组数据取区间的中点值）， 的值已求出约为 .现从该市不
超过40岁的市民中随机抽取5人，记其中日健步步数 位于 的人数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 .
参考数据：若 ，则 ， .
【答案】（1）填表见解析；有 ％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关（2）（ⅰ）平均数为
，中位数为 （ⅱ）
【详解】（1）列联表为
健步达人 非健步达人 总计
40岁以上的市民 520 480 1000
不超过40岁的市民 400 600 1000
总计 920 1080 2000
，
所以有 ％的把握认为是否为“健步达人”与年龄有关.
（2）（ⅰ）样本平均数为
由前4组的频率之和为 ，
前5组的频率之和为 ，
知样本中位数落在第5组，设样本中位数为 ，则 ，∴ .
故可以估计：该市不超过40岁的市民日健步步数的平均数为 ，中位数为 .
（ⅱ） ，
而
，
∴ ，
∴ 的数学期望为 .
6．（2022·全国·模拟预测）从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年
轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200
人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在 内），并按照 ， ， ， ，
分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.年龄/岁
频数 10 60 50 45 35
(1)估计粉丝年龄的平均数 及游客年龄的中位数 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年
龄在 内的人数为 ，求 的分布列与期望.
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析，数学期望
【详解】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知 ，
由游客年龄频数分布表知 ，
所以 ，解得 .
（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，该粉丝年龄在 内的概率为 ，
从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，该游客年龄在 内的概率为 ，
由题可得 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为0 1 2 3 4
.
突破二：线性回归与非线性回归
1．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方
式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，
研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．
年龄
频数 30 75 105 60 30
持支持态度 24 66 90 42 18
(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
年龄在50周岁以上（含50周
年龄在50周岁以下 总计
岁）
持支持态度
不持支持态度
总计
(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记
X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；
(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间
的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法
求y与x的回归直线方程 ．
i 1 2 3 4 5 6 7
第 天 2 4 8 12 22 26 38
使用人数
参考数据： ， ．
0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828
参考公式： ， ， ．
【答案】(1)表格见解析，有
(2)分布列见解析，
(3) ．
【详解】（1）完成列联表如下：
年龄在50周岁以上（含50周
年龄在50周岁以下 总计
岁）
持支持态度 60 180 240
不持支持态度 30 30 60
总计 90 210 300
故本次实验中 的观测值 ，
故有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
（2）依题意， ，
故 ， ，
， ，
；
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
故 ；（3）依题意， ， ，由 得 ，
，
所以 ．
故y关于x的线性回归方程是 ．
2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，
研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗
体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用x表示注射疫苗后的天数，y表示人体中抗
体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.
天数x 1 2 3 4 5 6
抗体含量水平y 5 10 26 50 96 195
根据以上数据，绘制了散点图.
(1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关
系的回归方程类型？（给出到断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水
平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取3天的数据作进一步的分析，求其中的y值小于50的天数
X的分布列及数学期望.
参考数据：其中 .
3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87参考公式：； ， .
【答案】(1) 更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型
(2) ，该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为 miu/mL
(3)分布列见解析，
【详解】（1）根据散点图判断， 更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型.
理由：方程 表示的是直线，而方程 表示的是曲线，散点图表示的是曲线.
（2） ， ，
设 ，则有 ，
， ，
，所以y关于x的回归方程为 .
当 时， ，
则该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为 miu/mL.
（3）由表中数据可知，前三天的 值小于50，故 的可能取值为0，1，2，3.
， ， ， ，
故 的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望 .
3．（2022·福建·三明一中模拟预测）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一
代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表
年份 2017 2018 2019 2020 2021
编号x 1 2 3 4 5
企业总数量y（单位：千个） 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224(1)根据表中数据判断， 与 （其中 …为自然对数的底数），哪一个回归方程类型
适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y
关于x的回归方程；
(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区
块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参
加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公
司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙
胜丙的概率为 ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据： ， ， ， （其中 ）．
附：样本 的最小二乘法估计公式为 ， ．
【答案】(1) 适宜； (2)
（1）根据表中数据 适宜预测未来几年我国区块链企业总数量．
∵ ，∴ ，
令 ，则 ，
,
，
由公式计算可知
∴ ，即 .
（2）设事件 “甲公司获得“优胜公司””，事件 “在一场比赛中，甲胜乙”，
事件 “在一场比赛中，甲胜丙”，事件 “在一场比赛中，乙胜丙”，
则 ，因为 两两独立， 两两互斥，
由概率的加法公式与乘法公式得
，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为 ．
4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为有效防控疫情，于2021年9月开始，多省份相继启动新冠疫苗加
强免疫接种工作．新冠疫苗接种一段时间后，有保护效果削弱的情况存在，加强针的接种则会使这种下降
出现“强势反弹”．研究结果显示，接种加强针以后，受种者的抗体水平将大幅提升，加强免疫14天后，
抗体水平相当于原来10-30倍，6个月后，能维持在较高水平，并且对德尔塔等变异株出现良好交叉中和作
用．某市开展加强免疫接种工作以来，在某一周的接种人数（单位：万人）如下表所示：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
接种人
1.7 1.9 2.1 2.3 2.4 2.5 a
数
规定星期一为第1天，设天数为 ，当日接种人数为y．
(1)若y关于 具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)根据所求的线性回归方程分别计算星期五，星期六的预报值y，并与当日接种人数的真实值y进行比
较．若满足 ，则可用此回归方程预测以后的接种人数，并预测星期日的接种人数a；若不满
足，请说明理由．
参考公式： ．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
(1)
.
所以.
所以 .
所以y关于x的线性回归方程为 .
(2)
当 时， ，所以 成立；
当 时， ，所以 不成立.
所以此回归方程不可以预测以后的接种人数，也不能用来预测星期日的接种人数a.
5．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）自1980年以来我国逢整十年进行一次人口普查，总人口等指标
与年份如下表所示：
指标 1980 1990 2000 2010 2020
年份数 1 2 3 4 5
总人口
9.8 11.3 12.6 13.4 14.1
（亿）
(1)建立总人口 关于年份数 的回归直线方程.
(2)某市某街道青年人（15-35岁）､中年人（36-64岁）与老年人（65岁及以上）比例约为 ，为了比
较中青年人与老年人购物方式，街道工作人员按比例随机调查了120位居民，购物方式统计如下表.
实体店购物 网上购物 电视购物 其它
青年人 15 35 4
中年人 15 8 2
老年人 2 2 1
将实体店购物视作传统购物方式，网上购物､电视购物和其它方式视作新兴购物方式.根据所给数据，补充
上表并完成下面的 列联表：
传统购物方式 新兴购物方式 总计
中青年人（15-
64岁）
老年人（65岁
及以上）总计
并请判断是否有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关？
参考公式： ， . ，其中
.参考数据： ，
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)列联表见解析；有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关
(1)由题意得： ，
故 ，
则 ，
故总人口 关于年份数 的回归直线方程为 ；
(2)由题意可得列联表如下：
传统购物方式 新兴购物方式 总计
中青年人（15-
30 70 100
64岁）
老年人（65岁及
15 5 20
以上）
总计 45 75 120
故 ，
结合临界值表可知有99.9%的把握认为该街道居民购物方式与其是否为老年人有关.
6．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））为了构筑“绿色长城”，我国开展广泛的全民义务植树活动，
有力推动了生态状况的改善.森林植被状况的改善，不仅美化了家园，减轻了水土流失和风沙对农田的危
害，而且还有效提高了森林生态系统的储碳能力.某地区统计了2011年到2020年十年中每年人工植树成活数 （ ，2，3，…，10）（单位：千棵），用年份代码 （ ，2，3，…，10）表示2011年，2012
年，2013年，…，2020年，得到下面的散点图：
对数据进行回归分析发现，有两个不同的回归模型可以选择，模型一： ，模型二； ，其
中 是自然对数的底数.
(1)根据散点图，判断所给哪个模型更适宜作为每年人工植树成活数y与年份代码x相关关系的回归分析模
型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）中选定的模型，求出y关于x的回归方程；
(3)利用（2）中所求回归方程，预测从哪一年开始每年人工植树成活棵数能够超过5万棵？
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计
公式分别为： ， .参考数据： ， ， ，设
（ ，2，3，…，10）， ， ， ， .
【答案】(1)模型二
(2)
(3) 年
（1）根据散点图可知，呈指数式增长，故应选模型二 ，其中 是自然对数的底数；
（2）由已知 得，两边同时取对数可得 ，
令 ，则 ，由 ， ， ， 可知，
，
，
∴ ，∴ ；
（3）令 ，即 ，
解得 ，预测从 年开始人工植树成活棵树能超过 万棵.
7．（2022·江西·模拟预测（文）） 和 时代，我们的听觉得以延伸，掏出手机拨通电话，地球另一头
的声音近在咫尺．到了 时代，我们的视觉也开始同步延伸，视频通话随时随地，一个手机像一个小小
窗口，面对面轻声闲聊，天涯若比邻. 时代，我们的思想和观念得以延伸，随时的灵感随时传上网，随
手的视频随手拍和发，全球同步可读可转可评，个人的思想和观点能够在全球的信息网络中延伸、保存、
碰撞、交流，微博、微信、抖音等等这些我们生活中极其常见的社交网络正是延伸与交流之所．现在，
的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持， 业务收入在短
期内逐月攀升，该创新公司在 月份至 月份的 业务收入 （单位：百万元）关于月份 的数据如下表
所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
(1)从前 个月的收入中随机抽取 个，求恰有 个月的收入超过 百万元的概率；
(2)根据散点图判断： 与 （ 均为常数）哪一个更适宜作为 业务收入 关于月份
的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(3)根据（2）的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程．（结果保留小数点后两位）
参考数据：其中，设 ， ．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为 ， ．
【答案】(1)
(2)选择 更适宜
(3)
【详解】（1）由表格数据可知：前 个月的月收入超过 百万元的有 个月，
所求概率 .
（2）由散点图可知：选择 更适宜.
（3）由 得： ，即 ，
， ，
， 关于 的回归方程为： .
8．（2022·安徽省含山中学三模（文））2020年新冠肺炎疫情突如其来，在党中央的号召下，应对疫情，
我国采取特殊的就业政策、经济政策很好地稳住了经济社会发展大局．在全世界范围内，我国疫情控制效
果最好，经济复苏最快．某汽车销售公司2021年经济收入在短期内逐月攀升，该公司在第1月份至6月份
的销售收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图所示．(1)根据散点图判断， 与 （a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为该公司销售收入y关于
月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的销售收入．（结果近似
到小数点后第二位）
参考数据：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的解率
和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， ．
【答案】(1)用 表示更合适
(2) ，95.58百万元
（1）
解： ，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用 表示
更合适；
（2）
解：由 ，得 ，
设 ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
即 ，则回归方程为 ，
预测该公司8月份的销售收入 百万元．
突破三：概率综合题
1．（2022·湖北·黄冈中学三模）2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举
行．近年来，乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛
采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验， 甲、乙在一局比赛获胜的概
率分别为 、 ，且每局比赛相互独立．
(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；
(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与
2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直
接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取
球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）记事件 :“甲在第 局比赛中获胜”， ，事件 :“甲在第 局比赛中末胜” .
.记事件 “甲夺得冠军"，
则 .
（2）设甲乙决出冠军共进行了 局比赛，易知 或 .
则 ，故 .
记 表示第 局从白盒中抽取的白色球， 表示第 局从黄盒中抽取的黄色球，
的所有可能取值为 ;;
;
.
综上可得， 的分布列如下:
X 1 2 3
数学期望为
2．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实
践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能
获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行
了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分
（百分制），制成如下表格：
分段 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
人数 5 10 a 30 a+5 10
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学
校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为 ，每次考实践操作合格的
概率均为 ，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考
试的次数的期望不低于2.5次，求 的取值范围.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②
(2)
（1）
①由题意得： ，解得： ，，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的[40，50)的学生为 ， [50，60)的学生为 ， [60，70)的学生为 ，
这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有
，
，
共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有 ，共6种情况，
所以这2人均来自[60，70)的概率为 .
（2）
小明考试的次数为2次的概率为 ，
考试次数为3次的概率为 ，
考试次数为4次的概率为 ，
考试次数的期望值为 ，
所以 ，解得： ，
因为 ，所以
即 的取值范围是 .
3．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，
在实际演习中空对空导弹的命中率约为 ，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空
对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同．在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空
导弹命中蓝方战机的概率分别为 和 ，两名飞行员各携带4枚空对空导弹．
(1)甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻
击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？
(2)蓝方机群共有8架战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，
甲，乙不同时攻击同一架战机）．
①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为 ，求 的分布列；②若实施两轮攻击（用完携带的导弹），记命中蓝方战机数为 ，求 的数学期望 ．
【答案】(1)
(2)①分布列见解析；②数学期望为 .
(1)
设甲、乙两名飞行员发射的第 枚导弹命中对方战机分别为事件 ， ，则 ， ．
设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件 ，则 ，所以
所以
(2)
解：①依题意 的可能取值为 ，1，2，3，4，
则 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
②记两轮攻击中：甲命中战机数为 ，则 ，
乙命中战机数为 ，则 ，
所以 ．4．（2022·福建泉州·模拟预测）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激
烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重
要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的
概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
等级 A B
询单转化
[70%，90%） [50%，70%）
率
人数 6 4
视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在
网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，
网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级
客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么
范围？
【答案】(1)
(2)
（1）
依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为 ，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为 ，
故 ；
（2）
设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为 ，
所以 ，则 ，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为 ，所以改革前日均成交人数为 ，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为 ，
所以 ，则 ，
故改革后日均成交人数为 ，
由 得： ，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为 ，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为
，
则 ，解得： ，②
由①②得： ，所以a应该控制在
5．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏
中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于 次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，
小明、小亮投篮投进的概率分别为 .
（1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；
（2）若 则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为 次，则理论上至少要进行多少
轮游戏才行？并求此时 的值.
【答案】（1） ；（2）理论上至少要进行 轮游戏. .
【详解】（1）由题可知，所以可能的情况有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中
1次；③小明投中2次，小亮投中2次.
故所求概率
（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为
因为
，所以
因为 ， ， ，所以 ， ，又所以 ，令 ，以 ，则
当 时， ，他们小组在 轮游戏中获“优秀小组”次数 满足
由 ，则 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.此时 ， ，
6．（2022·全国·模拟预测）若某项赛事有16个队伍参加，分成4个小组，记为1，2，3，4组，每个小组
有1个一档球队，记为A，1个二档球队，记为B，2个三档球队，分别记为C，D．一档队伍胜三档队伍
的概率为 ，二档队伍胜三档队伍的概率为 ，一档队伍胜二档队伍的概率为 ，同档队伍之间比赛胜对
方的概率为 ．比赛采取单场淘汰制，胜者进入下一轮，直至进入决赛决出冠军，对阵关系图如下所示，
第一轮一、二档球队都是对阵三档球队．
(1)分别求一、二、三档球队从小组胜出的概率；
(2)已知A1进决赛的概率约为 ，B1进决赛的概率约为 ，求一档球队夺冠的概率．
【答案】(1) ， ，
(2)
【详解】（1）由对阵关系图可得，在一个小组中，一档球队A从小组胜出先要赢三档球队C，概率为 ，
再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，A胜出的概率为 ，
若D胜，A胜出的概率为 ，所以一档球队从小组胜出的概率为 ．
二档球队B从小组胜出先要赢三档球队D，概率为 ，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，B胜出的概率为 ，
若C胜，B胜出的概率为 ，
所以二档球队从小组胜出的概率为 ．
三档球队C从小组胜出先要赢一档球队A，概率为 ，再赢B和D比赛的胜者，
若B胜，C胜出的概率为 ，
若D胜，C胜出的概率为 ，
所以三档球队C从小组胜出的概率为 ；
三档球队D从小组胜出先要赢二档球队B，概率为 ，再赢A和C比赛的胜者，
若A胜，D胜出的概率为 ，
若C胜，D胜出的概率为 ，
所以三档球队D从小组胜出的概率为 ．
所以三档球队从小组胜出的概率为 ．
（2）由题可得A1进决赛的概率为 ，所以A2进决赛的概率也为 ，（关键：由对阵关系图可知每个小组
内的比赛安排都是一样的，所以同档球队进入决赛的概率也相同）
所以对阵关系图左边是一档球队进决赛的概率为 ，
同理对阵关系图左边是二档球队进决赛的概率为 ，
所以对阵关系图左边是三档球队进决赛的概率为 ，
对阵关系图右边的情况一样．现仅考虑A1夺冠的情况，A1要先进决赛，概率为 ，再赢右边进决赛的球队，
若右边是一档球队进决赛，A1胜出的概率为 ，
若右边是二档球队进决赛，A1胜出的概率为 ，
若右边是三档球队进决赛，A1胜出的概率为 ，
所以A1夺冠的概率为 ．
易知A2，A3，A4夺冠的概率和A1一样，所以一档球队夺冠的概率为 ．
7．（2022·全国·模拟预测）某商店计划七月份订购某种饮品，进货成本为每瓶 元，未售出的饮品降价处
理，以每瓶 元的价格当天全部处理完.依经验，零售价与日需求量依据当天的温度而定，当气温
时，零售价为每瓶 元，日需求量为 瓶；当 时，零售价为每瓶 元，日需求量为
瓶；当 时，零售价为每瓶 元，日需求量为 瓶.已知七月份每天气温 的概率为 ，
的概率为 ， 的概率为 .
(1)求七月份这种饮品一天的平均需求量；
(2)若七月份某连续三天每天的气温均不低于 ，求这三天销售这种饮品的总利润的分布列及数学期望.
【答案】(1) 瓶
(2)答案见解析
(1)
解：设七月份这种饮品的日需求量为 ，则 的可能取值有 、 、 ，
由题意知 ， ， ，
所以 ，
故七月份这种饮品一天的平均需求量为 瓶.
(2)
解：因为这三天每天的气温不低于 ，所以这三天这种饮品每天的需求量至多为 瓶，至少为
瓶，
设这三天每天的进货量为 瓶，则 ，
当 时，日利 ；
当 时，日利润 .
由题意知七月份某一天的气温 的概率 ，所以 的概率 ， 的概率 .
设这三天销售这种饮品的总利润为 ，
若这三天的气温都满足 ，则 ， ；
若这三天中有两天的气温满足 ，一天的气温满足 ，
则 ，
；
若这三天中有一天的气温满足 ，两天的气温满足 ，
则 ，
；
若这三天的气温都满足 ，则 ， .
所以 的分布列如下表所示：
故 ，其中 .
8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗
作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相
关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据 ， ，
其中 表示连续用药i天， 表示相应的临床疗效评价指标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标
A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值： ，
， ， ， ，其中
.
(1)试判断 与 哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线
的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不
合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， .
【答案】(1) 适宜，
(2)（i） ；（ii）
（1）
刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故 适宜作为y关于x
的回归方程类型.
令 ，得 ，于是 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，即 ；
（2）
（i）设 “随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，
“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，
则 ， ，
又 ， ，于是
.
（ii） .
突破四：概率统计与数列交汇
1．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性
别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
锻炼
性别
不经
经常
常女生 40 60
男生 20 80
(1)依据 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动
的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能
地将球传给另外两个人中的任何一人.求第 次传球后球在甲手中的概率.
附：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1） ，
故依据 的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200人中随机选择1人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则 ，
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率 ；
（3）设n次传球后球在甲手中的概率为 ， ，
则有 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，其中 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，
故 ，
故第 次传球后球在甲手中的概率为 .
2．（2022·全国·模拟预测）某学校开展投篮活动，活动规则是：每名选手投篮 次（ ， ），每
次投篮，若投进，则下一次站在三分线处投篮；若没有投进，则下一次站在两分线处投篮．规定每名选手
第一次站在两分线处投篮．站在两分线处投进得2分，否则得0分；站在三分线处投进得3分，否则得0
分．已知小明站在两分线处投篮投进的概率为0.7，站在三分线处投篮投进的概率为0.5，且每次投篮相互
独立．
(1)记小明前2次投篮累计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)记第 次投篮时，小明站在三分线处投篮的概率为 ， ，2，…， ，求 的表达式．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(1)
依题意， 的所有可能取值为 ， ， ．
记“小明第 次投篮站在两分线处并且投进”为事件 ， ， ，
“小明第2次投篮站在三分线处并且投进”为事件 ．
；
；
．
所以 的分布列为
所以 ．
(2)
由题意知， ．
当 时，分两种情形：
①若小明第 次投篮站在三分线处，这种情形下小明第 次投篮站在三分线处的概率为 ；②若小明第 次投篮站在两分线处，这种情形下小明第 次投篮站在三分线处的概率为 ．
所以 ，
所以 ，
由题易知 ，
当 时， 也成立，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 ，即 ．
3．（2022·全国·高二单元测试）某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加 （ ，且
）次抽奖，每次中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖
则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案① ：若中奖则得30分，否则得0分；
方案② ：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果 ，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
(2)记顾客甲第i次获得的分数为 ，并且选择方案②．请直接写出 与 的递推关
系式，并求 的值．（精确到0.1，参考数据： ．）
【答案】(1)应选择方案① ，理由见解析；
(2) ，
（1）
若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为 ，则 的可能取值为40，35，10，5．
， ，
， ，
所以 ．
若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为 ，则 的可能取值为30，15，10，则 ， ， ， ，
因为 ，所以应选择方案①．
（2）
依题意得 ，
的可能取值为10，5其分布列为
10 5
P
所以 ，则 ，
由 得 ，
所以 为等比数列．其中首项为 ，公比为 ．
所以 ，故 ．
4．（2022·全国·高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增
多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过
一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概
率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，
如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是 ，择餐厅乙就餐的概率是 ，记某同学第n天选择甲
餐厅就餐的概率为 .
（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）请写出 与 的递推关系；
（3）求数列 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从
20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅
甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析， ；
（2） ；
（3）分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数8人和12人，理由见解析.【详解】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率 ，
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率 ，
位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为 ，则 .
，
的分布列为
0 1 2 3
故 .
（2）依题意， ，即 .
（3）由（2）知 ，则 当 时，可得
，
数列 是首项为 公比为 的等比数列.
，即 .
，
所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为 ，分配到餐厅乙的志愿者人数为 .
5．（2022·全国·高三专题练习（理））某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游
戏，送礼券“的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点
数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累
计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一
份，最多进行20轮游戏．
（1）当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的期望；
（2）若累计得分为i的概率为 ，（初始得分为0分， ）．
①证明数列 ，（i＝1，2，…，19）是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①证明见解析；② ．
【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得1分的概率为 ，获得2分的概率为 ，设进行完3轮游戏时，得
1分的次数为 ，所以 ， ，而 ，即
随机变量X可能取值为3，4，5，6，
， ，
， ．
∴X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
E（X）＝ ＝5．
（2）①证明：n＝1，即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点， ，则
，累计得分为i分的情况有两种：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为 ，
（Ⅱ）累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为 ，
∴ ，∴ ，（i＝2，3，•••，19），∴数列
，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣ ，公比为﹣ 的等比数列．
②∵数列 ，（i＝1，2，…，19）是首项为﹣ ，公比为﹣ 的等比数列，
∴ ，
∴ ， ，•••， ，各式相加，得： ，
∴ ，（i＝1，2，•••，19），
∴活动参与者得到纪念品的概率为：
．
6．（2022·全国·高二期末）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育
“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际
交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开
展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定
点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一
次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲
每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为 ，求 的数学期望；
（2）若经过 轮踢球，用 表示经过第 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 ， ， ；
②规定 ，且有 ，请根据①中 ， ， 的值求出 、 ，并求出数列 的通项
公式．
【答案】（1） ；（2）① ， ， ；② ， .
【详解】（1）记一轮踢球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， ， 相互独立．
由题意 ， ，甲的得分 的可能取值为 ，0，1．
，
．
，
∴ 的分布列为：
0 1．
（2）①由（1） ，
．
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；
甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得 分．
∴ ，
②∵规定 ，且有 ，
∴ 代入得： ，
∴ ，∴数列 是等比数列，
公比为 ，首项为 ，∴ ．
∴ ．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正三角形 ，某同学从 点开始，用擦骰子的方法移动棋
子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷
骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向
移动.设掷骰子 次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为： ， ， ，例如：掷骰子一
次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 ， ，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， ；
（2）记 ， ， ，其中 ， ，求 .
【答案】（1） ， ， ；（2） .
【详解】（1） ，所以
所以
所以
（2）∵ ，即 ， ，
又 ，
∴ 时
又∵ ，可得
由
可得数列 是首项为 公比为 的等比数列
，即
又
故
8．（2022·全国·高三阶段练习）当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城
市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开
车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从
即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”
的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一
种出行方式.
（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件 ，
相互对立并且 ，则对任一事件B有
.设 表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率.
①用 表示 ；②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由.
【答案】（1）分布列答案见解析；（2）① ；②王先生积极响应该市政府的号召，
理由见解析.
【详解】（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为 ，则 ，
， ，
由已知随机变量X的可能取值为1，2，3；
；
；
.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
（2）①设 表示事件“第 天王先生选择的是骑自行车出行方式”， 表示事件“第n天王先生选
择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知
.
所以 .
②由①知 ， ，
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .
因为 恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方
式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以
王先生积极响应该市政府的号召.突破五：概率统计与导数交汇
1．（2022·上海市光明中学高三期中）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年
着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对
某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码x（ ） 1 2 3 4 5
销量y/万辆 10 12 17 20 26
(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，利用计算器求y关于x的线性回归方程，并预测
该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业随机调查了该地
区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的
有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若 ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千
人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 ，求当w为何值时， 最大.
【答案】(1) ；2028年
(2)① 15.5万人 ② 30
【详解】（1）（1）解：由题意得 ,
，
， ．
所以 ， ．
所以 关于 的线性回归方程为 ，
令 ，得 ，
所以最小的整数为12， ，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有 名，故其中购置新能源汽车的女性车主的有 名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为 ．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为 ．
当 时， ，
所以预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，
因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为 万人
②由题意知， ，
则 ，
，
当 时，知 所以函数 单调递增，
当 时，知 所以函数 单调递减
所以当 取得最大值 ．
此时 ，解得 ，
所以当 时， 取得最大值 ．
2．（2022·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要
因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，
某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码 1 2 3 4 5
销量 万辆 10 12 17 20 26
(1)统计表明销量 与年份代码 有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程，并预测该地区新能
源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该
地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有 名，购置新能源汽车的
有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若 ，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千
人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为 ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为 ，求当 为何值时， 最大．
附： 为回归方程， ， ．
【答案】(1) ，2028年
(2)① 万人；②
【详解】（1）解：由题意得 ， ，
， ．
所以 ， ．
所以 关于 的线性回归方程为 ，令 ，得 ，
所以最小的整数为12， ，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有 名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有 名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为 ．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为 ．
预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，
因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为 万人
②由题意知， ，则
当 时，知 所以函数 单调递增当 时，知 所以函数 单调递减
所以当 取得最大值 ．
此时 ，解得 ，所以当 时 取得最大值 ．
3．（2022·山东青岛·高二期末）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第
0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立
的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
(1)已知 ， ， ， ，求 ；
(2)设 表示该生物临近灭绝的概率，当 时，证明：p是关于x的方程
的最小正实根．
【答案】(1)1.1
(2)证明见解析
(1)
由题知： ，
(2)
因为
所以，p是方程 的正实根
令 ，则
令 ，所以当 时，
所以 在区间 上单调递增
又因为 ，
当 时，
所以存在 ，使得
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增；
又因为 ，
所以 在 上存在唯一零点 ，
综上，所以p是方程 的最小正实根
4．（2022·全国·高三专题练习（理））为纪念中国共产党成立100周年，加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校
举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少
于5道题，则获得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是 和
，且每道题答对与否互不影响．
（1）若 ， ，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
（2）若 ，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进
行多少轮竞赛？
【答案】（1） ；（2）15
【详解】（1）假设甲和乙答对的题目个数分别为 和 ，
故所求概率
，
所以甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率为 ；
（2）由（1）得
，
整理得 ，
因为 且 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，则 ，
当 时， ，则当 时， ，
甲乙两同学在 轮比赛中获得的积分数 满足 ，
所以由 ，即 解得 ，
因为 为正整数，所以 至少为15，
所以若甲乙同学这一组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行15轮竞赛.5．（2022·全国·高三专题练习（理））某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机
器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝
宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠
机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取
100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的性能指数在 的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在 的适合小班和中班幼儿使用
（简称B类产品），在 的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分
别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位
于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用 （单位：万元）对年销售量 （单位：万件）的影响，对近5年的年营销
费用 ，和年销售量 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30 24.87 0.41 1.64
表中 ， ， ， .
根据散点图判断， 可以作为年销售量 （万件）关于年营销费用 （万元）的回归方程.
（i）建立 关于 的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取 ）.
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i） （ii）该厂应投入256万元营销费.
【详解】（1）设每件产品的销售利润为 元，则 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得， ， ， 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以， ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
1.5 3.5 5.5
0.15 0.45 0.4
所以， ，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由 得， ，
令 ， ， ，则 ，
由表中数据可得， ，
则 ，
所以， ，
即 ，
因为 ，所以 ，
故所求的回归方程为 ；
（ii）设年收益为 万元，则 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， ， 在 单调递减，所以，当 ，即 时， 有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
6．（2022·全国·高二专题练习）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口
罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩
生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中
随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ， ， ， ，
，得到如下频率分布直方图．
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量
指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3
个，求恰好取到一级口罩个数为 的概率；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B
两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由 个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在
A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为 ， ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数
量分别为 ， ．
①求 的分布列及数学期望 ；
②求当 的数学期望 取最大值时正整数 的值．
【答案】（1） ；（2）①分布列见解析，数学期望 ；②6．
【详解】（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，
所以恰好取到一级口罩个数为2的概率 ．
（2）①由题知，X的可能取值为0，1，2，
；；
．
所以X的分布列为
0 1 2
．
②因为 ，所以 ．
令 ，设 ，则 ，
因为
所以当 时， ，
所以 在区间 上单调递增；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减；
所以当 即 时 取最大值，所以 ．
所以 取最大值时，n的值为6．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合
征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体
中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要
检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验n次.
方式二：混合检验，将其中 且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k
份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血
液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果
的概率为p(0
